導數

導數（英語：derivative）是微微仔分學中的一个概念。函數佇某一點仔的導數是講這个函數佇這點附近的變化率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。函數 $ f $ 的自變數在一點仔 $ x _ { 零 } $ 上產生一个增量 $ h $ 時，函數輸出值的增量佮自變數增量 $ h $ 的比值在 $ h $ 因為無注重若有，即為 $ f $ 佇咧 $ x _ { 零 } $ 處的導數，記作 $ f'( x _ { 零 } ) $、$ { \ frac { \ mathrm { d } f } { \ mathrm { d } x } } ( x _ { 零 } ) $ 抑是 $ \ left . { \ frac { \ mathrm { d } f } { \ mathrm { d } x } } \ right | _ { x=x _ { 零 } } $。譬論講佇運動學中，物體的位徙對時間的導數就是物體的連時速度 : 一百五十三。

導數是函數的局部性質。毋是所有的函數攏有導數，一个函數嘛無一定佇咧所有的點上攏有導數。若某函數佇咧某一寡仔導數佇咧，則稱其在這點會使導 ( 會當分 )，抑若無講號做不可導 ( 袂使微分 )。若函數的自變數佮取值攏是實數，遐爾函數佇咧某一點的導數就是該函數所代表的曲線佇這點頂懸的這个線斜率。

對於可導的函數 $ f $，$ x \ mapsto f'( x ) $ 嘛是一个函數，這號做 $ f $ 的導函數。走揣已知影函數佇咧某點的導數抑是利用函數的過程叫做求導（英語：differentiation）。 反之，已知影函數嘛會當倒反原來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數佮積分是等價的 : 三百七十二。求導佮積分是一對互逆的操作，𪜶攏是微積分學中上基礎的概念。

定義

一般定義

直觀上 $ f ( x )-f ( a ) $ 代表函數值對 $ a $ 到 $ x $ 的變化量，若按呢，

代表的是按 $ a $ 到 $ x $ 的平均變化率，若共 $ x $ 較近的 $ a $，若親像閣會當閣較會當對同的描述函數值在 $ a $ 附近的變化。

以此為動機，若實函數 $ f $ 佇咧實數 $ a $ 有定義，而且以下極限（注意這个表達式所定義的函數定義域無含 $ a $）

存在講號做 $ f $ 佇咧 $ a $ 處可導，並講這个極限為 $ f $ 佇咧 $ a $ 處的導數 : 一百十七孵一百十八，記為 $ f ^ { \ prime } ( a ) $ 嘛會當記作 $ \ left . { \ frac { \ mathrm { d } f } { \ mathrm { d } x } } \ right | _ { x=a } $ 抑是 $ { \ frac { \ mathrm { d } f } { \ mathrm { d } x } } ( a ) $ : 百五四。

根據函數極限的定義，導數定義的部份的＂存在 $ \ delta > 零 $ 使所有的 $ x \ in D _ { f } $，只要 $ 零 < | x-a | < \ delta $ 攏有 . . . .＂會當直觀的理解為＂當 $ h=x-a $ 較近的 $ 零 $ 攏有 . . . .＂， 但是欲共寫做嚴謹的定義，會去拄著＂存在 $ \ delta > 零 $ 著所有的實數 $ h $，只要 $ a + h \ in D _ { f } $ 而且 $ 零 < | h | < \ delta $ 攏有 . . . .＂這段講無法度直接提極限定義的問題，對此必須共以下的表達式定義為導數原始盡磅表達式的簡記，毋是另外一種自動合法的導數定義。但是若準閣存在 $ r > 零 $，使 $ f $ 佇咧 $ ( a-r , \ , a + r ) $ 內底攏有定義，彼定義 $ F $ 為著欲定義域，然後叫是對應規則的函數，彼以下的極限式就會當共以下 $ h $ 為自變數的偏差，共佇咧零求導數的想法納入正式的運算內底。

幾何意義

就是講函數定義域佮取值攏佇咧實數中間的時陣，導數會當表示函數的曲線頂面的線道率。如右圖所示，設 $ P _ { 零 } $ 為曲線頂的一个定點，$ P $ 為曲線頂的一个動點。當 $ P $ 沿曲線漸漸穩定佇咧點 $ P _ { 零 } $ 時，並且割線 $ PP _ { 零 } $ 的極限位置 $ P _ { 零 } T $ 存在，則稱 $ P _ { 零 } T $ 為曲線佇咧 $ P _ { 零 } $ 處的切線。

若曲線為一函數 $ y=f ( x ) $ 的圖像，遐爾仔割線 $ PP _ { 零 } $（粉紅仔色）的趨率為：

當 $ P _ { 零 } $ 處的切線 $ P _ { 零 } T $（柑仔紅色）， 即 $ PP _ { 零 } $ 的極限位置佇咧的時陣，現此時 $ \ Delta x \ to 零 $，$ \ varphi \ to \ alpha $，著 $ P _ { 零 } T $ 的斜率 $ \ tan \ alpha $ 為：

上式和一般定義中的導數定義無仝款，也就是講 $ f'( x _ { 零 } )=\ tan \ alpha $，所以，導數的幾何意義即曲線 $ y=f ( x ) $ 在點 $ P _ { 零 } ( x _ { 零 } , f ( x _ { 零 } ) ) $ 處切線的斜率。: 一百十七喔 : 一百五十三

導數、導致使和微分算子

若函數 $ \ ; f ( x ) \ ; $ 佇咧其定義域包括的某乜區間 $ \ ; I \ ; $ 內每一个點攏會當導，遐爾仔嘛會當講函數 $ \ ; f ( x ) \ ; $ 佇區間 $ \ ; I \ ; $ 內可導，這个時陣對 $ \ ; I \ ; $ 內每一个確定的 $ \ ; x \ ; $ 值，攏對應 $ \ ; f \ ; $ 的一个確定的導數值，遮爾一來就構成一个新的函數 $ x \ mapsto f'( x ) $，這个函數稱做原來函數 $ \ ; f ( x ) \ ; $ 的導函數: 一百五十五，記作：$ \ ; y'\ ; $、$ f'( x ) \ ; $ 抑是講 $ { \ tfrac { \ mathrm { d } f } { \ mathrm { d } x } } ( x ) $。值得注意的是，導數是一个數，是講函數 $ f ( x ) \ ; $ 在點 $ x _ { 零 } \ ; $ 處導函數的函數值。但是袂致使透濫的狀況下，通常嘛會當講導函數做導數。

因為對每一个會當導的函數 $ \ ; f ( x ) \ ; $，攏有伊的導函數 $ f'( x ) \ ; $ 存在，阮猶會當定義將函數共影射著其他的函數算子。這算子稱做微分子，一般記作 $ D $ 抑是 $ { \ tfrac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } $。比如講：

$ { \ begin { aligned } D ( x \ mapsto 一 ) &=( x \ mapsto 零 ) \ \ D ( x \ mapsto x ) &=( x \ mapsto 一 ) \ \ D ( x \ mapsto x ^ { 二 } ) &=( x \ mapsto 二 \ cdot x ) \ end { aligned } } $

因為微分算子的輸出值猶原是函數，會當繼續求出伊佇某一點仔的取值。譬如講對這个函數 $ \ ; f ( x )=x ^ { 二 } \ ; $，

$ D ( f )=( x \ mapsto 二 \ cdot x ) $

所以乎 $ D ( f ) ( x )=二 x $，$ D ( f ) ( 一孵四 )=二 \ times 一孵四=二鋪八 $。

導數佮微分

微分嘛是一種線性咧講函數佇咧附近變化的方式。微分佮導數是兩个無仝款的概念。猶毋過，著一箍函數來講，會當小可佮𪜶算是完全等價數的。可微的函數，其微分等於導數乘以自變數的微分 $ \ mathrm { d } x $，嘛會使講，函數的微分佮自變數的微分之商等於該函數的導數。所以，導數嘛叫做微商。函數 $ y=f ( x ) $ 微分閣會當記做 $ \ mathrm { d } y=f'( x ) \ mathrm { d } x $。

歷史

導數佮積分的發現是微積分發明的關鍵一步。十七世紀以來，光學透鏡的設計以及炮彈彈道鐵跡的計算促使歐洲的數學家對曲線的切線進行研究。一六三空年代，法國數學家吉爾 ・ 德 ・ 羅伯瓦爾出來上早的試驗。佮這个同時，𫝛是法國人的費馬咧計算切線的時已經咧用矣無窮細量的概念 : 五十二。

若正圖，費馬考慮曲線 $ f ( x ) $ 佇咧 $ x $ 處的切線。伊聲稱，對切線，有以下的關係成立：

$ { \ frac { s } { s + h } }={ \ frac { f ( x ) } { f ( x + h ) } } $

對上式變形了後得著：

$ s={ \ frac { f ( x ) } { \ frac { f ( x + h )-f ( x ) } { h } } } $

對著具體的函數 $ f ( x ) $，比如講 $ f ( x )=x ^ { 三 } $，費馬計算 $ { \ frac { f ( x + h )-f ( x ) } { h } } $ 的值，並將 $ h $ 成做零，就得到 $ s $，對猶閣真確定切線的斜率。會當看出講，費馬的方法實質上已經是求導。費馬閣開始予出 $ f ( x ) $ 為多項式時切線的公式。英國的巴羅、荷蘭的於德（Johnann Van Waveren Hudde）佮瓦隆的斯盧茲（René Francoiss Walther de Sluze）繼續了馬的工課。毋過，費馬佮巴羅等等的人並無將求導歸納做一種獨立的工具，只是出具體的計算技巧。

一六六空年代，英國人伊薩克 ・ 牛頓是提出「流數」的概念。牛頓佇咧寫佇一六七一年的《流數法佮散赤的級數》中對流數的解說是：「 我共時間看做是連紲的流動抑是增長，啊若其他的量是綴時間咧連紲增加。我對時間流動性出發，共所有其他量的增長速度稱做流數。」也就是講，流數就是導數。牛頓將無窮細漢的時間隔定義做「瞬間」（moment）， 啊若一个量的增量是流數佮連鞭的乘積。求導數的時陣，牛頓將自變數佮應變數兩爿展開，同時除了連鞭，閣共賰的項中間有連鞭的項忽略落去 : 七十二。佇咧伊的第三篇微積分論文中，牛頓是使用新的概念：頭先比和尾仔比。伊講：

佮牛頓比起來，德國數學家萊布尼茲使用閣較清楚的記號來描述導數（見導數的記法一節）。 伊利用巴羅的「微分三角形」概念，將自變數佮應變數的增量記為 $ dx $ 和 $ dy $。伊共 $ dx $ 理解為「比任何予定的長度攏愛細」，而且 $ dy $ 著著 $ x $ 徙振動的時陣 $ y $「連鞭的增長」: 八十九。導數是兩个之間的比例。伊閣研究了函數之和、差、積、商的求導法則。

牛頓佮萊布尼茲的差別佇咧講，牛頓將無窮小量成做求流數抑是導數的工具，萊布尼茲是用無窮小量的比值來表示導數。這佮兩人的哲學思想差有關係 : 九十二。

微積分伊的理論面世了，若是予人看著有關係無窮小量定義的攻擊佮質疑。導數的定義自然嘛包括在內。萊布尼茲佮牛頓對無窮小量的認識攏是霧霧。毋但按呢生，萊布尼茲甚至引入了 $ ( d ) x $ 和 $ ( d ) y $，稱其為「未消失的量」，用進行求導前部的計算。佇完成計算了才用「消失的量」$ dx $ 和 $ dy $ 來共𪜶代替，並假定前兩个之比等於後兩个之比，認為這是一个無好放外外 : 一百空二。

誠濟數學家，包括伯仔拍拚兄弟仔、泰勒、麥克勞林、達朗貝爾、拉格朗日佮歐拉攏想欲對微積分的嚴密性辯護抑是共微積分嚴密化。但是因為對無窮細量的熟似，十八世紀的數學家並無做出太大的成果。微積分的強烈爿激者，英國的喬治 ・ 貝克萊主教佇攻擊無窮小量的時陣認為，流數實際上是「消失的量的鬼魂」，零佮零之比。歐拉承認後者，並認為零與零之比會是有限值。挨格朗日則假定函數攏會當展開做冪級數，閣佇這个基礎頂懸定義導數 : 一百五十四孵一百五十六。

十九世紀了後，綴著對函數連續性佮極限的閣較深刻熟似，微積分總算較嚴謹。波爾查諾是首先將導數定義做函數值的改變數佮自變數增量之比佇咧自變數增量無限接近零時行向的量。波爾查諾強調導數毋是零佮零之比，是頭前的比值較傾向的數 : 十。柯西佇伊的著作《散赤小分析教程概論》中嘛使用仝款的定義，並定義 $ dy $ 為導數佮 $ dx $ 的乘積。按呢乎，導數佮微分的概念得著統一 : 十一。

導數的記法

對微積分發明到今，無仝的數學家攏捌使用過無仝的記號來表示函數的導數。部份的記號到今猶原使用，成做現代的通用記法。

牛頓的記法

成做是微積分的發明人之一，牛頓佇一七空四年著作中將用數用函數符號頂頭的點來表示。比如講 $ y=f ( x ) $ 的導數就記作 $ { \ dot { y } } $，啊若二階的數則記為 $ { \ ddot { y } } $ : 一百九十三石一百九十六。伊以後的數學家嘛會將 $ { \ dot { y } } $ 用來表示函數的微分。牛頓的記法內底無明確的變數，所以 $ y $ 著 $ x $ 的導數佇牛頓的當中嘛會予人記做是 $ y': x'$，因為這會當理解做兩个函數 $ y $ 和 $ x $ 對另外一个變數 $ t $ 的導數比 : 一百九十六。啊若這个導數比（使用萊布尼茲的記號）：

$ y': x'={ \ frac { dy } { dt } } : { \ frac { dx } { dt } }={ \ frac { dy } { dx } } $

牛頓的記號誠濟看過物理學抑是佮之有關係的方面，如微分方程式內底。以及一直到這陣，使用函數符號上加一點來表示某一變數的變化率（即對時間的導數）猶原捷看著各類物理學教材內底（如使用 $ { \ dot { v } } $ 來表示加速度等等）。 注意著對高階的導數，這種記法就無法度表示矣。

萊布尼茲的記法

萊布尼茲佇伊的研究中分別使用 $ \ Delta x $ 和 $ \ Delta y $ 來表示函數自變數佮應變數（輸出值）的有限變化量，咧使用 $ dx $ 和 $ dy $ 來表示「無限細」的變化量（人講的「散甲無數量」）。 若將函數記做 $ y=f ( x ) $ 的話，按呢佇咧萊布尼茲的記法下跤，其導數記為：

$ { \ frac { dy } { dx } } $、$ { \ frac { df } { dx } } ( x ) $、$ { \ frac { d } { dx } } f ( x ) $ 抑是 $ { \ frac { d \ left ( f ( x ) \ right ) } { dx } } , $

這个記法上早出這陣萊布尼茲一六八四年的論文中 : 兩百空四，萊布尼茲佇進前的文章中會將 $ dx $ 記成 $ { \ tfrac { x } { d } } $，共 $ { \ tfrac { dy } { dx } } $ 記成 $ d { \ tfrac { y } { x } } $。萊布尼茲記法的好處是明確矣自變數佮應變數。愛注意的是記號 $ dx $ 是一个整體，$ dy $ 嘛是啦，而且 $ { \ frac { dy } { dx } } $ 會當看做一个整體，嘛會使無嚴謹來看做 $ dy $ 和 $ dx $ 的比值。此外，$ { \ frac { dy } { dx } } $ 表示的是導函數，在某一點仔 $ x=a $ 的導數則記為：$ \ left . { \ frac { dy } { dx } } \ right | _ { x=a } $ 對閣較高階的導數（譬論講n階，見高階導數一節）， 萊布尼茲的記法是：

$ { \ frac { d ^ { n } y } { dx ^ { n } } } $、$ { \ frac { d ^ { n } f } { dx ^ { n } } } ( x ) $ 抑是 $ { \ frac { d ^ { n } \ left [f ( x ) \ right] } { dx ^ { n } } } , $

這種記法是佇一六九五年出現的 : 兩百空五。遮的分子佮分母無閣有單獨的意義。萊布尼茲的記法內底使用 $ { \ frac { d } { dx } } $ 來表示微分算子，譬論講二階的導數 $ { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } } $ 就會當看做：

$ { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } }={ \ frac { d } { dx } } \ left ( { \ frac { dy } { dx } } \ right ) $

萊布尼茲記法的另外一个好處是便於記憶導數算的法則。譬如講連鎖律（見導數的計算一節）應用萊布尼茲的記法就是：

$ { \ frac { dy } { dx } }={ \ frac { dy } { du } } \ cdot { \ frac { du } { dx } } $

會當想像是正爿是兩个分式的乘積，消去 $ du $ 了後就變成倒爿。

因為牛頓佮萊布尼茲之間關於微積分創始人稱號的持久糾紛，佇咧十八世紀早期的真長時間內底，英國數學界佮歐洲大陸的數學界分別用牛頓佮萊布尼茲的記號，鋪排分明。這種情況一直到十八世紀尾期才開始改變，隨著拉格朗日記法的出現就變甲多樣化起來 : 一百九十七孵兩百。

搝格朗日的記法

另外一種這馬定定看著的記法是十八世紀拉格朗佇一七九七年率先使用的，以佇函數的正面上角加上一短撇作為導數的記號。函數 $ y=f ( x ) $ 的導數就記作 $ f'( x ) $ 抑是 $ y'$。二階佮三階導數記為 $ f( x ) $、$ y$ 和 $ f( x ) $、$ y$ : 兩百空七。若是需要處理閣較高階的導數，則用括號內的求導階數n來代替短撇，記為：$ f ^ { ( n ) } ( x ) $、$ y ^ { ( n ) } $。做十九世紀的數學家柯西處理微分學的時，伊認為萊布尼茲的記法「霧不便」，採用閣較是「緊鬥」的記法，將 $ { \ frac { dy } { dx } } $ 記為 $ y'_ { x } $。這款記法會使講是搝格朗日記法的變種 : 兩百十八。尾仔這款記法捌繼續損蕩去 $ y _ { x } $。

其他記法

十九世紀以前，就算大部份數學家會選擇用牛頓、萊布尼茲或者是拉格朗日的記號來表示導數，但是嘛有真濟的數學家希望使用家己的方法來記錄。佇咧無仝數學家的著作中會當看著各種的主流記法的混合抑是變體。數學家之間關於啥物款的記法上蓋為是簡便佮嚴謹嘛是各執一詞。同時，因為函數的微分、導數、偏導數佮散赤小量等概念猶未成熟，記號的無統一更加了數學家之間互相理解的難度 : 兩百一十四孵兩百三十四。十九世紀初期的德國數學家馬爾丹 ・ 歐姆採用 $ \ partial f ( x ) $ 來表示導數，仝時期的雅可比講採用 $ { \ frac { \ partial f } { \ partial x } } $ 來表示偏導數。仝時陣真濟數學家採用 $ { \ frac { df } { dx } } $、$ { \ frac { d } { x } } f $ 抑是 $ { \ frac { \ delta f } { \ delta x } } $ 表示偏導數。

用大寫字母 $ D $ 表示導數對十八世紀尾就開始。一八空空年，法國數學家路易斯 ・ 鋪朗索瓦 ・ 安托內 ・ 阿伯加斯特（Louis François Antoine Arbogast）使用 $ D ^ { m } f $ 表示函數 $ f $ 的 m 階導數抑是全微分。啊若其後班傑明 ・ 佩爾斯嘛用 $ Df \ cdot x $ 表示 $ f $ 著 $ x $ 的導數。柯西嘛採用類似的記號，用 $ D _ { x } ^ { m } f $ 表示函數 $ f $ 著 $ x $ 的 m 階偏導數。

函數可導的條件

若一个函數的定義域做全體實數，即函數佇咧 $ (-\ infty , + \ infty ) $ 上攏有定義，按呢遮爾該函數是毋是佇咧定義域懸頂咧處理會當處理咧？答案敢有定著。函數佇定義域內底一點會當需要一定的條件。首先，愛使函數 $ f $ 一點會使導，遐爾函數一定愛佇這點處連紲。換言之，函數若佇咧某點可導，著愛相連紲。這个結論來自連紲性的定義。

符號函數（sgn 函數）是一个無連紲的函數咧斷點所在袂當導的例：

首先去注意著這个函數佇咧 $ x _ { 零 }=零 $ 處無連紲。作為驗證，會當求出函數佇咧 $ x=零 $ 處附近的變化率，根據函數可導的條件閣進行判斷：

該函數佇咧 $ x _ { 零 }=零 $ 倒爿附近的變化率為：$ { \ frac { f ( x )-f ( x _ { 零 } ) } { x-x _ { 零 } } }={ \ frac { 抹一鋪零 } { x 板零 } }=-{ \ frac { 一 } { x } } $

當 $ x \ to 零 ^ {-} $ 時，頂懸的比值是無錢大發散，無存在，故這个符號函數佇咧 $ x _ { 零 }=零 $ 導覽袂當導。

毋過，連續性並袂當保證可能導性。就算函數佇咧淡薄仔連紲，嘛無一定就佇遮淡薄仔會當導。事實上，佇每一點仔攏連紲，但是閣佇咧每一點攏無法度導的「病態函數」。 一九三一年，斯特凡 ・ 巴攑赫甚至證明，事實上「真大的多數」的連續函數攏屬於這種病態函數（至少佇咧一寡仔可導的連紲函數佇咧所有連紲函數中是貧集）。 咧連紲而不可導的函數內底，一種定定看著的情形是，函數佇咧某一點仔連紲，並且會使定義伊的倒導數佮正導數：

毋過左導數佮正導數並無相等，因為函數該處不可導。實際上，若函數導數存在，著愛用捒左右導數相等，這是由極限的性質（極限存在是左右極限相等）得來：

下跤以絕對值函數做例：

該函數佇咧 $ x=零 $ 處的左導數為：$ f'_ {-} ( 零 )=\ lim _ { x \ to 零 ^ {-} } { \ frac { f ( x )-f ( 零 ) } { x 板零 } }=\ lim _ { x \ to 零 ^ {-} } { \ frac {-x 板零 } { x 板零 } }=影一 $

該函數佇咧 $ x=零 $ 處的正導數為：$ f'_ { + } ( 零 )=\ lim _ { x \ to 零 ^ { + } } { \ frac { f ( x )-f ( 零 ) } { x 板零 } }=\ lim _ { x \ to 零 ^ { + } } { \ frac { x 板零 } { x 板零 } }=一 $

絕對值函數佇咧 $ x=零 $ 處的左右導數攏存在，毋過因為左右的導數無相等，故絕對值函數佇咧 $ x=零 $ 導覽袂當導。: 一百十八葩建一百十九若函數佇咧一點的左右導數攏存在並且相等，遐爾函數咧該處會當導。: 一百五十五

導數佮函數的性質

通過認捌會當導函數的導數，會當推斷出袂少函數本身的性質。

單調性

根據微積分基本定理，對於可導的函數 $ f $，有：

$ f ( b )-f ( a )=\ int _ { a } ^ { b } f'( t ) \ mathrm { d } t $

若函數的導函數佇咧某一區間內底恆大於零（抑是恆小於零）， 遐爾仔函數佇這區間內單調遞增（抑是單調遞減）， 這種區間嘛講做函數的單調區間。導致函數等於零的點叫做函數的駐點（抑是真可疑點）， 佇這類點上函數可能會取得極大值抑是極細值。進一步判斷需要知影講導函數佇附近的符號。對滿足 $ f'( x _ { 零 } )=零 $ 的一點 $ x _ { 零 } $，若佇咧 $ \ delta > 零 $ 予得 $ f'$ 佇區間 $ ( x _ { 零 }-\ delta , x _ { 零 } ] $ 上攏大過等於零，啊若佇區間 $ [ x _ { 零 } , x _ { 零 } + \ delta ) $ 上攏無佇遐等於零，遐爾 $ x _ { 零 } $ 是一个極大值點，反正則為極較細值點 : 一百七十。若是 $ f( x _ { 零 } )=零 $ 並且 $ f( x ) $ 佇咧 $ x _ { 零 } $ 改變加減號，則稱這个點是反曲點；抑無這點毋是反曲點。

若函數咧 $ x _ { 零 } $ 處的二階導數 $ f( x _ { 零 } ) $ 存在，極值點嘛會當用伊的正負性判斷（已確定講 $ f'( x _ { 零 } )=零 $）。 若是 $ f( x _ { 零 } ) > 零 $，遐爾 $ x _ { 零 } $ 是一个極小值點，反之為極大值點 : 一百七十五一百七十一。

膨凹

會當導函數的膨凹佮其導數的單調性有關係。若函數的導函數佇咧某一个區間上單調遞增，遮爾這个區間上函數是向下噗的，反進是向上噗的。若二階導函數存在，嘛會當用伊的正負性判斷，若佇某一个區間上 $ f$ 恆大於零，則這个區間上函數是向下噗的，反對這个區間上函數是向上凸的 : 一百七十六交一百七十八。

導數的計算

原則上，函數的導數會當通過考慮差商佮計算其極限來按定義計算。咱佇實踐中，一旦若知影一寡簡單函數的導數，就會使使用對閣較簡單的函數提著閣較複雜函數的導數的規則，來閣較容易地計算其他函數的導數。

基本函數的導數

所謂基本函數是講一寡形式簡單並且容易求出導數的函數。遮的基本函數的導函數會當通過定義直接求出。

• 冪來函數的導數：若是

$ $ f ( x )=x ^ { r } , $ $

其中 $ r $ 是任意實數，遐爾

$ f'( x )=rx ^ { r 影一 } , $ 函數 $ f $ 的定義域會當是規个實數域，但導函數的定義域無一定佮之相仝。可比講當 $ r={ \ frac { 一 } { 二 } } $ 時：

$ f'( x )={ \ frac { 一 } { 二 } } x ^ {-{ \ tfrac { 一 } { 二 } } } \ , $ : 一百十九導函數的定義域干焦限所有正實數毋包括零。需要注意的是，袂有多項式函數的導數為 $ \ scriptstyle x ^ { 影一 } $。當 $ r=零 $ 時，常函數的導數是零。

• 底數為 $ e $ 的指數函數 $ \ scriptstyle y=e ^ { x } $ 的導數猶是家己自身：$ \ scriptstyle { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } e ^ { x }=e ^ { x } . $ 一般的指數函數 $ y=a ^ { x } $ 的導數猶閣需要乘以一个係數：$ \ scriptstyle { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } a ^ { x }=\ ln ( a ) a ^ { x } . $ : 百二二自然對數函數的導數是 $ x ^ { 影一 } $：$ \ scriptstyle { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } \ ln ( x )={ \ frac { 一 } { x } } , \ qquad x > 零 . $ : 一百二十三仝款的，普通的對數函數導數若閣需要乘以一个係數：$ \ scriptstyle { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } \ log _ { a } ( x )={ \ frac { 一 } { x \ln ( a ) } } $

• 三角函數的導數猶原是三角函數，抑是三角函數構成 : 一百二十二 :

$ { \ frac { d } { dx } } \ sin ( x )=\ cos ( x ) . $

$ { \ frac { d } { dx } } \ cos ( x )=-\ sin ( x ) . $

$ { \ frac { d } { dx } } \ tan ( x )=\ sec ^ { 二 } ( x )={ \ frac { 一 } { \ cos ^ { 二 } ( x ) } }=一 + \ tan ^ { 二 } ( x ) . $

$ { \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } x } } \ cot ( x )=-\ csc ^ { 二 } ( x )=-{ \ frac { 一 } { \ sin ^ { 二 } ( x ) } } . $

• 反三角函數的導數是無理分式 : 百六 :

$ { \ frac { d } { dx } } \ arcsin ( x )={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一-x ^ { 二 } } } } , \ qquad 影一 < x < 一 . $

$ { \ frac { d } { dx } } \ arccos ( x )=-{ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一-x ^ { 二 } } } } , \ qquad 影一 < x < 一 . $

$ { \ frac { d } { dx } } \ arctan ( x )={ \ frac { 一 } { 一 + x ^ { 二 } } } $

導數的求導法則

對基本函數的和、差、積、商抑是互相複合構成的函數的導函數會當通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

• 求導的線性：著函數的線性組合求導，等於先對其中每一个部份求導了後才閣取線性組合。

$ ( af + bg )'=af'+ bg'\ , $（其中 $ a , b $ 為常數）: 百二一

• 兩个函數的乘積的導函數，等於其中一个的導函數乘以另外一者，加上另外一者的導函數佮其的乘積

$ ( fg )'=f'g + fg'\ , $ : 一百二五

• 兩个函數的商的導函數嘛是一个分式。函數內底的分子是分子函數的導函數共分母函數減去分母函數的導函數共分子函數了後的差，咧分母是分母函數的所在。

$ \ left ( { \ frac { f } { g } } \ right )'={ \ frac { f'g-fg'} { g ^ { 二 } } } $（佇咧 $ g ( x ) \ neq 零 $ 四界有意義）: 百二六

• 複合函數的求導法則：若有複合函數 $ f ( x )=h [g ( x )] $，遐爾

$ f'( x )=h'[g ( x )] \ cdot g'( x ) . \ , $ : 一百二十八若欲求某一个函數佇某一點仔的導數，會當先運用以上方法求出這个函數的導函數，才閣看導函數佇這點仔的值。

例

要求函數

$ f ( x )=x ^ { 四 } + \ sin ( x ^ { 二 } )-\ ln ( x ) e ^ { x } + 七 \ , $

佇咧 $ x=三 $ 處的導數。會當先共求出其導的函數：

$ { \ begin { aligned } f'( x ) &=四 x ^ { ( 四配一 ) } + { \ frac { \ mathrm { d } \ left ( x ^ { 二 } \ right ) } { \ mathrm { d } x } } \ cos ( x ^ { 二 } )-\ left [{ \ frac { \ mathrm { d } \ left ( \ ln { x } \ right ) } { \ mathrm { d } x } } e ^ { x } + \ ln { x } { \ frac { \ mathrm { d } \ left ( e ^ { x } \ right ) } { \ mathrm { d } x } } \ right] + 零 \ \ &=四 x ^ { 三 } + 二 x \ cos ( x ^ { 二 } )-{ \ frac { 一 } { x } } e ^ { x }-\ ln ( x ) e ^ { x } . \ end { aligned } } $

其中第二項使用矣複合函數的求導法則，第三項使用矣乘積的求導法則。求出導函數了後，閣將 $ x=三 $ 代入，得著導數為：

$ f'( 三 )=一百空八 + 六 \ cos ( 九 )-{ \ frac { e ^ { 三 } } { 三 } }-\ ln ( 三 ) e ^ { 三 } \ , $

高階導數

二階導數

若函數的導數 $ f'( x ) \ , $ 佇咧 $ x \ , $ 處會當導，則稱 $ [f'( x )]'\ , $ 為 $ x \ , $ 的二階導數。記做：$ f( x ) \ , $，$ y\ , $，$ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { 二 } y } { { \ rm { d } } x ^ { 二 } } } $ 抑是 $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { 二 } f ( x ) } { { \ rm { d } } x ^ { 二 } } } $ : 一百三十二、

二階導數通用於求解函數塌窩性問題。$ f( x ) > 零 $ 函數佇咧 x 頂凹。$ f( x ) < 零 $ 函數佇咧 x 凹落去。

高階導數

二階導數的導數叫三階導數，記做 $ f( x ) \ , $，$ y\ , $，$ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { 三 } y } { { \ rm { d } } x ^ { 三 } } } $ 抑是 $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { 三 } f ( x ) } { { \ rm { d } } x ^ { 三 } } } $

三階導數的導數稱做四階導數，記做 $ f ^ { ( 四 ) } ( x ) \ , $，$ y ^ { ( 四 ) } \ , $，$ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { 四 } y } { { \ rm { d } } x ^ { 四 } } } $ 抑是 $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { 四 } f ( x ) } { { \ rm { d } } x ^ { 四 } } } $

一般的 $ f ( x ) \ , $ 的 $ n 影一 \ , $ 階導數的導數叫做 $ f ( x ) \ , $ 的 $ n \ , $ 階導數，記為 $ f ^ { ( n ) } ( x ) \ , $，$ y ^ { ( n ) } \ , $，$ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } y } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } $ 抑是 $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } f ( x ) } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } $ : 一百三十三

高階導數的求法

一般來講，高階導數的計算佮導數仝款，會當按照定義沓沓仔求出。同時，高階的導數嘛有求導法則：

• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } ( u \ pm v )={ \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } u \ pm { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } v $
• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } ( Cu )=C { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } u \ $
• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } ( u \ cdot v )=\ sum _ { k=零 } ^ { n } C _ { k } ^ { n } { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n-k } } { { \ rm { d } } x ^ { n-k } } } u { \ frac { { \ rm { d } } ^ { k } } { { \ rm { d } } x ^ { k } } } v $（萊布尼茲公式）: 一百三十四毋才會，會當利用已知的高階導數求導法則，通過四則運算，變數代換等方法，求出 $ n \ $ 階導數。一寡捷看的有規律的高階導數的公式如下 : 一百三十三：

• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } x ^ { \ alpha }=x ^ { \ alpha-n } \ prod _ { k=零 } ^ { n 影一 } ( \ alpha-k ) $
• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } { \ frac { 一 } { x } }=( 影一 ) ^ { n } { \ frac { n ! } { x ^ { n + 一 } } } $
• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } \ ln x=( 影一 ) ^ { n 影一 } { \ frac { ( n 影一 ) ! } { x ^ { n } } } $

$ $ \ ! $ $

• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } e ^ { x }=e ^ { x } \ $
• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } a ^ { x }=a ^ { x } \ cdot \ ln ^ { n } a $ $ ( a > 零 ) \ $

$ $ \ ! $ $

• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } \ sin \ left ( kx + b \ right )=k ^ { n } \ sin \ left ( kx + b + { \ frac { n \ pi } { 二 } } \ right ) $
• $ { \ frac { { \ rm { d } } ^ { n } } { { \ rm { d } } x ^ { n } } } \ cos \ left ( kx + b \ right )=k ^ { n } \ cos \ left ( kx + b + { \ frac { n \ pi } { 二 } } \ right ) $

多元函數的導數

向量值函數的導數

函數 $ y $ 的取值不再是實數，是一般的 $ \ mathbf { R } ^ { n } $ 著量的時陣，猶原可能對其求導。這時的函數值是：$ y=\ left ( y _ { 一 } ( x ) , y _ { 二 } ( x ) , \ cdots , y _ { n } ( x ) \ right ) $。彼每一个 $ y _ { i } ( x ) , \ ; \ ; 一 \ leqslant i \ leqslant n $ 攏是一个實數值的函數。具體的譬論講二維或者是三維空間內底的參數方程式。所以，著 $ y=f ( x ) $ 求導實際上是對每一个分量函數 $ y _ { i } ( x ) $ 求導。

$ \ mathbf { y }'( t )=( y'_ { 一 } ( t ) , \ cdots , y'_ { n } ( t ) ) . $ : 一百九十一這嘛符合定義

$ \ mathbf { y }'( t )=\ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { \ mathbf { y } ( t + h )-\ mathbf { y } ( t ) } { h } } , $

設 $ \ left ( e _ { 一 } , e _ { 二 } , \ cdots e _ { n } \ right ) $ 為 $ \ mathbf { R } ^ { n } $ 的一組基，遐爾仔對函數：$ y \ , : t \ , \ mapsto \ , y _ { 一 } ( t ) e _ { 一 } + y _ { 二 } ( t ) e _ { 二 } + \ cdots y _ { n } ( t ) e _ { n } , $

其其實函數共：$ y'( t )=y'_ { 一 } ( t ) e _ { 一 } + y'_ { 二 } ( t ) e _ { 二 } + \ cdots y'_ { n } ( t ) e _ { n } $

偏導數

若有函數 $ f $ 其實自變數毋是單位實數，是加於一个元素，比如講：

$ f ( x , y )=x ^ { 二 } + xy + y ^ { 二 } . \ , $

這个時陣會當共其中一个元素（比如講 $ x $）看做參數，遐爾 $ f $ 會當看做是關於另外一个元素的參數函數：

$ f ( x , y )=f _ { x } ( y )=x ^ { 二 } + xy + y ^ { 二 } . \ , $

也就是講，對著某一个確定的 $ x $，函數 $ f _ { x } $ 就是一个關於著 $ y $ 的函數。佇咧 $ x=a $ 固定的狀況下，會當計算講這个函數 $ f _ { x } $ 關於著 $ y $ 的導數。

$ f _ { a }'( y )=a + 二 y \ , $

這个表達式對所有的 $ a $ 攏著。這款導數講偏導數，一般記作：

$ { \ frac { \ partial f } { \ partial y } } ( x , y )=x + 二 y $

遮的符號 ∂ 是字母 $ d $ 的圓體變體，一般讀作 $ \ delta $ 有的首音節抑讀「偏偏」，以便佮 $ d $ 區別。

閣較一般來講，一个多元函數 $ f \ left ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } \ right ) $ 在點 $ \ left ( a _ { 一 } , a _ { 二 } , \ cdots , a _ { n } \ right ) $ 處著 $ x _ { i } $ 偏導數定義為：

$ { \ frac { \ partial f } { \ partial x _ { i } } } ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { n } )=\ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { f ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i } + h , \ ldots , a _ { n } )-f ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { n } ) } { h } } . $

頂懸的極限中，除了 $ x _ { i } $ 外所有的自變元攏固定啦，這就確定一个一箍函數：

$ f _ { a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i 影一 } , a _ { i + 一 } , \ ldots , a _ { n } } ( x _ { i } )=f ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i 影一 } , x _ { i } , a _ { i + 一 } , \ldots , a _ { n } ) $

所以，照定義有：

$ { \ frac { df _ { a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i 影一 } , a _ { i + 一 } , \ ldots , a _ { n } } } { dx _ { i } } } ( a _ { i } )={ \ frac { \ partial f } { \ partial x _ { i } } } ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { n } ) . $

偏導數的實質猶原是一箍函數的導數。: 五十六多變數函數的一个重要的例，是對 $ \ mathbf { R } ^ { n } $（比如講 $ \ mathbf { R } ^ { 二 } $ 抑是 $ \ mathbf { R } ^ { 三 } $）炤著 $ \ mathbf { R } $ 上的純量值函數 $ f \ left ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } \ right ) $。佇這个情形下，$ f $ 關於每一个變數 $ x _ { i } $ 攏偏誤導數 $ { \ frac { \ partial f } { \ partial x _ { i } } } $。在點 $ x={ \ boldsymbol { a } } $，遮的偏導數定義一个向量：

$ \ nabla f ( { \ boldsymbol { a } } )=\ left [{ \ frac { \ partial f } { \ partial x _ { 一 } } } ( { \ boldsymbol { a } } ) , \ ldots , { \ frac { \ partial f } { \ partial x _ { n } } } ( { \ boldsymbol { a } } ) \ right] $。

這个向量號做 $ f $ 在點 $ { \ boldsymbol { a } } $ 的梯度。若是 $ f $ 佇定義內底每一个點攏是足無物件，遐爾梯度就是一个向量函數 $ \ nabla f $，伊共點 $ a $ 射著向量 $ \ nabla f ( a ) $。按呢乎，梯度便決定一个向量場。

方向導數

方向導數是比偏導數閣較廣泛的概念。導數的本質是函數值增量佮自變數增量比的極限。佇多元函數 $ f $ 中，會當選定一个確定的方向（以這个方向行的單位向量 $ { \ boldsymbol { \ delta } } $ 表示）， 並考慮函數佇這个方向頂面的增量：

$ f ( { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } + t { \ boldsymbol { \ delta } } )-f ( { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } ) $ 這个增量為關於著 $ t $ 的一元函數。函數 $ f $ 的方向導數定義為這个增量佮 $ t $ 的比值在 $ t $ 因為零時的極限，記為 $ { \ frac { \ partial f } { \ partial { \ boldsymbol { \ delta } } } } ( { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } ) $。

$ { \ frac { \ partial f } { \ partial { \ boldsymbol { \ delta } } } } ( { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } )=\ lim _ { t \ to 零 } { \ frac { f ( { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } + t { \ boldsymbol { \ delta } } )-f ( { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } ) } { t } } $ 方向導數表示了函數對某點開始佇某一个方向頂懸的變化率。: 五十五五十六佇咧 $ \ mathbf { R } ^ { n } $ 中，我若向量 $ { \ boldsymbol { \ delta } } $ 選擇正規基 $ \ left ( { \ boldsymbol { e } } _ { 一 } , { \ boldsymbol { e } } _ { 二 } , \ cdots , { \ boldsymbol { e } } _ { n } \ right ) $ 內底的一个嘛，如 $ { \ boldsymbol { e } } _ { i } $，遐爾方向導數就是關於著 $ { \ boldsymbol { x } } _ { i } $ 的偏導數。: 五十五孵五十六

推廣

導數的概念建立佇變數實數之上，但是嘛會當推廣甲閣較廣泛的意義上。推廣的導數本質猶原是函數佇咧局部一點上的線性逼近。

複變數導數

對著變數做複數的函數，嘛會當定義導數的概念。準講有複變函數 $ f : \ Omega \ in \ mathbb { C } \ to \ mathbb { C } $。若是 $ f $ 在某一點仔 $ z _ { 零 } $ 佮附近有定義，並且真有限：

$ \ lim _ { z \ to z _ { 零 } } { \ frac { f ( z )-f ( z _ { 零 } ) } { z-z _ { 零 } } } $

存在，遐爾仔就講函數 $ f $ 佇咧 $ z _ { 零 } $ 可導。其中 $ z \ to z _ { 零 } $ 表示 $ z-z _ { 零 } $ 的模長較傾向零。若共複變數 $ z $ 視作 $ x + iy $，遐爾 $ f $ 會當做看覓的一个 $ \ mathbb { R } ^ { 二 } $ 上的函數。若做了解函數的 $ f $ 可導，啊做為 $ \ mathbb { R } ^ { 二 } $ 上函數的 $ f $ 的偏導數嘛存在，但反途抑無。干焦做柯西-黎曼條件滿足的時陣才會當保證複變函數的復可導性。

弱微分

咧分佈理論里，微分的概念予對閣較濟嚴格意義上無法度求導的函數嘛會當定義導函數。設 $ u $ 是一个部落貝格可積（比如講佇這个 $ L _ { loc } ^ { 一 } ( \ mathbb { R } ) \ $ 中）的函數，稱 $ v \ in L _ { loc } ^ { 一 } ( \ mathbb { R } ) $ 是 $ u $ 的一个弱微分，若對所有的測試函數 $ \ varphi $，攏有：

$ \ int _ { \ mathbb { R } } u ( t ) \ varphi'( t ) dt=-\ int _ { \ mathbb { R } } v ( t ) \ varphi ( t ) dt $

成立。其中測試函數是指緊支撐的光滑函數。弱微分包括了強微分，也就是通常意義上的導數。

次導數

佇噗分析，也就是對凸函數的研究中，會當定義來凸數的次導數。次導數的概念是導數的幾何意義的推廣。因為函數是凸的，過伊的圖像較每一點總是會當做一條直線，致使函數的圖像佇直線頂懸。這種直線的斜率稱做函數佇這點的次導數。若函數佇咧某點可導，遐爾算講干焦一个，等於其導數。若函數像講絕對值函數仝款咧零點有雄雄的轉踅，遐爾仔次導數可能不止一个。譬如講過零點斜率佇咧 $ ( 影一 , 一 ) $ 之間的直線攏佇咧絕對值函數下跤，所以 $ ( 影一 , 一 ) $ 之間的每個數攏是絕對值函數佇咧零點的次導數。

非整數階導數

早佇咧十九世紀，佇咧數學家明確矣求導佮積分的互逆關係以後，就出現了負階次導數的記號：$ D ^ {-n }=\ int ^ { n } $（表示求 n 次積分）: 兩百空八。非整數階導數的概念是進一步來共推廣。比如講，半微分算子 $ H=D ^ { \ frac { 一 } { 二 } } $ 表示其作用於函數等於二次以後的效果將等於一次求導：

$ H ^ { 二 } ( f ) ( x )=H [H ( f )] ( x )=D ( f ) ( x )=f'( x ) $

定義非整數階導數的方法毋但一種，上捷用的非整數階導數定義為黎曼-萊歐維爾定義：

設 $ 零 < s < 一 $，函數 $ f $ 的 s 階積分做：$ D _ { t } ^ {-s } f ( t )={ \ frac { 一 } { \ Gamma ( s ) } } \ int _ { a } ^ { t } ( t-u ) ^ { s 影一 } f ( u ) d ( u ) $

著 $ n 影一 < \ beta < n $，函數 $ f $ 的 $ \ beta $ 階導數為：$ D _ { t } ^ { \ beta } f ( t )={ \ frac { d ^ { n } } { dt ^ { n } } } \ left [D _ { t } ^ {-n-\ beta } f ( t ) \ right] $

加托導數和趨雷歇導數

方向導數佇咧散赤維向量空間的空間先提赫空間和淋雷歇空間上會當推廣為加托導數和淋雷歇導數。二者攏定定用佇形式化泛函導數的概念，有看著物理學，特別是量子場論。

導子

微分代數中有導子的概念。導子是具備矣微分算子的某一寡特徵的運算子，比如講向量場的李導數，抑是交換代數內底的交換子。共定一个環境 $ \ mathbf { R } $ 頂的一个代數 $ { \ mathcal { A } } $，$ { \ mathcal { A } } $ 上的一个 $ \ mathbf { R } $-導子 $ \ delta $ 是一个對 $ { \ mathcal { A } } $ 射著家己的 $ \ mathbf { R } $-線性映射（線性自同態）， 並且滿足導數的乘積法則：

$ \ delta ( ab )=( \ delta a ) b + a ( \ delta b ) $

所有 $ \ mathbf { R } $-導子構成矣 $ { \ mathcal { A } } $ 上線性自同態集 $ \ operatorname { End } { \ mathcal { A } } $ 的子空間。

導數的應用

物理學、幾何學、工程科學、經濟學等學科中的一寡重要概念攏會當用導數來表示。如，導數會當表示運動物體的瞬時速度佮加速度，嘛會當表示曲線佇咧一點仔的趨率。

邊際佮彈性

經濟學中，所謂邊際佮彈性的概念佮導數相關。譬如講邊仔成本成就是產量增加一个單位所帶來的成本的增加，若是共連紲化，得著的就是成本函數的導數。又閣需求的伸勼是指價數變化一个單位的時陣，需求量的變化，連紲化後相應的嘛是需求函數來關於價數的導數。

參見

• 微積分
• 微分
• 積分
• 金滑函數
• 微分均值定理
• 介值定理
• 自動微分
• 第二次數學危機
• 協變導數
• 數值微分

外部連結

• 導數計算器
• Hazewinkel , Michiel ( 編 ) , Derivative , 被鋪百科全鋪排，Springer , 兩千空一 , ISBN  九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四
• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Derivative . MathWorld .