盧曼-緬紹夫定理

盧曼-緬紹夫定理（英語：Looman–Menchoff theorem）是複分析中的一條定理，通用佇判斷複函數的解析性。應該定理指出，定義佇咧複數平面上某一个區域內的連紲函數是解析函數，若有唯一若有視作 $ \ mathbb { R } ^ { 二 } \ to \ mathbb { R } ^ { 二 } $ 咧做，四个偏導數處處存在而且滿足柯西-黎曼方程式。該定理由盧曼於一九二三年提出，佇一九三一年由緬紹夫予出完整證明。雖然定理牽涉著初等數學領域，毋過其證明需要運用現代實變函數理論。

背景

定義佇咧複數平面內的區域頂懸的複解析函數 $ f { ( x + iy ) }=u + iv $ 佇整個定義域內滿足柯西-黎曼方程式：

$ { \ partial u \ over \ partial x }={ \ partial v \ over \ partial y } , $

$ { \ partial u \ over \ partial y }=-{ \ partial v \ over \ partial x } . $

上述命題的部分逆命題亦成立，比如講：額外假定 $ f $ 作為實函數佇區域內處處會當微，抑是假定講 $ f $ 的偏導數處處連紲，同時滿足柯西-黎曼方程式，攏會當推出 $ f $ 是區域內底的解析函數；其中前一个命題對愛分華・古爾薩佇一九零零年證明，閣予人叫做古爾薩定理。實際上，遮的附加條件存在放寬的地。二十世紀初，人對放冗函數解析性的判定條件這一問題開展了大量的研究。一九空五年，迪米特里呢・蓬佩尤指出，古爾薩定理的附加條件會當放予闊到「函數佇區域內底差不多四界真微」。了後，盧曼佮迪米特里・緬紹夫佇這領域做出了重要的貢獻。

盧曼注意著，干焦假定偏導數佇區域內處存在，而且滿足柯西-黎曼方程式，並無夠保證函數佇區域上的解析性—— 甚至袂當保證函數佇咧其中的連續性：如下定義的複變函數，佇咧複數平面上處可求偏導，而且偏導數滿足柯西-黎曼方程式，毋過伊佇原點處並無解析：

$ f ( z )=\ left \ { { \ begin { aligned } \ exp (-z ^ { 扳四 } ) , & & { z \ neq 零 } \ \ 零 , & & { z=零 } \ end { aligned } } \ right . $

一九二三年，盧曼斷言只要附加函數佇區域連紲的條件，就會當推出函數的解析性，對強化了古爾薩定理。毋過，盧曼彼當陣的證明中存在一个漏洞。緬紹夫佇一九三一年發表的證明是彌補這一空隙，伊的證明用著矣勒貝格積分佮貝爾綱定理。一九三三年，數學家斯坦尼斯拉夫・薩克斯回顧了這一證明，並共號名做「盧曼-緬紹夫定理」。薩克斯嘿該證明評價數足懸的：「攏不疑問，伊是現代實變函數理論佇初等數學領域上優美和使人意外的應用之一」。

定理的陳述佮證明

設 $ D $ 為著複數平面 $ \ mathbb { C } $ 上的開集，$ f { ( x + iy ) }=u + iv $ 為定義佇咧 $ D $ 上的連紲複變函數。若偏導數 $ \ partial u \ over \ partial x $、$ \ partial v \ over \ partial y $、$ \ partial u \ over \ partial y $、$ \ partial v \ over \ partial x $ 佇咧 $ D $ 上處理佇四界滿足柯西-黎曼方程式，著 $ f $ 為 $ D $ 上的解析函數。

引理

做證明盧曼-緬紹夫定理，需要先證明落去引理：

設 $ R $ 為 $ \ mathbb { R } ^ { 二 } $ 正四角形，$ f $ 為 $ R $ 到 $ \ mathbb { R } $ 的映射，而且佇咧 $ R $ 內處處可求偏導。若存在 $ R $ 的某一个非空閉集 $ E $ 佮正數 $ N $，予得：

記 $ [a , b] \ times [c , d] $ 為包 $ E $ 的上小矩形，則有：

$ \ left | \ int _ { a } ^ { b } ( f ( x , d )-f ( x , c ) ) dx-\ int _ { E } { \ partial f \ over \ partial y } d \ sigma \ right | \ leqslant 五 Nm ( R-E ) $

$ \ left | \ int _ { c } ^ { d } ( f ( b , y )-f ( a , y ) ) dy-\ int _ { E } { \ partial f \ over \ partial x } d \ sigma \ right | \ leqslant 五 Nm ( R-E ) $

其中 $ m ( A ) $ 代表集合 $ A $ 的測度。做證明該引理，會當先考慮一維的情形。這陣，$ R $ 為實數軸上的區間 $ [a , b] $，而且 $ E $ 替其內一个閉集。會當佇 $ R $ 上定義一个輔助函數，伊佇咧 $ E $ 內取 $ f $，佇咧 $ I-R $ 內取分段線性函數，閣保持邊界的連紲。會當證明，該輔助函數佇咧規个 $ R $ 上利普希茨連續，就按呢絕對連紲，差不多四界會當導，而且函數會當積。而且 $ E $ 的孤立點集至多可數，佇咧 $ E $ 非孤立點集上，輔助函數佮 $ f $ 的導數閣差不多四界相等等。故而且：

$ \ left | f ( b )-f ( a )-\ int _ { E } { \ partial f \ over \ partial x } dx \ right | \ leqslant Nm ( R-E ) $

轉來到引理，因為 $ [a , b] \ times [c , d] $ 是包含閉集 $ E $ 的上小矩形，佇區間 $ [c , d] $ 上必然存在點 $ \ alpha $、$ \ beta $，予得 $ ( a , \ alpha ) , ( b , \ beta ) \ in E $。著 $ [c , d] $ 上的任何一點 $ \ chi $，攏有：

其中 $ L $ 為 $ R $ 的邊長。記 $ E $ 中所有淡薄仔縱坐標的集合為 $ A $，$ A $ 佇咧 $ [c , d] $ 中的補集做 $ B $。著 $ f ( a , \ chi )-f ( b , \ chi ) $ 佇咧 $ B $ 最的積分滿足：

$ | \ int _ { B } ( f ( a , \ chi )-f ( b , \ chi ) ) d \ chi | \ leqslant \ int _ { B } 四 NLd \ chi \ leqslant 四 Nm ( R-E ) $

另外一方面，$ \ forall \ chi \ in A $，會當證明 $ E _ { \ chi }=\ { ( \ phi , \ chi ) | ( \ phi , \ chi ) \ in E \ } $ 是閉集。所以，著連接 $ ( a , \ chi ) $ 和 $ ( b , \ chi ) $ 伊的線段使用描述一維情形的結論，可知：

$ \ left | f ( b , \ chi )-f ( a , \ chi )-\ int _ { E _ { \ chi } } { \ partial f \ over \ partial x } dx \ right | \ leqslant N ( b-a-m ( E _ { \ chi } ) ) $

將上式佇咧 $ A $ 上積分，並且會重積分化作累次積分，可得：

$ | \ int _ { A } ( f ( a , \ chi )-f ( b , \ chi ) ) d \ chi-\ int _ { E } { \ partial f \ over \ partial x } d \ sigma | \ leqslant Nm ( R-E ) $

注意著下式就會當證明引理：

$ | \ int _ { E } ( f ( a , \ chi )-f ( b , \ chi ) ) d \ chi-\ int _ { E } { \ partial f \ over \ partial x } d \ sigma | \ leqslant | \ int _ { B } ( f ( a , \ chi )-f ( b , \ chi ) ) d \ chi | + | \ int _ { A } ( f ( a , \ chi )-f ( b , \ chi ) ) d \ chi-\ int _ { E } { \ partial f \ over \ partial x } d \ sigma | \ leqslant 五 Nm ( R-E ) $

證明概愛

記 $ E $ 為 $ D $ 中 $ f $ 無解破的點的集合。利用反證法：準講 $ E $ 非空，只需證明存在的 $ E $ 的一个子集，予得 $ f $ 佇其上解破，即可推出矛盾，進一步說明原命題成立。

利用解析性佮圍道積分的關係會當證明 $ E $ 是一个閉集。定義 $ E _ { n } $ 為 $ D $ 的具備如下性質的子集：

$ E _ { n }=\ { z | z \ in D , \ left | f ( z + h )-f ( z ) \ right | \ leqslant n \ left | h \ right | , \ left | f ( z + ih )-f ( z ) \ right | \ leqslant n \ left | h \ right | , \ forall h \ in \ mathbb { R } , D ( z , h ) \ subset D , \ left | h \ right | \ leqslant 一 / n \ } $

由 $ f $ 的連續性佮處處會當求偏導的性質分別會當推出 $ E _ { n } $ 是閉集，而且 $ E \ subset D \ subseteq \ cup _ { n=一 } ^ { \ infty } E _ { n } $。所以，是由貝爾綱定理，必然上無存在一个 $ E _ { k } $ 和 $ D $ 中開集 $ K $，予得 $ \ emptyset \ neq E \ cap K \ subseteq E _ { k } $。

設 $ Q $ 是 $ K $ 中國意一个邊長小於 $ 一 / k $，而且交 $ E $ 非空的正四角形。可證 $ u ( x + iy ) $、$ v ( x + iy ) $ 做為 $ Q \ to \ mathbb { R } $ 的映射，攏滿足引理的要求一切條件。所以，咧包括 $ E \ cap Q $ 的上小矩形 $ R=[a , b] \ times [c , d] $ 上：

$ \ left | \ int _ { a } ^ { b } ( v ( x , d )-v ( x , c ) ) dx-\ int _ { E \ cap Q } { \ partial v \ over \ partial y } d \ sigma \ right | \ leqslant 五 km ( Q-{ E \ cap Q } ) $

$ \ left | \ int _ { c } ^ { d } ( u ( b , y )-u ( a , y ) ) dy-\ int _ { E \ cap Q } { \ partial u \ over \ partial x } d \ sigma \ right | \ leqslant 五 km ( Q-{ E \ cap Q } ) $

注意著 $ u $、$ v $ 滿足柯西-黎曼方程式，會用得著著 $ f $ 佇咧 $ R $ 邊界上積分的虛部估計式：

$ \ left | Im \ oint _ { \ partial R } fdl \ right | \ leqslant \ left | \ int _ { a } ^ { b } ( v ( x , d )-v ( x , c ) ) dx-\ int _ { E \ cap Q } { \ partial v \ over \ partial y } d \ sigma \ right | + \ left | \ int _ { c } ^ { d } ( u ( b , y )-u ( a , y ) ) dy-\ int _ { E \ cap Q } { \ partial u \ over \ partial x } d \ sigma \ right | \ leqslant 十 km ( Q-{ E \ cap Q } ) $

顯然該積分的實部嘛滿足類似的估計式。所以：

$ \ left | \ oint _ { \ partial R } fdl \ right |={ \ sqrt { \ left | Im \ oint _ { \ partial R } fdl \ right | ^ { 二 } + \ left | Re \ oint _ { \ partial R } fdl \ right | ^ { 二 } } } \ leqslant 十 { \ sqrt { 二 } } km ( Q-{ E \ cap Q } ) $

依定義，$ f $ 佇咧 $ Q-R $ 內解析，因此會當頂懸的圍道由著 $ R$ 的邊界擴大為 $ Q $ 的邊界：

$ \ left | \ oint _ { \ partial Q } fdl \ right | \ leqslant 十 { \ sqrt { 二 } } km ( Q-{ E \ cap Q } ) $

記 $ Q _ { n } \ subset K $ 是任意一枇收斂起來 $ z \ in K $ 的正四角形序列。若是 $ z \ in E $，當 $ n $ 充分大時，所有 $ Q _ { l } \ subset K , l > n $ 的邊長攏細漢 $ 一 / k $，所以：

$ \ limsup _ { n \ to \ infty } { \ frac { \ left | \ oint _ { \ partial Q _ { n } } fdl \ right | } { m ( Q _ { n } ) } } \ leqslant 十 { \ sqrt { 二 } } k < + \ infty $

$ 零 \ leqslant \ liminf _ { n \ to \ infty } { \ frac { \ left | \ oint _ { \ partial Q _ { n } } fdl \ right | } { m ( Q _ { n } ) } } \ leqslant 十 { \ sqrt { 二 } } k ( 一-\ limsup _ { n \ to \ infty } { \ frac { m ( Q _ { n } \ cap E ) } { m ( Q _ { n } ) } } ) $

由勒貝格密度定理，第二式的正爿的極限作為 $ z $ 的函數差不多共處為一，所以倒爿的下極限強欲滿四界替零。

若是 $ z \ in K-K \ cap E $，當 $ n $ 充分大時，$ f $ 佇咧所有 $ Q _ { l } \ subset K , l > n $ 內解析，所以：

$ 零=\ liminf _ { n \ to \ infty } { \ frac { \ left | \ oint _ { \ partial Q _ { n } } fdl \ right | } { m ( Q _ { n } ) } }=\ limsup _ { n \ to \ infty } { \ frac { \ left | \ oint _ { \ partial Q _ { n } } fdl \ right | } { m ( Q _ { n } ) } } < + \ infty $

將圍道積分做集合函數，頂頭意積極限佮圍道積分的連續性佮可加性保證著圍道積分強欲四界有導導，而且圍道積分的值由導函數佇咧集合上的積分予出。閣因為極限內底 $ K $ 上差不多四界替零，該導數佇咧 $ K $ 上逐項攏強欲替零。這意味對 $ f $ 佇咧 $ K $ 內底的圍道分恆為零，即 $ f $ 佇咧 $ K $ 乃至 $ E $ 的子集 $ E \ cap K $ 內解析。矛盾。

參考文獻