E(數學捷數)

$ e $，作為數學常數，是自然對數函數的底數，亦稱自然常數、自然底數，抑是講尤拉數（Euler's number）， 以瑞士數學家尤拉號名；閣有一个真罕得看著的名納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰 ・ 納皮爾引進對數。伊是一个無限無循環小數，數值約是（小數點了後二十位， A 一千一百十三）：

$ e=二四七一八二八一八二八四五九空四五二 \ cdots $，近來若值約為 $ { \ frac { 二十七孵一千八百空一 } { 九九千九百九十 } } $。

歷史

第一遍講著常數 $ e $，是約翰 ・ 納皮爾佇一六一八年出版的對數著作附錄中的一張表。但是伊無記錄這个常數，干焦由伊為底計算出的一張自然對數列表，通常認為講由威廉 ・ 奧特雷德製作。第一遍共 $ e $ 看為常數的是雅各布 ・ 伯仔拍拚，伊試驗算下式的值：

$ \ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } $。

已經用著常數 $ e $，是萊布尼茨於一六九空年佮一六九一年予惠更斯的通信，以 $ b $ 表示。一七二七年尤拉開始用 $ e $ 來表示這常數；而且 $ e $ 頭一擺佇出版物用著，是一七三六年尤拉的《力學》（_ Mechanica _）。 雖然往後年日有研究者用字母 $ c $ 表示，猶毋過 $ e $ 較捷用啦，總算成做標準。

用 $ e $ 表示的原因確實有影無明，但是可能因為 $ e $ 是「指數」（exponential）一字的條字母。另外一看法是稱呼 $ a , b , c , d $ 有其他定定用途，而且 $ e $ 是第一个通用字母。

定義

親像圓周率 $ \ pi $ 佮虛數單位 _ i _，$ e $ 是數學中上重要的常數之一。伊有幾種遮的價定義，下跤出一部份。

一 . 定義 $ e $ 列極限值：

$ e=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } $

$ e=\ lim _ { t \ to 零 } ( 一 + t ) ^ { \ frac { 一 } { t } } $

二 . 定義 $ e $ 為著階乘倒算之無散級數的佮：

$ e=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { 一 \ over n ! }={ 一 \ over 零 ! } + { 一 \ over 一 ! } + { 一 \ over 二 ! } + { 一 \ over 三 ! } + { 一 \ over 四 ! } + \ cdots $

其中 $ n ! $ 代表 $ n $ 的階乘。

三 . 定義 $ e $ 是唯一的正數 $ x $ 予得

$ \ int _ { 一 } ^ { x } { \ frac { \ mathrm { d } t } { t } }=一 $

四 . 定義 $ e $ 是唯一的實數 $ x $ 予得

$ \ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { x ^ { h } 影一 } { h } }=一 $

遮的定義會當證明是等價的，請參見文章指數函數的特徵描述。

性質

真濟增長抑是衰減過程攏會當用指數函數模擬。指數函數 $ e ^ { x } $ 的重要性佇咧講，獨獨該函數（抑是講其他的數倍，即 $ x \ mapsto ke ^ { x } $，其中 $ k $ 為任意常數）佮家己閣導數相等。即：

$ { \ frac { d } { dx } } e ^ { x }=e ^ { x } $。

$ e ^ { x } $ 的泰勒級數為 $ e ^ { x }=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { n } } { n ! } } \ quad \ forall x $

$=一 + x + { \ frac { x ^ { 二 } } { 二 ! } } + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 ! } } + . . . $

$ x $ 為複數的時猶原成立，就按呢根據 $ \ sin x $ 佮 $ \ cos x $ 的泰勒級數，出佇數學中一條叫做尤拉公式的重要等式：

$ e ^ { \ mathrm { i } x }=\ cos x + { \ rm { i } } \ sin x $

當 $ x=\ pi $ 的特例是尤拉恆等式：

$ e ^ { \ mathrm { i } \ pi } + 一=零 $

此式予人理察 ・ 費曼稱為「尤拉的寶石」。

$ ( \ cos x + i \ sin x ) ^ { n }=\ left ( e ^ { ix } \ right ) ^ { n }=e ^ { inx }=\ cos ( nx ) + i \ sin ( nx ) $

即袋袋袋。

• $ e $ 是無理數和超越數（見林德曼－魏爾斯特拉斯定理）。 這是頭一个得證為超越數的數，非故意構造的（較劉維爾數）； 由夏爾 ・ 埃爾米特（Charles Hermite）佇一八七三年證明。有去猜想伊為正規數。
• 當 $ x=e $ 時函數 $ f ( x )={ \ sqrt [{ x }] { x } } $ 有上大值。
• $ e $ 的無窮連分數展開式有一个趣味的模式，會當表示如下（ A 三千四百十七）

$ e=[二 ; 一 , 二 , 一 , 一 , 四 , 一 , 一 , 六 , 一 , 一 , 八 , 一 , 一 , 十 , 一 , 一 , 十二 , \ ldots] $

就親像以下的展開式：

$ e=二 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { \ mathbf { 二 } + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { \ mathbf { 四 } + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { 一 + { \ cfrac { 一 } { \ mathbf { 六 } + { \ cfrac { 一 } { 一 + \ ddots } } } } } } } } } } } } } } } } } } $

沒有理數證明

反證法

證明 $ e $ 是無理數通好用反證法。準講 $ e $ 是有理數，著會當表示講 $ { \ frac { a } { b } } $，其中 $ a , b $ 為正整數。以 $ e $ 的無窮級數展開式會當著愛矛盾。

考慮數字

$ x=b ! \ left ( e-\ sum _ { i=零 } ^ { b } { 一 \ over i ! } \ right ) $，

以下欲推導出 $ x $ 是小於一的正整數；因為不存在按呢正整數，著愛矛盾，所以得證 $ e $ 是沒有理數。

• $ x $ 是整數，因為乎

$ 零 < x=b ! \ left ( e-\ sum _ { i=零 } ^ { b } { 一 \ over i ! } \ right )=b ! \ left ( { a \ over b }-\ sum _ { i=零 } ^ { b } { 一 \ over i ! } \ right ) $

$=a ( b 影一 ) !-\ sum _ { i=零 } ^ { b } { b ! \ over i ! } $

$=a ( b 影一 ) !-\ left [一 + \ sum _ { n=零 } ^ { b 影一 } b ( b 影一 ) \ cdots ( n + 一 ) \ right] $。

• $ x $ 是小於一的正數，因為乎

$ 零 < x=b ! \ sum _ { n=b + 一 } ^ { \ infty } { 一 \ over n ! } $

$={ \ frac { 一 } { b + 一 } } + { \ frac { 一 } { ( b + 一 ) ( b + 二 ) } } + { \ frac { 一 } { ( b + 一 ) ( b + 二 ) ( b + 三 ) } } + \ cdots $

$ < { \ frac { 一 } { b + 一 } } + { \ frac { 一 } { ( b + 一 ) ^ { 二 } } } + { \ frac { 一 } { ( b + 一 ) ^ { 三 } } } + \ cdots={ 一 \ over b } \ leq 一 $。

但是無佮一之間（無含零與一）不存在有整數，故原先假做矛盾，會出得 $ e $ 為無理數。

二項式定理

視 $ n $ 為存在的數值，所以用兩項式定理會當證出：

$ e=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } $

$=\ lim _ { n \ to \ infty } \ sum _ { i=零 } ^ { n } C _ { i } ^ { n } 一 ^ { n-i } \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { i } $

$=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left [C _ { 零 } ^ { n } 一 ^ { n } \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { 零 } + C _ { 一 } ^ { n } 一 ^ { n 影一 } \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { 一 } + C _ { 二 } ^ { n } 一 ^ { n 鋪二 } \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { 二 } + C _ { 三 } ^ { n } 一 ^ { n ma三 } \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { 三 } + . . . + C _ { n } ^ { n } 一 ^ { 零 } \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } \ right] $

$=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left [一 \ times 一 + n \ times { \ frac { 一 } { n } } + { \ frac { n ! } { \ left ( n 鋪二 \ right ) ! 二 ! } } \ times { \ frac { 一 } { n ^ { 二 } } } + { \ frac { n ! } { \ left ( n ma三 \ right ) ! 三 ! } } \ times { \ frac { 一 } { n ^ { 三 } } } + . . . + 一 \ times { \ frac { 一 } { n ^ { n } } } \ right] $

$=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left [一 + 一 + { \ frac { n \ times \ left ( n 影一 \ right ) } { 二 n ^ { 二 } } } + { \ frac { n \ times \ left ( n 影一 \ right ) \ left ( n 鋪二 \ right ) } { 三 \ times 二 n ^ { 三 } } } + . . . + { \ frac { 一 } { n ^ { n } } } \ right] $

$=二 + { \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 六 } } + . . . $

$=二嬸七一八二八 . . . $

諧取

• 佇咧 Google 二空空四年的頭擺公開募股，集資額毋是通常的整頭數，是啊 $ 二 , 七百十八 , 兩百八十一 , 八百二八，這當然是號最接近整數的 $ e $ 十億美金。Google 二空空五年的一擺公開募股中，集資額是 $ 十四 , 百五九 , 兩百六十五，佮圓周率有關係。
• Google 嘛是首先佇矽谷心臟地帶，紲落去佇麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版的幕後烏手，伊寫著講 { first 十-digit prime found in consecutive digits of _ e _ } . com（佇咧 $ e $ 的連續數字中第一个發現的十位質數 . com）。 解決矣這个問題（第一啦 $ e $ 當中的十位喔質數是七十四廈二千七百四十六七千三百九十一，出奇地到足後才出現的，由第一百个數字開始）， 進入網站了後猶閣有一个閣較難的題目欲解決，上尾仔會到 Google 的招聘頁。毋過這个挑戰已經結束，欲講網站攏關起來。
• 出名電腦科學家高德納的軟體 Metafont 的版本號碼較趨向 $ e $（就是講版本號碼是二，二嬸七，二嬸七一，二嬸七一八等）， 佮之相對的有 TeX 的版本號是趨勢到圓周率的。

參見

• e 的 π 次方
• 沒有理數
• 超越數
• 尤拉數
• 圓周率
• 指數函數
• 自然對數