曼德博集合
曼德博集合（英語：Mandelbrot set，或者是曼德布洛特複數集合）是一種佇複數平面上組成碎形的點的集合，以數學家本華 ・ 曼德博的名號名。曼德博集合佮朱利亞集合有一寡相𫝛的所在，親像使用仝款復二改多項式來進行疊代。
定義
曼德博集合會當用複二次多項式來定義：
- $ f _ { c } ( z )=z ^ { 二 } + c \ , $
其中 $ c $ 是一个複數參數。
對 $ z=零 $ 開始著 $ f _ { c } ( z ) $ 進行疊代：
- $ z _ { n + 一 }=z _ { n } ^ { 二 } + c , n=零 , 一 , 二 , . . . $
- $ z _ { 零 }=零 \ , $
- $ z _ { 一 }=z _ { 零 } ^ { 二 } + c=c \ , $
- $ z _ { 二 }=z _ { 一 } ^ { 二 } + c=c ^ { 二 } + c \ , $
每改疊代的值照順序以下序列所示：
$ $ ( 零 , f _ { c } ( 零 ) , f _ { c } ( f _ { c } ( 零 ) ) , f _ { c } ( f _ { c } ( f _ { c } ( 零 ) ) ) , \ ldots ) $ $
無仝款的參數 $ c $ 可能順序列的絕對值沓沓仔發散到無限大，嘛有可能佇咧收斂有限的區域內底。
曼德博集合 $ M $ 就是使序列無延伸至無限大的所有複數 $ c $ 的集合。
特性
- 自相仝
- 面積為一四五空六五九一八五六一
相關的定理
定理一下
若是 $ | c | \ leq { \ frac { 一 } { 四 } } $，著 $ c \ in { M } $
證明：
準講 $ | c | \ leq { \ frac { 一 } { 四 } } $ 為真則 $ | z _ { 一 } |=| c | \ leq { \ frac { 一 } { 四 } } < { \ frac { 一 } { 二 } } $
第一步：
當 $ n=二 \ , $ 時
- $ | z _ { 二 } |=| z _ { 一 } ^ { 二 } + c |=| c ^ { 二 } + c | \ leq | c ^ { 二 } | + | c |=| c | ^ { 二 } + | c | $
因為乎 $ | c | \ leq { \ frac { 一 } { 四 } } $
- $ | c | ^ { 二 } + | c | \ leq { \ frac { 一 } { 十六 } } + { \ frac { 一 } { 四 } } < { \ frac { 一 } { 二 } } $
由以上會當知影 $ | z _ { 二 } | < { \ frac { 一 } { 二 } } $
第二步：
準講 $ | z _ { n } | < { \ frac { 一 } { 二 } } \ , $ 成立
- $ | z _ { n + 一 } |=| z _ { n } ^ { 二 } + c | \ leq | z _ { n } | ^ { 二 } + | c | < \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) ^ { 二 } + { \ frac { 一 } { 四 } }={ \ frac { 一 } { 二 } } $
由上式會當知影講 $ | z _ { n + 一 } | < { \ frac { 一 } { 二 } } $
由數學歸納法會當知影對所有的 n ( n=一 , 二 , . . . )，$ | z _ { n } | \ , $ 攏比 $ { \ frac { 一 } { 二 } } \ , $ 細。
當 n 趨近無限大時 $ | z _ { n } | \ , $ 猶原無發散，所以乎 $ c \ in { M } $，故得證。
定理二
若是 $ c \ in { M } $，著 $ | c | \ leq { 二 } $
證明：
準講 $ | c | > 二 \ , $
著 $ | z _ { 一 } |=| c | , | z _ { 一 } | > 二 \ , $
第一步：
當 $ n=二 \ , $ 時
- $ | z _ { 二 } |=| z _ { 一 } ^ { 二 } + c |=| c ^ { 二 } + c | \ geq | c ^ { 二 } |-| c |=| c | ^ { 二 }-| c | $
由 $ | c | > 二 \ , $，左右同乘 $ | c | \ , $ 閣減去 $ | c | \ , $ 會到下式
- $ | c | ^ { 二 }-| c | > 二 | c |-| c |=| c | \ , $
由以上會當知影 $ | z _ { 二 } | > | c | \ , $
第二步：
準講 $ | z _ { n } | > | c | \ , $ 成立，著 $ | z _ { n } | > 二 \ , $
- $ | z _ { n + 一 } |=| z _ { n } ^ { 二 } + c | \ geq | z _ { n } ^ { 二 } |-| c |=| z _ { n } | ^ { 二 }-| c | $
因為乎 $ | z _ { n } | > | c | \ , $
- $ | z _ { n } | ^ { 二 }-| c | > | z _ { n } | ^ { 二 }-| z _ { n } | \ , $
由 $ | z _ { n } | > 二 \ , $，左右同乘 $ | z _ { n } | \ , $ 閣減去 $ | z _ { n } | \ , $ 會到下式
- $ | z _ { n } | ^ { 二 }-| z _ { n } | > 二 | z _ { n } |-| z _ { n } |=| z _ { n } | \ , $
由以上會當知影 $ | z _ { n + 一 } | > | z _ { n } | \ , $
由數學歸納法會當知 $ 二 < | { z _ { 一 } } | < | { z _ { 二 } } | < . . . < | { z _ { n } } | < | z _ { n + 一 } | < | z _ { n + 二 } | \ , $，看會出隨著疊代的次數增加 $ | z _ { n } | \ , $ 漸漸遞增加閣發散。
假使講 $ | z _ { n } | \ , $ 無發散，是帶動某一个常數 $ a > | c | > 二 $ ,
由 $ | z _ { n + 一 } | \ geq | z _ { n } | ^ { 二 }-| c | $ 閣取極限甲 $ a \ geq a ^ { 二 }-| c | $ 即 $ a ^ { 二 }-a \ leq | c | $。
閣 $ a ^ { 二 }-a=a ( a 影一 ) \ geq a > | c | $，矛盾，故 $ | z _ { n } | \ , $ 發散。
所以講若 $ | c | > 二 \ , $，著 $ c \ notin { M } $，故得證。
定理三
若是 $ c \ in { M } $，著 $ | z _ { n } | \ leq { 二 } , ( n=一 , 二 , . . . ) $
證明：
愛證明若是 $ | z _ { n } | > 二 , ( n=一 , 二 , . . . ) \ , $，著 $ c \ notin { M } $
首先分別探討 $ | c | > 二 \ , $ 佮 $ | c | \ leq 二 $ 兩款情形由定理二可知影 $ | z _ { n } | > 二 , ( n=一 , 二 , . . . ) \ , $ 而且 $ | c | > 二 \ , $ 時，$ c \ notin { M } $。
紲落來愛證明 $ | c | \ leq 二 $ 時的狀況：
準講 $ | z _ { n } | > 二 \ , $，因為乎 $ | c | \ leq 二 $，所以乎 $ | z _ { n } | > | c | \ , $，而且
- $ | z _ { n + 一 } |=| z _ { n } ^ { 二 } + c | \ geq | z _ { n } ^ { 二 } |-| c |=| z _ { n } | ^ { 二 }-| c | $
因為乎 $ | z _ { n } | > | c | \ , $
- $ | z _ { n } | ^ { 二 }-| c | > | z _ { n } | ^ { 二 }-| z _ { n } | \ , $
由 $ | z _ { n } | > 二 \ , $，左右同乘 $ | z _ { n } | \ , $ 閣減去 $ | z _ { n } | \ , $ 會到下式
- $ | z _ { n } | ^ { 二 }-| z _ { n } | > 二 | z _ { n } |-| z _ { n } |=| z _ { n } | \ , $
由以上會當知影 $ | z _ { n + 一 } | > | z _ { n } | \ , $
由數學歸納法會當知 $ 二 < | { z _ { n } } | < | z _ { n + 一 } | < | z _ { n + 二 } | < . . . \ , $，看會出隨著疊代的次數增加 $ | z _ { n } | \ , $ 漸漸遞增加閣發散。
所以佇咧 $ | z _ { n } | > 二 , ( n=一 , 二 , . . . ) \ , $ 而且 $ | c | \ leq 二 $ 的狀況下嘛是 $ c \ notin { M } $。
綜合的想法會當知影無論 $ | c | \ , $ 為偌濟若是 $ | z _ { n } | > 二 , ( n=一 , 二 , . . . ) \ , $，著 $ c \ notin { M } $，故得證。
利用定理三會使佇咧程式計算時快速地判斷 $ | z _ { n } | \ , $ 敢會發散。
計算的方法
曼德博集合一般用電腦程式計算。對大多數的碎形軟體，比如講 Ultra fractal，內部已經有較成熟的例。下跤的程序是一段偽代碼，表達了曼德博集合的計算思路。
決定色水的一寡方法
一 . 直接利用循環終止時的 Repeats 二 . 綜合利用 z 和 Repeats 三 . Orbit Traps