對數

佇咧數學中，對數（英語：Logarithm）是冪運算冪的運算。

定義

當 $ x=\ beta ^ { y } $ 時，則有

$ y=\ log _ { \ beta } x \ ! $

其中 $ \ beta $ 是對數的底（也講號做基數）， 而且 $ y $ 就是講 $ x $（對下底算 $ \ beta $）的對數，$ x $ 也講號做真數。

底數 $ \ beta $ 的值在事實的範圍內常取 $ e $、  十、二等，但一定袂使是一抑是零當 _ $ x $ _ 和 _ $ \ beta $ _ 進一步限制做正實的時陣，嘿數是唯一的實數。 比如講，因為乎

$ 三 ^ { 四 }=三 \ times 三 \ times 三 \ times 三=八十一 $，

咱會當著愛出

$ 四=\ log _ { 三 } 八十一 \ ! $，

用日常語言講，即「八十一以三為底的對數是四」。 這意思就是講，三的四改方是八十一。

歷史

對數

十五世紀的時陣，法國數學家丘凱佮德國數學家施蒂費而咧開展研究工作時產生了發展對數的思想，𪜶，尤其是後者，著等差數列佮等比數列的關係作一寡研究。但是𪜶並無予其得著閣較進一步的發展。

一般認為對數於十六世紀尾至十七世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰 ・ 納皮爾男爵佮瑞士工程師約斯特 ・ 佮佮吉發明。比爾吉捌做過出名天文學家克卜勒的助手，所以會定定接觸著複雜的天文計算，伊嘛因此生了化簡數值計算的想法。納皮爾是一位蘇格蘭貴族，對數值的計算有足深的研究。為著欲揣簡化球面三角計算的方法，伊嘛產生發展對數的想法。一六一四年，伊佇家己的冊《奇妙的對數表的描述》上發布矣家己的對數表，較比爾吉早矣六年。納皮爾發明的納皮爾算咧籌用加減法代替矣乘除法，成功簡化矣乘除法的運算，伊的對數被後人叫做納皮爾對數，記法為 Nap ・ logx。

一六二四年，英國數學家亨利 ・ 布里格斯書籍《嘿數算術》成功出版，書中寫有十四位常用對數表。布里格斯率先採用矣以十為底的常用對數，這馬伊爾通用。伊閣做正弦佮正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商佇布里格斯的基礎頂懸加以改進，伊出版的數字對數表佇歐洲快速普及起來。

十七世紀中葉（清朝初年）， 中國數學家薛鳳凰佮波蘭傳教士穆尼閣合作完成中國上早的對數著作《比例對數表》（閣名《歷學會通》）， 對數自此傳入中國。這个冊稱真數為「原數」，嘿數為「比例數」。 而且《數理精蘊》中則稱做對數比例：「 對數比例乃西士若往 ・ 納白爾所作，以借數佮真數對列做表，故名對數表。」中國因此普遍講的「對數」。

對數對科學的進步有所貢獻，特別是對天文學，予某一寡繁難的乘法計算轉換做加法計算。佇計算器佮計算機發明進前，對數長期用佇咧測量、航海、佮其他應用數學分支中。

符號

著數符號 $ \ log $ 出自拉丁文 logarithmus，上早是由一六三二年義大利數學家卡瓦列里所使用。納皮爾咧表示對數時套用 logarithm 規个詞，並無做簡化。一六二四年，克卜勒才共對數符號的簡化為 $ \ log $，奧特雷著愛佇一六四七年嘛用簡化矣的 Log。

一八九三年，皮亞嗎用 $ \ ln x $ 佮 $ \ lg x $ 分別表示以 $ e $ 為底的對數佮以十為底的對數。一九空二年，施托爾茨等等人以 $ a \ log . b $ 表示以 $ a $ 為底的 $ b $ 的對數。

二十世紀初，成做對數的現代標準表示 $ \ log _ { \ alpha } \ mathrm { N } $，為著欲使用方便，自然對數 $ \ ln N $ 的記法得著普遍認可。

著數函數

函數 $ \ log _ { \ alpha } x $ 依賴佇咧 $ \ alpha $ 和 $ x $ 二者，但是術語著數函數佇標準用法中用來稱呼形如 $ \ log _ { \ alpha } x $ 的函數，佇咧其中底數$ \ alpha $ 是固定的干焦一个參數 _ $ \ alpha $ _。

對數函數圖像佮指數函數圖像關於直線 $ y=x $ 對稱，互為這个函數。

著數函數的性質有：

一 . 攏過 $ ( 一 , 零 ) $ 點； 二 . $ x=零 $ 即 y 軸為其垂直漸近線。 三 . 定義域為 $ ( 零 , + \ infty ) $，值域為 $ \ mathbb { R } $； 四 . $ \ alpha > 一 $，佇咧 $ ( 零 , + \ infty ) $ 上是增函數；$ 一 > \ alpha > 零 $ 時，佇咧 $ ( 零 , + \ infty ) $ 上是減函數。 五 . 當 $ 零 < \ alpha < e ^ {-e } $ 時和 $ y=\ alpha ^ { x } $ 交於三點；$ e ^ {-e } < \ alpha < 一 $ 時間交於一點仔；$ 一 < \ alpha < e ^ { \ frac { 一 } { e } } $ 時間是交於兩點；$ \ alpha=e ^ { \ frac { 一 } { e } } $ 時間交於一點仔；$ \ alpha > e ^ { \ frac { 一 } { e } } $ 時間無交點。

有理佮無理指數

若是 $ n $ 是自然數，$ { \ beta } ^ { n } $ 表示等於 $ \ beta $ 的 $ n $ 個因子的乘積：

$ { \ beta } ^ { n }=\ underbrace { \ beta \ times \ beta \ times \ cdots \ times \ beta } _ { n } $。

猶毋過，若是 $ \ beta $ 是無等於一的正實數，這个定義會當湠到佇一个域內底的任何實數 $ n $（參見冪）。 類似的，對數函數會當定義於任何正實數。對無等於一的逐个正底數 $ \ beta $，有一个對數函數佮一个指數函數，𪜶互為講反函數。

對數會當簡化乘法運算做加法，除法為減法，冪運算做乘法，根運算為除法。所以乎，佇發明電子計算機進前，對數對進行傷長的數值算是足有路用的，𪜶講廣泛的用於天文、工程、航海佮測繪等等領域中。𪜶有重要的數學性質佇今仔日猶原佇廣泛使用中。

特殊底數

上捷用做底數的是 _ e _、十和二。 佇數學分析中，以 $ e $ 為底對數足捷看。另外一方面，以十為底對數佇咧十進位表示法內底，手工算真容易：

$ \ log _ { 十 } 十 x=\ log _ { 十 } 十 + \ log _ { 十 } x=一 + \ log _ { 十 } x . \ $

所以乎 $ \ log _ { 十 } x $ 表示正整數 $ x $ 的位數：數字的十進位數是嚴格大於 $ \ log _ { 十 } x $ 的上細漢的整數。比如講 $ \ log _ { 十 } 一千四百三十 \ approx 三-c一五 $，後一个整數是四，即一千四百三十的位數。

以二為底的對數捷用佇計算機科學，因為計算機中兩進位足普遍的。當然頂懸的算法嘛會當推廣到二進位：嚴格大於 $ \ log _ { 二 } x $ 的上細整數是 $ x $ 佇兩進位下跤的位數。事實上經由簡單推導即可得知，floor ( logpx ) + 一得著 $ x $ 佇咧 $ p $ 進位下跤的位數：若是 $ x $ 佇咧 $ p $ 進位下跤有 $ n $ 位，著 $ p ^ { n 影一 } \ leq x < p ^ { n } $；而且 $ p $ 是無佇咧二的正整數致使以其為底的 $ \ log _ { p } x $ 是增函數，故三爿取對數得 $ n 影一 \ leq \ log _ { p } x < n $，取下整拄仔好得著 $ n 影一 $。

下表列出遮下底數的捷用的對數符號以及𪜶所使用的領域。真濟學科攏寫 $ \ log ( x ) $ 來代替 $ \ log _ { b } ( x ) $，而且 $ b $ 的值根據前後文會當確定。記號 $ ^ { b } \ log ( x ) $ 嘛出現過。「ISO 表示法」（ISO 三十一孵十一）一列指定矣 ISO 推薦的表示方法。

底數變換

就算講有足濟有用的恆等式，算器上重要的是揣著毋是造佇計算器內的底算器 ( 通常是 $ \ log _ { e } $ 和 $ \ log _ { 十 } $ ) 的其他底數的對數。欲用其他的底數 $ \ beta $ 揣到底數 $ \ alpha $ 的對數 :

$ \ log _ { \ alpha } x={ \ frac { \ log _ { \ beta } x } { \ log _ { \ beta } \ alpha } } $。

此外，這个結果蘊涵了所有對數函數（任意底數）攏是互相類似的。所以用計算器計算對一石三千四百二十一石七千七百二十八底數二的對數 :

$ \ log _ { 二 } 一石三千四百二十一石七千七百二十八={ \ frac { \ ln 一石三千四百二十一石七千七百二十八 } { \ ln 二 } }={ \ frac { 二十七 \ ln 二 } { \ ln 二 } }=二十七 $。

嘿數的用途

著數嘿解冪是未知的方程是有用的。𪜶有簡單的導數，所以𪜶定定用佇解積分中。著數是三个相關的函數中的一个。佇咧等式 $ b ^ { n }=x $ 中，$ b $ 會當對 $ x $ 的 $ n $ 次方根，_ $ n $ _ 對 $ x $ 的 _ $ b $ _ 數底的對數，_ $ x $ _ 對 _ $ b $ _ 的 _ $ n $ _ 次的冪來確定。參見對數恆等式得著掌控對數函數的一寡規則。

簡便計算

嘿數共注意力對平常時仔的數轉移到了冪。只要使用仝款的底數，就會使特定運算閣較容易：

遮的關係使佇兩數頂懸的這種運算閣較緊，佇加法計算器出現進前正確的使用著數是基本的技術。

群論

對純數學的觀點來看，恆等式：$ \ log _ { \ alpha } \ mathrm { M } \ mathrm { N }=\ log _ { \ alpha } \ mathrm { M } + \ log _ { \ alpha } \ mathrm { N } \ ! $， 佇兩種意義伊是基本的。首先，其他三个算術性質會當對伊會出。進一步的，伊表達著佇咧正實數的乘法群佮所有實數的加法群之間的同構。

對數函數是對正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。

複對數

複對數計算公式：

$ { \ begin { cases } \ arctan 零={ \ pi } , & { \ mbox { for } } a < 零 \ ! \ , \ \ \ arctan 零=零 , & { \ mbox { for } } a > 零 \ ! \ , \ \ \ end { cases } } $

$ \ mathbb { Z }=\ { k , n \ } $

微積分

自然對數函數的導數是

$ { \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } x } } \ ln \ left | x \ right |={ \ frac { 一 } { x } } $。

通過應用換底規則，其他底數的導數是

$ { \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } x } } \ log _ { b } x={ \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } x } } { \ frac { \ ln x } { \ ln b } }={ \ frac { 一 } { x \ ln b } } $。

自然對數 $ \ ln x \ , $ 的無定積分是

$ \ int \ ln x \ , { \ rm { d } } x=x \ ln x-x + C , $

啊若其他的底數對數的無定著的積分是

$ \ int \ log _ { b } x \ , { \ rm { d } } x=x \ log _ { b } x-{ \ frac { x } { \ ln b } } + C=x \ log _ { b } { \ frac { x } { e } } + C $。

計算自然對數的級數

有一寡級數來算自然對數。上簡單佮低效的是 :

$ \ ln z=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac {-{ ( 影一 ) } ^ { n } } { n } } ( z 影一 ) ^ { n } $ 當 $ | z 影一 | < 一 \ ! $。

落做推導：

由

$ { \ frac { 一 } { 一-x } }=一 + x + x ^ { 二 } + x ^ { 三 } + \ cdots $。

佇咧兩爿積分會著

$-\ ln ( 一-x )=x + { \ frac { x ^ { 二 } } { 二 } } + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } } + \ cdots $

$ \ ln ( 一-x )=-x-{ \ frac { x ^ { 二 } } { 二 } }-{ \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } }-{ \ frac { x ^ { 四 } } { 四 } }-\ cdots $。

設 $ z=一-x \ ! $ 並因此 $ x=-( z 影一 ) \ ! $，得著

$ \ ln z=( z 影一 )-{ \ frac { ( z 影一 ) ^ { 二 } } { 二 } } + { \ frac { ( z 影一 ) ^ { 三 } } { 三 } }-{\ frac { ( z 影一 ) ^ { 四 } } { 四 } } + \ cdots $

閣較有效率的級數是對反雙曲函數的

$ \ ln z=二 \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { 二 n + 一 } } \ left ( { \ frac { z 影一 } { z + 一 } } \ right ) ^ { 二 n + 一 } $

著帶有正實的 $ z $。

推導：代換 $-x $ 為 $ x $，得著

$ \ ln ( 一 + x )=x-{ \ frac { x ^ { 二 } } { 二 } } + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } }-{ \ frac { x ^ { 四 } } { 四 } } + \ cdots $。

做減法，得著

$ \ ln { \ frac { 一 + x } { 一-x } }=\ ln ( 一 + x )-\ ln ( 一-x )=二 x + 二 { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } } + 二 { \ frac { x ^ { 五 } } { 五 } } + \ cdots $。

設 $ z={ \ frac { 一 + x } { 一-x } } \ ! $ 並因此 $ x={ \ frac { z 影一 } { z + 一 } } \ ! $，得著

$ \ ln z=二 \ left [{ \ frac { z 影一 } { z + 一 } } + { \ frac { 一 } { 三 } } { \ left ( { \ frac { z 影一 } { z + 一 } } \ right ) } ^ { 三 } + { \ frac { 一 } { 五 } } { \ left ( { \ frac { z 影一 } { z + 一 } } \ right ) } ^ { 五 } + \ cdots \ right] $。

比如講，應用這个級數佇咧

$ z={ \ frac { 十一 } { 九 } } , $

得著

$ { \ frac { z 影一 } { z + 一 } }={ \ frac { { \ frac { 十一 } { 九 } } 影一 } { { \ frac { 十一 } { 九 } } + 一 } }={ \ frac { 一 } { 十 } } , $

並因此

$ \ ln 一 . { \ dot { 二 } }={ \ frac { 一 } { 五 } } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { 三 \ cdot 一百 } } + { \ frac { 一 } { 五 \ cdot 一孵 } } + { \ frac { 一 } { 七 \ cdot 一百抹 } } + \ cdots \ right ) $

$=空二二 \ cdot ( 一孵空空空空空空 \ dots + 空空空 { \ dot { 三 } } + 空空空空空二 + 空空空空空空空 { \ dot { 一 } } 四千兩百八十五 { \ dot { 七 } } + \ cdots ) $

$=空二二 \ cdot 一孵空空三三五 \ cdots=空五二空空六七空 \ cdots $

佇遮咱佇第一行的總和中提出因數 $ { \ frac { 一 } { 十 } } $。

著任何其他的底數 $ \ beta $，阮使用

$ \ log _ { \ beta } x={ \ frac { \ ln x } { \ ln \ beta } } $。

電腦

多數電腦語言共 $ \ log ( x ) $ 用做自然對數，定定用對數典型的指示為 log 十 ( x )。參數佮返回值典型的是浮點資料類型。

因為參數是浮點數，會當有用的做如下考慮：

浮點數值 $ x $ 被表示為尾數 $ m $ 佮指數 $ n $ 所形成的

$ x=m 二 ^ { n } $。

所以

$ \ ln ( x )=\ ln ( m ) + n \ ln ( 二 ) $。

所以乎，替代計算 $ \ ln ( x ) $，阮算對某一个 $ m $ 的 $ \ ln ( m ) $ 予得 $ 一 \ leq m \ leq 二 $。有佇這个範圍內底 _ $ m $ _ 意味有值 $ u={ \ frac { m 影一 } { m + 一 } } $ 總是佇範圍 $ 零 \ leq u < { \ frac { 一 } { 三 } } $ 內。某一寡機器使用佇範圍 $ 空七五 \ leq m < 一 $ 內的尾數，而且佇這个情況下 $ u $ 的值將佇範圍 $-{ \ frac { 一 } { 三 } } < u \ leq 零 $ 內。佇任何一種情形下，這个級數攏是閣較容易算的。

一般化

這个普通的正實數的對數一般化做負數佮複數參數，就算講伊是多值函式，愛終止咧分支點空頂的分支切切割，來製作一个普通函式抑是主分支。複數 $ z $ 的（底數 $ e $）的著數是複數 $ \ ln ( \ left \ vert z \ right \ vert ) + i \ arg ( z ) $，遮的 $ \ left \ vert z \ right \ vert $ 是 _ $ z $ _ 的模仔，$ \ arg ( z ) $ 是輻角，而且 $ i $ 是虛單位；詳細參見複對數。

離散對數是佇有限群理論內底的相關概念。伊牽涉著解方程 $ b ^ { n }=x $，遮的 $ b $ 和 $ x $ 是這个群的元素，而且 $ n $ 是指定佇群運算上的冪。對某寡有限群，根據信離散嘿數是非常難計算的，離散指數非常容易。這款無對稱性會當用於公開金鎖加密。

矩陣對數是矩陣指數的反函式。

對無等於一的逐个正數 $ b $，函式 $ \ log _ { b } ( x ) $ 是對咧乘法下的正實數的群到在加法下（所有）實數的群的同構。𪜶是唯一的連紲的這種同構。對數函式會當擴充為咧乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。

著數表

佇發明計算機進前，使用對數意味來查對數表，伊著愛手工建立。

參見

• 對數恆等式
• 自然對數
• 常用對數
• 離散對數
• 芮氏地動規模
• 分貝

外部連結

• Explaining Logarithms
• Log Calculator for all bases .
• Logarithm on MathWorld
• Jost Burgi , Swiss Inventor of Logarithms
• Logarithm calculators and word problems with work shown , for school students
• Translation of Napier's work on logarithms
• Logarithms-from The Little Handbook of Statistical Practice
• Algorithm for determining Log values for any base
• 常用對數表（文字版）