埃雷斯曼聯絡

微分幾何中，埃雷斯曼聯絡（Ehresmann connection）是應用佇任意纖維欉的聯絡概念的一个版本。

特別的所在是，伊會當是非線性的，因為一般的纖維叢頂懸無合適合的線性的概念。

伊適合主欉這類特殊的纖維欉，通過聯絡形式表述，佇這个情況聯絡上無是佇一个李群的作用下等變。

埃雷斯曼聯絡以法國數學家夏爾 ・ 埃雷斯曼號名。

簡介

微分幾何中經典的協變導數是一个線性微分算子，伊以協變的方式提向量欉中截面的方向導數，嘛會當用來闡述佇咧特定向量方向頂懸滿滿面為平行的概念：截面 _ s _ 沿著向量 _ V _ 平行，若是 ∇V _ s _=零。所以一个協變導數提供兩个觀念：微分算子猶閣有各方向上的平行。埃雷斯曼聯絡完全放棄矣微分算子，用全面佇咧各方向平行的含義來公理化一个聯絡。較精確咧講，埃雷斯曼聯絡共纖維欉內面的切密密的某一寡子空間指定做「水平空間」。 若是 _ ds _ ( _ V _ ) 佇水平空間當中，則截面 _ s _ 是佇咧 _ V _ 方向是愛平的（嘛即平行乎）。 佇遮，阮共 _ s _ 就是對底空間 _ M _ 射著向量密密 _ E _ 的函數 _ s _   : _ M _ → _ E _，而且 _ ds _   : _ TM _ → _ s \ * TE _ 是向量的前推。水平空間組成 _ TE _ 的一个子向量密密。

按呢一來直接的好處是伊會當用佇比向的量較濟一般的場合。特別是，伊對一般的纖維欉攏是有定義的。而且，足濟協變導數的特色得著保留：平行徙振動，曲率佮和樂。

毋過這个定義除了線性以外閣失去了 _ 協變性 _。佇經典協變導數中，協變性乃是導數的 _ 後驗 _ 特性。佇咧構造的過程當中，愛先指定「非協變」克氏記號的變換法則，才會當提出符合協變的 _ 導數 _。對埃雷斯曼聯絡來講，會當引入作用佇纖維欉內底纖維上的李群，來強加一个推廣的協變原則。真適當的條件就是欲求水平空間佇咧某一種意義下對應於群作用等變。

埃雷斯曼聯絡的點睛之筆是伊會當表達做一个微分形式，佮聯絡形式的狀況類似。若有一个群作用佇纖維頂懸，而且聯絡等變，著愛形式嘛是等變的。而且，這个聯絡形式也允准用曲率形式來定義曲率。

纖維欉頂懸的埃雷斯曼聯絡

令 π  : _ E _ → _ M _ 為纖維欉。_ E _ 上的埃雷斯曼聯絡由如下數據組成：

一 . 對每一點 _ x _ ∈ _ E _，予定 _ E _ 佇咧 _ x _ 點的切空間向量子空間 _ H _ x ⊂ _ T _ x _ E _。_ H _ x 這號做 _ x _ 點的 _ 水平空間 _。 二 . 隨著 _ x _ 的變化，_ H _ x 著愛定義出一个 _ E _ 切密密的金滑仔欉。（特別是，_ H _ 著愛有捷算維度。） 三 . 令 _ V _=ker ( _ d _ π  : _ TE _ → _ TM _ ) 為所有這沿 _ E _ 的纖維方向的切向量組成的 _ 鉛直欉 _。著 _ H _ x ∩ _ V _ x={ 零 } 對於 _ x _ ∈ _ E _ 成立。 四 . 任何 _ E _ 的切向量著愛會當分解做水平和鉛直分量 : _ TE _=_ H _ + _ V _。（特別是，根據頂懸第三條，這是一个直和分解。）

用更加看著深奧的術語來講，滿足屬性一－四个按呢的一个對水平空間的設定，精確來對應該予定一个射欉 _ JE _ → _ E _ 較光的截面。

等價的有，令 Φ 為著鉛直欉 _ V _ 的投影。這會當由意講 _ TE _ 到水平和鉛直分量的 _ 直和 _ 分解會著。著 Φ 滿足：

一 . Φ 二=Φ 二 . Φ  : _ TE _ → _ V _ 是一欉滿射。

顛倒反，若是 Φ 是滿足一佮二的向量欉搬射，著 H=_ ker _ Φ 定義矣上述的一个埃雷斯曼聯絡的結構。

曲率

令 Φ 為一埃雷斯曼聯絡。著 Φ 的曲率為

$ R={ \ frac { 一 } { 二 } } [\ Phi , \ Phi] $

其中 [-,-] 表示 Φ ∈ Ω 一 ( _ E _ , _ TE _ ) 佮伊家己的 Frölicher-Nijenhuis 括號。按呢乎 _ R _ ∈ Ω 二 ( _ E _ , _ TE _ ) 就是一个 _ E _ 上取值佇咧 _ TE _ 中的二－形式，定義做

$ R ( X , Y )=\ Phi \ left ( [( Id-\ Phi ) X , ( Id-\ Phi ) Y] \ right ) $ ,

抑是講

$ R ( X , Y )=[X _ { H } , Y _ { H }] _ { V } $ ,

其中 _ X _=_ X _ H + _ X _ V 代表著講 _ H _ 和 _ V _ 分量的分解。佇上式會當看出，曲率做零若而且唯若水平子欉是粉漿尼烏斯可積的。按呢乎，曲率敢是零就是水平子欉敢是有法度構成纖維欉 _ E _ → _ M _ 的橫截面的可積性條件。

一个埃雷斯曼的曲率嘛滿足比安基恆等式（Bianchi identity）的一个擴展版本：

$ [\ Phi , R]=零 $

其中 [-,-] 猶原是 Φ ∈ Ω 一 ( _ E _ , _ TE _ ) 和 _ R _ ∈ Ω 二 ( _ E _ , _ TE _ ) 的 Frölicher-Nijenhuis 括號。

水平提升

埃雷斯曼聯絡也予出了共曲線對基流形 _ M _ 提升到纖維欉 _ E _ 的總空間並且予曲線著切向量做水平向量的方式。這是水平提升是其他版本的聯絡表示講中的平行移動的直接對應。

確實來講，設 γ ( _ t _ ) 為 _ M _ 中穿過點 _ P _=γ ( 零 ) 伊金滑曲線。令 _ e _ ∈ _ E _ P 為 _ P _ 上的纖維中的一點。γ 共穿過 _ e _ 的一个提升就是一條曲線 $ { \ tilde { \ gamma } } ( t ) $，伊佇彼个位 _ E _ 中，並滿足

$ { \ tilde { \ gamma } } ( 零 )=e $，佮 $ \ pi ( { \ tilde { \ gamma } } ( t ) )=\ gamma ( t ) . $

提升的是水平的，做曲線的每一个切向量位 _ TE _ 的水平仔欉內底：

$ { \ tilde { \ gamma } }'( t ) \ in H _ { \ gamma ( t ) } . $

著 π 和 Φ 利用秩-零化度定理會當證明逐个向量 _ v _ ∈ TP _ M _ 有唯一的水平提升 $ { \ tilde { v } } \ in T _ { e } E $。特別是，γ 切對量場佇搝回叢 γ 影一 E 的總空間咧產生一个水平向量場。利用皮卡定理，這个向量場是可積的。按呢乎，對每一个曲線 γ 和 γ ( 零 ) 的纖維較懸的一點 _ e _，對有夠點鐘的時間 _ t _ 總是 _ 存在唯一的迵過 e _ 的 γ 的水平提升 _。_

完備性

埃雷斯曼聯絡允准曲線有局部水平提升。對著一个完備埃雷斯曼聯絡，曲線會當佇規个定義域上水平提升。

和樂群

聯絡的平坦性局部對應就愛平空間的一寡羅貝尼烏斯可積性。佇另外一个極端，非零曲率表示了聯絡的和樂群的存在。

主欉

對主 _ G _-密密 $ E \ to B $，彼每一个 $ x \ in E $，令 $ T _ { x } ( E ) $ 代表佇 _ x _ 的切空間啦，用 $ V _ { x } $ 代表佮纖維相切的鉛直子空間。則聯絡是著 $ T _ { x } ( E ) $ 的水平子空間$ H _ { x } $ 的指定，並且愛滿足一 . $ T _ { x } ( E ) $ 是 $ V _ { x } $ 和 $ H _ { x } $ 的直和， 二 . $ H _ { x } $ 的分布佇咧 _ G _ 佇咧 _ E _ 上的作用下無變，嘛即 $ H _ { ax }=D _ { x } ( R _ { a } ) H _ { x } $ 對任何 $ x \ in E $

和 $ a \ in G $ 成立，遮 $ D _ { x } ( R _ { a } ) $ 代表 _ a _ 佇咧 _ x _ 的群作用的微分。

一 . 分布 $ H _ { x } $ 金滑的依賴 _ x _。

使用射欉 $ JE \ rightarrow E $ 會當閣較優美的表達這个定義。指定水平空間無非就是指定該射欉的一个金滑截面。

_ G _ 的單參數子群鉛直作用佇咧 _ E _ 上。該作用的微分允准咱會當講子空間 $ V _ { x } $ 和 _ G _ 群的李代數 _ g _ 等同起來，譬如講會當過影射 $ \ iota : V _ { x } \ to g $。 然後，聯絡形式就是 $ E $ 上的佇咧 _ g _ 中取值的微分形式 $ \ omega $，其定義來做 $ \ omega ( X )=\ iota \ circ v ( X ) $ 其中 $ v $ 代表佇 $ x \ in E $ 的對 $ X \ in T _ { x } $ 到 $ V _ { x } $ 的投影，而且其核空間為 $ H _ { x } $。

聯絡形式滿足如下兩个屬性：

• 聯絡佇咧 _ G _ 作用下等變：$ R _ { h } ^ { * } \ omega={ \ hbox { Ad } } ( h ^ { 影一 } ) \ omega $ 對所有 _ h _ ∈ _ G _ 成立。
• 聯絡共鉛直向量場映射做相應的李代數的元素：$ \ omega ( X )=\ iota ( X ) $ 對所有 _ X _ ∈ _ V _ 成立。

顛倒反，證明按呢一个 _ g _-價值咧－形式佇一个主欉頂產生一个水平分布，滿足頭前咧講的屬性。

予定一个局部平凡化，會當將 $ \ omega $（該當是平凡化當中）簡化做水平向量場。伊通過搝回佇 _ B _ 上定義一个形式 $ \ omega'$。該形式 $ \ omega'$ 完全確定矣 $ \ omega $，但是伊依賴佇咧平凡化的選擇。（這个形式定定嘛叫做聯絡形式並無記為講 $ \ omega $。）

進階閱讀

• Bott , R . ( 一千九百七十 ) " Topological obstruction to integrability " , _ Proc . Symp . Pure Math . _ ,十六Amer . Math . Soc . , Providence , RI .

參見條目

• 嘉做聯絡
• 仿射聯絡
• 曲率形式