ECT理論-牛頓引力理論

倒轉來佇牛頓引力的所在，粒子運動的拉格朗佇日頭量：

$ L={ \ frac { 一 } { 二 } } m { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-m \ varphi ( { \ vec { x } } ) $

其中 $ { \ vec { v } } $—粒子速度，$ \ varphi ( { \ vec { x } } ) $—牛頓引力勢粒仔運動方程由上細膩作用量原理 $ \ delta S=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ delta L } dt=零 $ 決定：

$ 零=\ delta S=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ delta L } dt $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ delta \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } m { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-m \ varphi ( { \ vec { x } } ) \ right ) } dt $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ left ( m { \ vec { v } } \ cdot \ delta { \ vec { v } }-m \ delta \ varphi ( { \ vec { x } } ) \ right ) } dt $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ left ( m { \ vec { v } } \ cdot { \ frac { d \ delta { \ vec { x } } } { dt } }-m \ nabla \ varphi ( { \ vec { x } } ) \ cdot \ delta { \ vec { x } } \ right ) } dt $

$=m { \ vec { v } } \ cdot \ delta { \ vec { x } } | _ { t 一 } ^ { t 二 }-\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ left ( m { \ frac { d { \ vec { v } } } { dt } } \ cdot \ delta { \ vec { x } } + m \ nabla \ varphi ( { \ vec { x } } ) \ cdot \ delta { \ vec { x } } \ right ) } dt $

$=-\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ left ( m { \ frac { d { \ vec { v } } } { dt } } + m \ nabla \ varphi ( { \ vec { x } } ) \ right ) } \ cdot \ delta { \ vec { x } } dt $

所以有：$ m { \ frac { d { \ vec { v } } } { dt } } + m \ nabla \ varphi ( { \ vec { x } } )=零 $ 即：$ { \ vec { a } }=-\ nabla \ varphi ( { \ vec { x } } ) $，這是牛頓引力場內面的粒子運動方程。考慮佇牛頓引力場內底無壓理想流體的運動，著搝格朗日也變做：

$ L=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } ) \ right ) dV } $

其中：$ \ rho $—流體質量密度，$ dV $—體積元。牛頓引力場本身的搝格朗日量做：

$ { { L } _ { g } }=\ int { \ left (-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } $

同時考慮引力場佮無壓理想流體，其總拉格朗日量為：

$ L=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } $

為著欲引力場的運動方程，只對 $ \ varphi ( { \ vec { x } } ) $ 共咱取變分有：

$ 零=\ delta S=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ delta Ldt } $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ delta \ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } dt } $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ int { \ left (-\ rho \ delta \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ delta ( \ nabla \ varphi ) \ right ) dV } dt } $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ int { \ left (-\ rho \ delta \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla ( \ delta \ varphi ) \ right ) dV } dt } $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ int { \ left (-\ rho \ delta \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } ( \ nabla \ cdot ( \ delta \ varphi \ nabla \ varphi )-\ delta \ varphi { { \ nabla } ^ { 二 } } \ varphi ) \ right ) dV } dt } $

$=\ int \ limits _ { t 一 } ^ { t 二 } { \ int \ limits _ { \ Sigma } { \ left (-{ \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ delta \ varphi \ nabla \ varphi \ cdot d { \ vec { S } } \ right ) } + \ int { \ left (-\ rho \ delta \ varphi ( { \ vec { x } } ) + { \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ delta \ varphi { { \ nabla } ^ { 二 } } \ varphi \ right ) dV } dt } $，其中 $ \ Sigma $-包圍體積 V 的邊界

$=\ int { \ left (-\ rho + { \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } { { \ nabla } ^ { 二 } } \ varphi \ right ) \ delta \ varphi ( { \ vec { x } } ) dV } dt $

所以有引力場運動方程 $ { { \ nabla } ^ { 二 } } \ varphi=四 \ pi G \ rho $。按呢乎，咱有包含引力場佮無壓理想流體的總拉格朗日密度做：

$ \ not { L }={ \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi $

按照分析力學原理，阮有守恆量---哈密頓量（其中：$ { \ dot { \ varphi } }={ \ frac { \ partial \ varphi } { \ partial t } } $）為：

$ { \ begin { aligned } & H=\ int { \ left ( \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { 三 } { { { v } _ { i } } { \ frac { \ partial \ not { L } } { \ partial { { v } _ { i } } } } } + { \ dot { \ varphi } } { \ frac { \ partial \ not { L } } { \ partial { \ dot { \ varphi } } } }-\ not { L } \ right ) } dV \ \ &=\ int { \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { 三 } { { { v } _ { i } } { \ frac { \ partial } { \ partial { { v } _ { i } } } } \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) } dV } \ \ & \ mathop { } ^ { } + \ int { { \ dot { \ varphi } } { \ frac { \ partial } { \ partial { \ dot { \ varphi } } } } \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } \ \ & \ mathop { } ^ { }-\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } \ \ &=\ int { \ left ( \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } } \ right ) dV }-\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-\ rho \ varphi ( { \ vec { x } } )-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } \ \ &=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } } + \ rho \ varphi ( { \ vec { x } } ) + { \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } \ \ \ end { aligned } } $

其中 $ \ rho \ varphi ( { \ vec { x } } ) $ 代表理想流體佮引力場的互相作用會當，會當共歸做理想流體的能量，嘛會當共歸做引力場的能量，咱這馬共歸做引力場的能量，這當陣需要對引力場運動方程解說：$ \ rho={ \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } { { \ nabla } ^ { 二 } } \ varphi $，代入去到頂懸的：

$ { \ begin { aligned } & H=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } } + { \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ varphi { { \ nabla } ^ { 二 } } \ varphi + { \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } \ \ &=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } } + { \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ nabla ( \ varphi \ nabla \ varphi )-{ \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi + { \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } \ \ \ end { aligned } } $

$=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } + { \ frac { 一 } { 四 \ pi G } } \ int \ limits _ { \ Sigma } { \ varphi \ nabla \ varphi \ cdot d { \ vec { S } } } $

其中：$ \ Sigma $ 為著包圍體積 V 邊界。體積 V 是全空間。一般阮考慮有限區域的理想流體佮引力場的情況，這時邊界是無限遠處，無限遠處的邊界條件是 $ \ varphi \ nabla \ varphi \ to O ( { \ frac { 一 } { { r } ^ { 三 } } } ) $，$ d { \ vec { S } } \ to O ( { { r } ^ { 二 } } ) $，其積 $ \ varphi \ nabla \ varphi \ cdot d { \ vec { S } } \ to O ( { \ frac { 一 } { r } } ) $，所以 $ \ int \ limits _ { \ Sigma } { \ varphi \ nabla \ varphi \ cdot d { \ vec { S } } }=零 $ . 考慮著有限區域的理想流體佮引力場佮邊界條件，阮有：

$ H=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } $

咧分析力學中阮講哈密頓量做能量，所以閣會當寫為：

$ E=\ int { \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } }-{ \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi \ right ) dV } $

哈密頓量是守恆量即 $ { \ frac { dH } { dt } }=零 $ 嘛即 $ { \ frac { dE } { dt } }=零 $。對懸頂的結果咱看著講：$ { \ frac { 一 } { 二 } } \ rho { \ vec { v } } \ cdot { \ vec { v } } $ 代表理想流體的動能密度 $ { { T } _ { m } } $，$ { \ frac { 一 } { 八 \ pi G } } \ nabla \ varphi \ cdot \ nabla \ varphi $ 代表引力能密度 $ { { T } _ { g } } $，這个時陣咱看著總能量密度是 $ \ varepsilon={ { T } _ { m } }-{ { T } _ { g } } $，引力會當貢獻的是負能。當然喔，若共互相作用能歸做理想流體的能量，是引力會當貢獻是正能，數值猶原是 $ { { T } _ { g } } $。倒轉來