單峰映射

單峰映射（英語：Logistic map）一種兩改外項式的炤出來（遞迴關係式），是一个由簡單非線性的方式產生透濫現象的經典範例。這種映射因為生物學家 Robert May 佇咧一九七六年發表的一篇論文而出名，一定程度上是離散時間的族群 / 模型，類似於皮埃爾・鋪朗索瓦・韋呂勒的邏輯斯函數。。單峰影射實質上是邏輯斯函數的差分方程式，其數學表達為：

$ x _ { n + 一 }=rx _ { n } ( 一-x _ { n } ) $

其中

$ x _ { n } $ 是介於零佮一之間的數，表示當前族群數量 / 人口數量佮環境承載力的比值。
$ r $ 是正整數，是根據湠種佮死亡率會出的數。

單峰炤的方程式旨咧講以下兩个現象：

一 . 做族群數量 / 人口少時，繁殖增加的個體數大致佮族群原本的總數目成正比；二 . 高密度致使的死亡，環境資源有其承載力（上大容量），彼種接近上大容量的時陣，增長率下降的速度佮環境承載力減去做前族群數量差做正比。

參數 r 通常號 [零 , 四] 區間內的值，所以 xn 佇咧 [零 , 一] 上保持有界。_ r _=四个情景是 dyadic 映射佮參數 μ=二的布篷搬戲的非線性變換。當 _ r _ > 四時，族群數量會出現負值（該問題閣較早仝款表現出混動態的 Ricker 模型內底袂出現）。嘛是有佇咧 [− 二 , 零] 的區間內取 r 值，該情形下 xn 有界，因為 [− 空七五 , 一垺五] 之間。

r 的值對結果的影響

變化參數 $ r $ 的值，其結果下：

零佮一之間：無論頭價值按怎，$ x _ { n } $ 會愈來愈少，落尾趨佇咧零。
一佮二之間：無論頭價值按怎，$ x _ { n } $ 會快速的趨近 $ { \ frac { r 影一 } { r } } $。
二佮三之間：經過幾擺迵天代，$ x _ { n } $ 嘛會愈來愈接近 $ { \ frac { r 影一 } { r } } $，但是一開始會佇這个值左右振動，收斂速率是線性的。
三：$ x _ { n } $ 猶原會愈來愈接近 $ { \ frac { r 影一 } { r } } $，毋過收斂速率真勻仔勻勻仔，毋是線性的。
三和 $ 一 + { \ sqrt { 六 } } $（大約是三人四五）之間：針對差不多所有的初值，$ x _ { n } $ 尾仔會佇兩个值之間繼續的震盪，即 $ x _ { n } $ 上尾會是 a , b , a , b . . . 的變化，其數值和 $ r $ 有關。
三人四五佮大約是三人五四之間，針對差不多所有的初值，$ x _ { n } $ 尾仔會佇咧四个值之間繼續的震盪。
大約是佇三更五四：$ x _ { n } $ 尾仔會佇這个八个、十六个、三十二个值…… 之間繼續的震盪，至於 $ r $ 何時會令 $ x _ { n } $ 的值由 n 二個到 n 個，是佮費根鮑姆常數 $ \ delta=四堵六六九 . . . $ 有關。
大約是三更五六九九：這款的振動消失，規个系統開始佇咧混絡的狀態之中。針對差不多所有的初值，攏袂出現固定週期的震盪，初值閣較細个仔變化，綴時間攏會使結果來產生明顯的差別，這就是典型透濫的特性。
大於是三更五六九九：規个系統是佇咧混絡的狀態內底。猶毋過，內底有一寡特定的 $ r $ 值抑是使系統變做非混混，有週期性的結果，遮的區間號做「穩定島」。可比講當 $ r $ 大約是佇咧三允八二，會出現三个值的週期，閣較大一點仔出現六个值得到十二个值的週期。
當 $ r $ 對大約是三石五六九九到大約是三石八二八四之間，系統混糊性質發展的現象有時陣會叫做 Pomeau–Manneville 內場景，其實特徵是週期性的震盪佮非週期性的行為會穿插出現。此特徵會當應用佇半導體元件內底。也有其他區域會使系統的週期為五个值，毋管任意週期攏存在某特定的 $ r $，予禮拜為著指定值。
大於四：針對差不多所有的初值，系統最後攏會超過區間 [零 , 一] 並且發散。

著任一个 $ r $ 值，上濟干焦有一个穩定的極限環，若穩定極限環存在，差不多所有的點最後攏會趨近極限。若某一个 $ r $ 值有一个穩定的極限環，可能嘛有無限個無仝禮拜的無穩定極限。

遮的狀況會當用分枝圖表示，分枝圖內底的橫軸是參數 $ r $ 的數值，縱軸中顯示大部份初值下，穩態可能的 $ x $ 值，若尾仔數值會佇兩个值中震盪，分枝圖頂懸咱對應的數值就會有二點。若某乜特定 $ r $ 值下，已經無法度明確的看著是有幾个對應的點，彼當陣系統可能已經咧楦闊的狀態之下。

分枝圖有自相𫝛的特性。咱若共分椏圖內底 $ r=三-c八二 $ 展開的部份，干焦取三个分支中的一个。其圖形會敢若是原分枝圖縮放佮扭曲了後的結果。針對所有誠清楚的參數 $ r $ 攏有這个特別。往過會當看出混合碎形深入佮明顯的關係。

單峰映射佮混糊

和其他的混絡系統較，單峰映射較簡單，是一个說明透濫特性的真好的例。簡單來講，混辱就是對初初條件的高度靈敏度。$ r $ 是佇三更五七佮四之間的大部份數值攏會當使單峰出現此時一特性。對初初時條件有高度靈敏度誠捷看原因是映射本身是對定義域的伸勼手摺摺。單峰映射的二次差這个分方程式會當看做是對區間 ( 零 , 一 ) 牽磕拗仔的過程。

利用二維佮三維的相圖會當看出一寡單峰映射的特性。以 $ r=四 $ 的單峰映射做例，二維相圖共拋物線，但是若用 $ ( x _ { n } , x _ { n + 一 } , x _ { n + 二 } ) $ 畫三維圖圖樣，會當看出進一步的結構，咱譬如講幾个仔一開始足接近的點迵天開始出去．特別是佇咧趨率較大位的點。

搝伸勼拗疊的結果迵天的數列以指數形式發散（參照李亞普諾夫指數），會當用有混絡特性的時陣，單峰映射的複雜佮袂當預測性說明這點。事實上，數列的指數發散說明矣混和不可預測性之間的關係：初值微細的誤差迵天代過程中會以指數成長的方式增加。因此當對初狀態的資訊內底有小可仔重耽的時陣．對未來狀態的預測準確度嘛會迵天代的次數增加快速變䆀。

因為映象是限制佇伊實數線的一段範圍內底，其維持小於是等於一。依數值分析的結果，佇咧 r=三更五六九九四五六 . . . 時（拄開始透特性的時陣），其關聯維度做空炤五空空 ± 空九空空五（Peter Grassberger , 一千九百八十三）、郝斯多夫維數大約是靈石五三八，啊若碎形維數替空抹五一七空九七六 . . .。

有一寡混絡系統會當對其未來的狀態可能性作準確的描述。若一个有可能混絡特性的動態系統存在吸引子，存在一機率量測描述系統長期下，佇咧吸引子各部份所開時間的比例。以 $ r=四 $ 的單峰映射來講，開始狀態佇區間 ( 零 , 一 ) 中，吸引囝嘛咧間 ( 零 , 一 ) 中，其機率量測對應參數 $ a=空七五 , b=空七五 $ 的 Β 分布，其實無變測度為 $ \ pi ^ { 影一 } x ^ {-二分之一 } ( 一-x ) ^ {-二分之一 } $。不可預期閣有隨機無仝款，不過佇一寡情形下這兩蓋類似，而且嘛算對單峰映射（抑是其他透濫系統）初值只有真少的資訊，猶原會當針對長期的分佈作某一種程度的預測。

部份的情形下的解部份

佇咧 $ r=四 $ 佮 $ r=二 $ 的特殊情形下，單峰映射有解析解。毋過大部份的情形下跤的通解只會當用統計的方式來預測。$ r=四 $ 的解為

$ x _ { n + 一 }=\ sin ^ { 二 } ( 二 ^ { n } \ theta \ pi ) $

其中初初條件參數 $ \ theta $ 是由 $ \ theta={ \ tfrac { 一 } { \ pi } } \ sin ^ { 影一 } ( x _ { 零 } ^ { 二分之一 } ) $ 求會得。針對有理數的 $ \ theta $，有限的次數的迵天了後 $ x _ { n } $ 就會變做一禮拜性的數列。猶毋過差不多所有的 $ \ theta $ 攏是無理數，現此時 $ x _ { n } $ 袂閣重複，所以無彼个週期解。此解會當清楚的看出混混的兩个重要特徵：搝伸手摺簿仔。差不多二 n 表示搝伸的指數成長，就按呢造成蝴蝶效應，也就是對初初值的懸度靈敏性，咧解中包括正弦函數的平方，使解折折佇 [零 , 一] 的範圍內底。

$ r=二 $ 的解為：

$ $ x _ { n }={ \ frac { 一 } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { 二 } } ( 一孵二 x _ { 零 } ) ^ { 二 ^ { n } } $ $

對於 $ x _ { 零 } \ in [ 零 , 一 ) $。現此時伊無濫著的特性。因為對無包括無穩定固定點空在內的 $ x _ { 零 } $，當 _ n _ 趨近無限大時 $ ( 一孵二 x _ { 零 } ) ^ { 二 ^ { n } } $ 會倚過去無，所以 $ x _ { n } $ 會趨近穩定的固定點 $ { \ tfrac { 一 } { 二 } } . $。

_ r _=四時揣任意禮拜的循環

_ r _=四時，差不多所有的初值攏會予單峰映射出現透濫特性，毋過嘛存在無限個初值會當單峰影射最後呈週期性變化，而且伊對所有整數，攏存在一初值使單峰影射的週期為該正整數。會當利用單峰影射佮位元位移映射之間的關係來揣出任何禮拜的循環。若是 _ x _ 依照單峰映射 $ x _ { n + 一 }=四 x _ { n } ( 一-x _ { n } ) \ , $ 而且 _ y _ 依照位元位來移映射

$ y _ { n + 一 }={ \ begin { cases } 二 y _ { n } & 零 \ leq y _ { n } < 空七五 \ \ 二 y _ { n } 影一 & 空七五 \ leq y _ { n } < 一 , \ end { cases } } $

則兩个變數的關係如下：

$ x _ { n }=\ sin ^ { 二 } ( 二 \ pi y _ { n } ) $ .

位元位移映射其名稱是因為做 _ y _ 以二進制表示的時陣，映射會將兩進制的數字倒徙一位。比如講若數字是二進制的循環小數，循環節為一，則位元位移映射的序列做一百零一千空一 . . . → 一千空一孵空一十 . . . → 一孵空一十五空一百 . . . → 一百鼻空一千空一 . . .，為禮拜為三的循環，循環節為十 , 十一 , 一百 , 一百空一 , 一百十八个時陣嘛有類似的情形，遮的循環小數攏會當轉換做對應的分數，上例如果以分數表示：七分之一 → 七分之二 → 七分之四 → 七分之一。轉換著 r=四的單峰映射了後，為六孵一千一百二十六刣空四百六十七 . . . → . 九九五千空四十八撨四千四百三十四 . . . → . 一石八千八百二十五五五千空九十九 . . . → . 六孵一千一百二十六刣空四百六十七 . . .。其他禮拜為三的循環嘛會當轉換做單峰映射。依仝款的方式嘛會當揣出在位元位移映射下，任意週期的循環，閣換做單峰共人射。

猶毋過差不多所有咧區間 [ 零 , 一 ) 的數字攏是無理數，初初值為無理數位元位移映射無循環的特性，因此對應的單峰映射也無循環的特性。

參考資料

教科書

Sprott , Julien Clinton . Chaos and Time-Series Analysis . Oxford University Press . 兩千空三 . ISBN 空二十九九石八十五五五空八百四十五九 .
Strogatz , Steven . Nonlinear Dynamics and Chaos . Perseus Publishing . 兩千 . ISBN 空九七千三百八十二五四百五十三鋪六 .
Tufillaro , Nicholas ; Tyler Abbott , Jeremiah Reilly . An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos . Addison-Wesley New York . 一千九百九十二 . ISBN 空九二百空一四五五千四百四十一孵空 .

外部連結

曼德博集合佮單峰映射的聯繫
The Chaos Hypertextbook
Java Applet
Logistic Map Simulation . A Java applet simulating the Logistic Map by Yuval Baror .
Logistic Map . Contains an interactive computer simulation of the logistic map .
The Chaos Hypertextbook . An introductory primer on chaos and fractals .
Interactive Logistic map with iteration and bifurcation diagrams in Java .
Interactive Logistic map showing fixed points .
Macintosh Quadratic Map Program
The transition to Chaos and the Feigenbaum constant-JAVA applet
The Logistic Map and Chaos by Elmer G . Wiens
Complexity & Chaos ( audiobook ) by Roger White . Chapter 五 covers the Logistic Equation .
" History of iterated maps , " in _ 一種新科學 _ by 史蒂芬・沃爾夫勒姆 . Champaign , IL : Wolfram Media , p . 九百十八矣 , 兩千空二 .
Discrete Logistic Equation by Marek Bodnar after work by Phil Ramsden , Wolfram 演示項目 .
Multiplicative coupling of 二 logistic maps by C . Pellicer-Lostao and R . Lopez-Ruiz after work by Ed Pegg Jr , Wolfram 演示項目 .
Using SAGE to investigate the discrete logistic equation