質能等價

E=mc²，即質能等價（mass-energy equivalence）、質能守恆、質能相換，亦稱為質能轉換公式、質能方程，是一種闡述能量（E）佮質量（m）互相關係的一个理論物理學公式，公式內底的c是物理學中代表光速的常數。

方程式的含義

這種公式的物體佮一个參照系靜止的時猶原有能量，這是違反牛頓系統的，因為佇牛頓系統內底，靜止物體是無能量的。這就是為啥物物體的質量予人稱做靜止質量。公式內底的 _ E _ 會當看做是物體總能量，伊佮物體總質量（質量包括靜止質量佮運動所帶來質量）成正比，干焦做物體靜止的時陣，伊才佮物體的（靜止）質量（牛頓系統內底質量）成正比。這嘛表明物體的總質量佮靜止質量無仝。

反過來講，一束光子佇真空中傳播，其靜止質量是零，毋過因為𪜶有運動的能量，因此𪜶嘛有質量。

術語的無仝

注意：有一寡術語佇使用中間，質量單指靜止質量，因為總質量佮能量是等價的概念。若是 $ m $ 指代靜止質量，公式做改寫為

$ E _ { 零 }=mc ^ { 二 } \ , $

而且

$ E={ \ sqrt { p ^ { 二 } c ^ { 二 } + m ^ { 二 } c ^ { 四 } } }=\ gamma mc ^ { 二 } $

所以，$ \ gamma m \ , $ 就是運動質量的表達式，其中 $ \ gamma $ 為洛倫茲因子。

方程的證明

以一外力 $ \ mathbf { F } $ 對物體作功，根據功-動能定理，物體的微小動能變化為

$ $ \ mathrm { d } K=\ mathbf { F } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { x }={ \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { p } } { \ mathrm { d } t } } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { x }={ \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { x } } { \ mathrm { d } t } } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { p } $ $

式當中，$ \ mathbf { p } $ 為物體的動量 $ \ gamma m \ mathbf { u } $ ( 此處的 $ m $ 為靜止質量 )，而且 $ { \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { x } } { \ mathrm { d } t } } $ 為物體的速度 $ \ mathbf { u } $。所以會當改寫為著

$ \ mathrm { d } K=\ mathbf { u } \ cdot \ mathrm { d } \ left ( \ gamma m \ mathbf { u } \ right )=m \ mathbf { u } \ cdot \ mathrm { d } \ left ( \ gamma \ mathbf { u } \ right ) $。

根據以下等式的 ( 詳見四維的速度 )，

$ $ U _ { \ mu } U ^ { \ mu }=-\ gamma ^ { 二 } c ^ { 二 } + \ gamma \ mathbf { u } \ cdot \ gamma \ mathbf { u }=-c ^ { 二 }=\ operatorname { constant } $ $

將等式的兩爿取微小量重新整理，

$ $ 鋪二 c ^ { 二 } \ gamma \ , \ mathrm { d } \ gamma + 二 \ gamma \ mathbf { u } \ cdot \ mathrm { d } \ left ( \ gamma \ mathbf { u } \ right )=零 $ $

$ \ mathbf { u } \ cdot \ mathrm { d } \ left ( \ gamma \ mathbf { u } \ right )=c ^ { 二 } \ mathrm { d } \ gamma $。

用這等式代入去頂懸的 $ \ mathrm { d } K $ 關係式得

$ $ \ mathrm { d } K=mc ^ { 二 } \ mathrm { d } \ gamma $ $

$ $ K=\ int _ { \ mathbf { u }=\ mathbf { 零 } } ^ { \ mathbf { u }=\ mathbf { u } } mc ^ { 二 } \ mathrm { d } \ gamma \ left ( \ mathbf { u } \ right )=\ gamma mc ^ { 二 }-mc ^ { 二 } $ $

此就為相對論下的動能表達式，注意式當中 $ \ gamma mc ^ { 二 } $ 干焦佮四維動量的時間分範圍䆀有一比例 $ c $。若以這定義物體的能量，

$ $ E \ equiv P ^ { 零 } c=\ gamma mc ^ { 二 } $ $

著 $ E=K + mc ^ { 二 } $。其中 $ mc ^ { 二 } $ 為物體因為有質量啊有的能量，即

$ E _ { 零 }=mc ^ { 二 } $。

註：若改以 $ m _ { 零 } $ 表示內秉質量，$ m=\ gamma m _ { 零 } $ 表示相對論質量，是嘛有 $ E=mc ^ { 二 } $ 之關係。

意義

佇咧「狹義相對論」內底，這一公式表明能量和質量有比例關係，會當看著這，這馬夸克等等的物質就算以 eV（電子伏特）這个能量單位為常用單位。雖然真濟人並無確切的知影這个公式的真實含義，毋過伊已經成做人類歷史上上出名的公式之一，並成做文化的一部份。有人認為這一公式直接致使著原子彈的設計佮製造，猶毋過事實上質能轉換公式對原子理論佮原子彈的設計佮製造並無任何的直接或者是間接促進作用，干焦是後代人用來解說原子彈原理的解說工具之一。猶閣愛因斯坦本人對原子彈製造的貢獻佇咧：

背景佮其影響

這个等式源於阿爾仔伯特・愛因斯坦對物體慣性佮伊家己身能量關係的研究。研究的出名結論就是物體質量實際上就是伊家己的能量的量度。為著欲理解自關係的重要性，會當較一下仔電磁力佮引力。電磁學理論認為，能量包括佮電錢的場所有關係佮電錢無關係的場（電場佮磁場）中。佇萬有引力理論內底，能量包含講物質本身。因此物質量會當使時空扭曲，但是其他三種基本互相的作用（電磁相互作用，強互相作用，弱相佮互作用）的粒子煞袂使，這並毋是偶然的。

這个方程對原子彈的發展是關鍵性的。通過測量無仝原子核的質量佮彼个數量的獨立質子佮中子的質量佮的差，會當得著原子核所包含的結合能的估計值。這毋但顯示可能通過輕核的核融合佮重核的核分裂釋放這个結合能，嘛可以估算會釋放的結合能的量。注意質子佮中子的質量猶閣佇遐，𪜶嘛代表一个能量值。

伊一个出名的花駛是愛因斯伊上頭仔共方程寫為 _ dm=L / c² _（有用一个「_ L _」，毋是「_ E _」來表示能量，而且 E 佇其他所在嘛用來表示能量）。

一千克物質完全等價數

八十九 , 八仔七七仔五 , 五百一十七 , 八百七十三 , 六百八十一 , 七百六十四焦耳或者是
大約二十一 , 四仔七 , 五百空一 , 百六 , 零卡路里
二十四 , 九百六十五 , 四仔二一 , 六百三十二千瓦時
二十一孵四八空七六四三一百萬噸 TNT
大約空抹空八五一九空空六四三 Quads（千兆英熱單位）

重要的是愛注意實際的靜質量到能量的轉換無大可能是百分之百有效的。一个理論上完美的轉化是物質佮反物質的湮滅；對多數的情形，轉換會有真濟含靜質量的副產品，因為按呢干焦少量的靜質量真正予人轉換做能量。佇這个方程當中，質量 _ 就是講 _ 能量，但是為著簡明起見，轉換這个詞定定予人用佇代替質能等價數關係，實際上通常所指的一般是靜質量佮能量的轉換。

方程的可應用性

E=mc² 適用佇所有質量的物體，因為伊是質量由能量導出的斷言，或者是講能量由質量導出的論斷，啊若兩个會當互相取代。伊對運動物體的應用依賴佇方程中使用的質量的定義。

通常，該方程用於佮物體袂振動的參考點。但是仝款的物體對另外一个參照系來看會當是運動的，所以乎，對這个參照系，該方程表示質量是無仝的。

對現代物理的觀點來看，這个方程表示物質佮能量是仝一个概念。

用相對論質量

洛倫茲（Hendrik Lorentz，一千八百五十三石一千九百二十八）佇伊的電子理論內以力佮加速度的比（代替動量和速率的比）來定義質量。伊發現講外力平行抑是講直直佮運動方向的時陣的有效質量無仝：平行的時 $ m _ { \ parallel }=\ gamma ^ { 三 } m _ { 零 } $ 而且直直的時陣 $ m _ { \ perp }=\ gamma m _ { 零 } $。干焦佇阮的力量直接運動的方向時陣 Lorentz 質量才是等於後來 _ 相對論質量 _。愛因斯坦在上代先的論文（[一]）內計算了以上兩个質量（原文內垂直質量有毋著）。文內伊用的 _ m _ 是講 _ 靜質量 _。

這馬稱為 _ 相對論質量 _ 的概念上原初由 R . C . Tolman 佇一九一二年提出。這和 _ 靜質量 _ m 零 ( 嘛即物體佇咧其中咧靜止的參照系內面的質量 ) 關係如下：

: $ m=\ gamma m _ { 零 }={ \ frac { m _ { 零 } } { \ sqrt { 一-v ^ { 二 } / c ^ { 二 } } } } $

猶毋過會用得著 $ E=mc ^ { 二 } $ 四角勢，著愛對方程 E²=p²c² + m²c 四出發然後置 p=零，這表示若速度 v=零。也就是講，咱這馬有一个特殊的情況，物體無咧振動，而且 E² 干焦等於 m²c 四，抑是 E=mc²。只是佇這種特殊情形下，E=mc² 成立。佇任何其他的速度，咱著愛共 p²c² 放回一般的方程中。

若是咱共 v=零代入方程 $ m=\ gamma m _ { 零 }={ \ frac { m _ { 零 } } { \ sqrt { 一-v ^ { 二 } / c ^ { 二 } } } } $，就算講 m=$ m _ { 零 } $。所以乎，當物體靜止的時陣，也就是講，速度 v=零時，靜止質量佮相對論質量是相仝，四角勢 E=mc² 就會使寫為講 E=$ m _ { 零 } c ^ { 二 } $，兩个人無無仝。

然後，用相對論質量，四角勢 $ E=mc ^ { 二 } $ 著愛寫為 E=$ m _ { 零 } c ^ { 二 } $，伊無適用佇以啥物速度徙動的物體，干焦適用佇速度做零的物體，因為乎 $ m _ { 零 } $ 干焦適用佇 v=零，當 v=零時，m=$ m _ { 零 } $。

使用靜止質量

現代的物理學家已經真罕得咧用相對論質量矣，有人尾仔指出愛因斯坦本身嘛無佮意「相對論質量」此概念：

作者如 Taylor 和 Wheeler 完全避開伊因為：

現代物理學家攏用 m 來表示靜止質量，伊是四維動量佮四維速率的比：

: $ p ^ { \ mu }=mv ^ { \ mu } $

若相對論質量就指物體的能量或者是四箍動量的時間部：

: $ E \ equiv p ^ { 零 }={ \ sqrt { p ^ { 二 } c ^ { 二 } + m ^ { 二 } c ^ { 四 } } }=\ gamma mc ^ { 二 } $

其中 $ p=\ gamma mv $ 是物體的相對論動量。做速度做零時，便化為 E=mc²。以下猶原用 m 來表示相對論質量，用 mo 來表示靜止質量。

低能量的略計

準講是佇咧靜止時的能量 _ moc² _，總能量是動能加上靜止時的能量，其實相對性的動能就是：

: $ E _ { \ mathrm { kinetic } }=E _ { \ mathrm { total } }-E _ { \ mathrm { rest } }=\ gamma m _ { o } c ^ { 二 }-m _ { o } c ^ { 二 }=\ left ( \ gamma 影一 \ right ) m _ { o } c ^ { 二 } $

當低速度的狀況時，佮動能的古典表達式猶原基本峇峇，所以：

: $ E _ { \ mathrm { kinetic } }={ \ frac { 一 } { 二 } } m _ { o } v ^ { 二 } $ .

兩个公式會當通過用泰勒級數展開 $ \ gamma $ 來證明一下，

: $ \ gamma={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一-( { \ frac { v } { c } } ) ^ { 二 } } } } \ approx \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( { \ frac { v } { c } } \ right ) ^ { 二 } \ right ) $ .

共上式代回原始的方程有，

: $ E _ { \ mathrm { kinetic } } \ approx { \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( { \ frac { v } { c } } \ right ) ^ { 二 } m _ { o } c ^ { 二 }={ \ frac { 一 } { 二 } } m _ { o } v ^ { 二 } $ ,

所以有

: $ { \ frac { 一 } { 二 } } m _ { o } v ^ { 二 }=E _ { \ mathrm { total } }-E _ { \ mathrm { rest } } $ ,

抑是講

: $ E _ { \ mathrm { total } }=E _ { \ mathrm { rest } } + { \ frac { 一 } { 二 } } m _ { o } v ^ { 二 } $ ,

也就是能量的相對論表達式，這和只有動能的經典牛頓表達式無仝款。

這表示相對論是對經典力學的高階修正而且佇咧低能或者是講經典領域牛頓佮相對論力學毋是等價的。

啥物是等價的？干焦是動能的表達式，毋是講總能量。

佇咧對經典力學著高速情形的外捒，愛因斯坦證明矣經典力學是錯誤的。佇低速物體的情形，譬如講用著建立經典力學的遐的，經典力學是相對論力學的一个子集。兩个理論干焦佇經典領域以外致使矛盾。

愛因斯坦和伊一九空五年的論文

阿爾伯特・愛因為私坦白無佇伊的一九空五年論文中精確地表述這个方程 _ " Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig ? " _（「 _ 一个物體的慣性依賴佇咧伊所包含的能量？_」，發表於《物理學年鑑》九月二七），這是伊這馬予人叫做《奇蹟年論文》的文章之一。

該論文所講的確切內容是：『若一个物體以輻射的形式發射的能量 L，伊的質量減少 L / c²。』，這个情形下輻射的是動能，質量是彼陣仔通常所指的質量，也就是今仔日咱根據情形稱做靜能量或者是無變質量。這是佇發射能量頭前後壁的質量差，伊等於 L / c²，毋是物體的規个質量。彼當陣伊干焦理論上的猶未予實驗證明。

其他貢獻

愛因斯坦白毋是唯一將能量聯絡著質量的人，但是伊是第一个將這个作為閣較大的理論的一部份推出的，而且，是根據這个理論的頭前提出的結果。

根據 Umberto Bartocci（佩魯賈大學數學史家），該方程早佇兩年進前就由 Olinto De Pretto 發表矣，伊是一个義大利維琴查的工業家。但是無主流史學家認為這个結論是真實的或者是重要的，𪜶認為就算 De Pretto 是首位發現該公式的人，但是干焦佇愛因斯坦真正將伊和相對論建立聯繫了後，該公式才會真正顯示出價值。

電視傳記

_ E=mc² _ 也是一部佇二空空五年時播放的愛因為斯坦電視傳記之名，該傳記主要集中咧講一九空五年間的代誌。

參考文獻

大衛・波戴尼 ( Bodanis , David ) .《E＝mc²：等式列假做》（E=mc² : A Biography of the World's Most Famous Equation）. Berkley Trade . 兩千空一 . ISBN 空抹四百二十五五五一鼻八千一百六十四鼻二 .
保羅・迪普勒；拉爾夫・盧埃林 ( Tipler , Paul ; Llewellyn , Ralph ) .《交代物理（第四版）》（Modern Physics ( 四 th ed . )）. W . H . 鋪里曼出版社 ( W . H . Freeman ) . 兩千空二 . ISBN 空九七千一百六十七堵四千三百四十五孵空 .
James A . Richards , Jr . ; Francis Weston Sears ; M . Russel Wehr ; Mark W . Zemansky . Modern College Physics . Addison-Wesley Publishing Company , Inc . 一千九百六十二 .

外部連結

E=mc² 一百歲生 BBC
愛因斯坦的 E=mc² 啟發了講芭蕾舞 BBC
蘭伯特舞團：Constant Speed E=mc²
愛德華・馬勒的主頁 > 反物質計算器
核爆的能量
愛因斯坦在一九空五年九月二七發表的論文
愛因斯坦在一九一二年的手稿顯示矣 E=mc²
NOVA-愛因斯坦的偉大構想（PBS Television）
網際網路電影資料庫（IMDb）上《E=mc²》的資料（英文）