等化器

等化器（Equalizer）佇通訊系統中是足重要的一部分，因為傳送訊號佇傳送路徑到接收器接收的過程內底會受著多路徑干擾（multipath）、 路草中遮閘物阻擋造成遮閘效應（shadow effect）， 遮的現象攏會造成接收訊號錯誤率上升。所以為著降低通訊系統傳輸的錯誤率愛做通道估測，經過估測的結果對通道響應做補償進一步降低傳送錯誤率。現也有軟體通利用等化器處理聲音，將聲音專門為著啥物優化，如搖滾、流行、舞曲、古典、柔和等。

線性等化器（Linear equalizer）

zero forcing equalizer

• 佇頻域（freq . domain）的觀點，ZF 等化器是一个反向濾波器（E ( z )=一 / F ( z )）
• 佇時間，ZF 等化器的脈衝響應（impulse response）是脈衝函數（delta function）
• ZF 等化器會當完全消除 ISI，但是缺點是會造成雜訊放大

x ( t )：傳送信號

p ( t )：傳送濾波器使用波型

y ( t )：接收訊號

w：tap delay line filter 彼每一个 tap 這个係數

$ $ { \ begin { matrix } a _ { i }=一 , i=零 \ \ a _ { i }=零 , i \ neq 零 \ \ \ end { matrix } } $ $

$ $ x ( t )=\ sum \ limits _ { i } { a _ { i } p ( t-iT )=a _ { 零 } p ( t )=p ( t ) } $ $

$ $ y ( t )=\ sum \ limits _ { n=-N } ^ { N } { w _ { i } p ( t-nT ) } $ $

$ \ left [{ \ begin { matrix } p ( 零 ) & p (-T ) & \ cdots & p ( 鋪二 NT ) \ \ p ( T ) & p ( 零 ) & \ cdots & p (-( 二 N 影一 ) T ) \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ p ( 二 NT ) & p ( ( 二 N 影一 ) T ) & \ cdots & p ( 零 ) \ \ \ end { matrix } } \ right] $ $ \ left [{ \ begin { matrix } w _ {-N } \ \ w _ {-N + 一 } \ \ \ vdots \ \ w _ { 零 } \ \ \ vdots \ \ w _ { N } \ \ \ end { matrix } } \ right] $ = $ \ left [{ \ begin { matrix } 零 \ \ 零 \ \ \ vdots \ \ 一 \ \ \ vdots \ \ 零 \ \ \ end { matrix } } \ right] $ => AW=b , W=A ^ ( 影一 ) b

由頂頭推導即會當導出 Tap delay line equalizer 所以愛最佳係數

MMSE 等化器

ZF 等化器會當消除完全消除 ISI，但是程中會放大雜訊。MMSE 等化器是在使設計估測通道信號佮實際信號的均方精差為上細，雖然無法度完全消除 ISI 猶毋過袂造成雜訊的放大。d ( n ) 為實際通道、$ y _ { 零 } ( n ) $ 為通道估測結果、$ e _ { o } ( n ) $ 為兩項精差

$ $ e _ { 零 } ( n )=d ( n )-y _ { 零 } ( n )=d ( n )-h ( n ) $ $

$ $ J _ { MIN }=E ( ( e _ { 零 } ( n ) ) ^ { 二 } )=\ sigma _ { d } ^ { 二 } + \ sigma _ { h } ^ { 二 } 鋪二 E ( d ( n ) h ( n ) ) $ $

$ d ( n )=h ( n ) + e _ { opt } ( n ) $ $ \ Rightarrow E ( d ( n ) h ( n ) )=E ( h ( n ) ^ { 二 } ) + E ( h ( n ) e _ { opt } ( n ) ) $ $=> J _ { MIN }=\ sigma _ { d } ^ { 二 } + \ sigma _ { h } ^ { 二 } 鋪二 \ sigma _ { h } ^ { 二 }=\ sigma _ { d } ^ { 二 }-\ sigma _ { h } ^ { 二 } $

由面頂結果會當知影講，咱想欲得的結果 d ( n ) 會使正交分解做 d ( n )=h ( n ) + $ e _ { o } pt ( n ) $ 其中 h ( n ) 垂直於 $ e _ { o } pt ( n ) $

可適性演算法（for MSE）

通訊傳輸等化器設計，真重要就是欲揣出最佳的 tap-delay-line filter 係數，揣出一組會當精差上細的係數。佇咧時陣變（time-variant）通道中，通道的狀況隨時咧改變，所以佇設計等化器的時便愛因應無仝的通道狀況，隨時調整計算出使誤差上細的係數，這款演算法變稱做 adaptive algorithms。有適性（adaptive）演算法的好䆀會使後日幾項標準判定：

• 收斂速度：演算法咧經過偌濟改運算了後會使相當接近最後欲愛的結果
• 逐改重複運算（iteration）的計算量
• 錯誤調整（misadjustment）的大細

LMS 演算法

LMS 演算法通常包含兩部份（由以下兩項互相運作形成一回授（feedback loop）

• 濾波程序（filtering process）:

一 . 計算線系濾波器輸出對輸入信號的反應二 . 較輸出信號佮想欲的信號（desire signal）得著預測精差

• 有適合的程序（adaptive process）: 對估測無差，自動調整等化器參數

$ $ { \ begin { aligned } & J ( n )=\ left | e ( n ) \ right | ^ { 二 } , e ( n )=d ( n )-y ( n ) , y ( n )=w ^ { H } ( n ) u ( n ) \ \ &=> \ nabla J ( n )=鋪二 e ^ { * } ( n ) u ( n ) \ \ &=> w ( n + 一 )=w ( n )-{ \ frac { u } { 二 } } \ nabla J ( n )=w ( n ) + ue ^ { * } ( n ) u ( n ) \ \ \ end { aligned } } $ $

d ( n )：為著會當想著的信號

u ( n )：等化器輸入信號

y ( n )：等化器輸出信號

w ( n )：可能時變的 tap-delay line filter 係數

• 因為 LMS 演算法無需要事先求予 u ( n ) 的自相關函數（ACF）佮 u ( n ) 和 d ( n ) 的互相關函數（CCF）， 所以佇運算上簡化真濟，嘛因為 w ( n ) 是 e ( n ) 佮 u ( n ) 的函式（e ( n ) u ( n ) 是隨機的程序）， 所以乎 LMS 演算法是一統計濾波器（stochastic filter）。
• 咧設計 LMS-based 可適性濾波器的時陣，如何決定 step-size u 使 LMS 彼个演算法斂是一項足重要的議題
• 做零 < u < 二 / ŋ 時，LMS 演算法斂（ŋ \ _ max 是 u \ * $ u ^ { T } $ 的上大特徵值）

RLS 演算法

著逐个 n 值，咱根據 W [N] 來估計新的上細漢平面差傷濟，阮咧用 w ( n ) 來走揣，來表示講新的 w ( n + 一 ) 估計值時，希望避免 LS 演算法全部攏對頭重做的情況，用 RLS 演算法的好處是咱毋免將矩陣反置（inverse）， 按呢來會當省運算 POWER

演算法：

一 . 初初時條件：P ( 零 )=δ ^ ( 影一 ) ・ I，w ( 零 )=零，δ 是一大於零足細的常數二 . for n=一 , 二 , . . . . 計算 k ( n )，z ( n )，w ( n )

$ $ { \ begin { aligned } & k ( n )={ \ frac { \ lambda ^ { 影一 } p ( n 影一 ) u ( n ) } { 一 + \ lambda ^ { 影一 } u ^ { H } ( n ) p ( n 影一 ) u ( n ) } } \ \ & \ xi ( n )=d ( n )-w ^ { H } ( n 影一 ) u ( n ) \ \ & w ( n )=w ( n 影一 ) + k ( n ) \ xi ^ { * } ( n ) \ \ & p ( n )=\ lambda ^ { 影一 } p ( n 影一 )-\ lambda ^ { 影一 } k ( n ) u ^ { H } ( n ) p ( n 影一 ) \ \ \ end { aligned } } $ $

LMS 和 RLS 兩个人較：

一 . LMS 演算法的運算量少，為 L 的級數（L 為濾波器的長度）， 毋過收斂速度受著輸入信號的統計特性所影響，需要開較濟時間達到要求的收斂性能二 . RLS 演算法雖然收斂速度緊，毋過煞需要大摸的運算量，為 L 平方的級數。

Decision feedback equalizer

• DFE 有一个簡單根本的假定：做咱已經正確地偵測著一个 bit，咱會當利用由 bit 得著的智識佮對通道響應的了解，入去算出這个 bit 所造成的 ISI。句話講咱會當決定這个 bit 後來收著訊號序列所造成的影響，並扣除這个 bit 對後壁接收序列所造成的 ISI。
• DFE 由一个 forward filter（轉移函數 E ( z )）佮一个 feedback filter（轉移函數 D ( z )）所組成。一旦接收端 RX 著接收的信號做出決策，其實對了後信號所造成的影響（postcursor ISI）會使隨算出，並且扣除。
• DFE 使用回授系統，所以有 Error propagation 的現象

MMSE Decision feedback equalizer

MMSE DFE 的目標是透過佇咧雜訊放大佮殘餘 ISI（residual ISI）中間欲做選擇，進一步踏予齊全上小化。因為 DFE 雜訊放大的情況佮線性等化器無仝，所以乎 tap-delay-line 等化器的係數嘛就無仝。因為 postcursor ISI 袂造成雜訊放大，所以阮共目標囥佇咧做雜訊佮 precursorISI 的相加上細

feedforward 濾波器的係數會當由下列推導得著：

$ $ \ sum \ limits _ { n=-k } ^ { 零 } $ $ e _ { n } ( \ sum \ limits _ { m=零 } ^ {-l } { f _ { m } ^ { 影一 } f _ { m + l-n } + N _ { 零 } \ delta _ { nl } } ) $ $=-f _ {-l } ^ { * } $ $

其中 l , n=-k , . . . , 零 k : feedforward filter 的 tap 數，所以乎 feedback filter 係數為

$ { \ text { d } } _ { n }=-\ sum \ limits _ { m--k } ^ { 零 } { e _ { m } f _ { n-m } } $ for n=一 , . . . , $ K _ { b } $（feedback filter 的 tap 數）

MMSEDFE 輸出端的作品精差：

$ $ \ sigma _ { n } ^ { 二 }=N _ { 零 } \ exp ( { \ tfrac { T _ { S } } { 二 \ pi } } \ int \ limits _ { \ tfrac {-\ pi } { T _ { S } } } ^ { \ frac { \ pi } { T _ { S } } } { \ ln ( { \ frac { 一 } { z ( e ^ { jwT } + N _ { 零 } ) } } ) } ) dw ) $ $

Zero Forcing DFE

咱頂懸講著 ZF 等化器消除所有 ISI，致使致使有效通道是純因果性（purely casual）。 postcursor ISI 佇回授端會予人扣除，其輸出雜訊功率如下

$ $ \ sigma _ { n } ^ { 二 }=N _ { 零 } \ exp ( { \ tfrac { T _ { S } } { 二 \ pi } } \ int \ limits _ { \ tfrac {-\ pi } { T _ { S } } } ^ { \ frac { \ pi } { T _ { S } } } { \ ln ( { \ frac { 一 } { z ( e _ { } ^ { jwT } ) } } ) } ) dw ) $ $

Maximum Likelihood Sequence Estimation

上大概若親像函數估測（MLSE）利用判定佗一个符號（symbol）上類似接收著的信號，來對接收著的符號做決策。這个方法敢若循環碼（convolution code）解碼的過程事實上，佇咧延遲分散（delay dispersive）通道中會當為循環編碼法（code rate 一分之一啦）， MLSE 估計是來講所有等化器中效能上好的。

MLSE 接收著信號做

$ $ u _ { i }=\ sum \ limits _ { n=零 } ^ { L _ { C } } { f _ { n } c _ { i-n } + n _ { _ { i } } } $ $

其中 n 為高斯白雜訊，對於 N 個接收值的序列，接收訊號 u 的結合條件機率密度是

pdf（u│c , f )=$ { \ frac { 一 } { ( 二 \ pi \ sigma _ { n } ^ { 二 } ) ^ { N / 二 } } } \ exp (-{ \ frac { 一 } { 二 \ sigma _ { n } ^ { 二 } } } \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { N } { \ left | u _ { i }-\ sum \ limits _ { n=零 } ^ { L _ { C } } { f _ { n } c _ { i-n } } \ right | ^ { 二 } } ) $

所以當初 $ \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { N } { \ left | u _ { i }-\ sum \ limits _ { n=零 } ^ { L _ { C } } { f _ { n } c _ { i-n } } \ right | ^ { 二 } } $ 上點鐘，pdf ( u│c ; f ) 有上大值。

• MLSE 只有佇可加性雜訊是白雜訊（white）時有最佳化結果，所以號樣值在進入 MLSE 檢測器進前愛先經過 noise-whitening 濾波器

比較

• 使位元錯誤率（BER）上細漢：
• MLSE 等化器位元錯誤率比其他等化器攏細
• DFE 錯誤率比線性等化器好
• 當通道轉移函數（Transfer function）有零敢會當應付

ZF 等化器運算過程中共通道轉移函數做倒算了，所以等化器轉移函數會產上零點，MMSE 佮 MLSE 等化器攏袂產生這个問題

• 計算量
• 線性等化器計算量佮 DFE 算量無顯顯的差
• 可適性演算法隨者等化器長度線性、兩改方甚至四改方的增加
• 做過通道的脈衝響應長度增加的時陣，MLSE 等化器運算量成指數增加
• 能量消磨可由計算量推斷出
• 對通道估測精差的敏感度
• DFE 對估測誤差敏感度大於線性等化器 [來源請求]
• ZF 等化器的敏感度真大 MMSE 等化器

參考資料

• " Wireless Commuincation " , Andreas F . Molisch
• " Adaptive filter theory " , Simon HayKin