Ext函子
佇仝調代數中，Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲，但是其應用遍佈真濟領域。
定義
設 $ { \ mathcal { C } } $ 為著有充足內射元的阿貝爾範圍，比如講一个環 $ R $ 上的倒模範圍 $ R-\ mathbf { Mod } $。固定一對象 $ A $，定義函子 $ T _ { A } (-) :=\ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A ,-) $，此為左正合函子，故存在正導函子 $ R ^ { \ bullet } T _ { A } (-) $，記為 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A ,-) $。當 $ { \ mathcal { C } }=R-\ mathbf { Mod } $ 時，捷記之為 $ \ mathrm { Ext } _ { R } ^ { \ bullet } ( A ,-) $。
根據定義，號 $ B $ 的內射分解
- $ J ( B ) \ longleftarrow B \ longleftarrow 零 $
並取 $ \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A ,-) $，得著
- $ \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A , J ( B ) ) \ longleftarrow \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A , B ) \ longleftarrow 零 $
落去頭一項 $ \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A , B ) $，最後共同調群取上，便得著 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A , B ) $。
另外一方面，若是 $ { \ mathcal { C } } $ 原仔有充足射影元（比如講 $ R-\ mathbf { Mod } $）， 著愛考慮正正來合函子 $ G _ { B } (-) :=\ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } (-, B ) $ 佮其左導函子 $ L _ { \ bullet } G _ { B } (-) $，有證明存在自然同構 $ L _ { \ bullet } G _ { B } ( A )=\ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A , B ) $。換言之，著 $ A $ 取射影分解：
- $ P ( A ) \ longrightarrow A \ longrightarrow 零 $
並取 $ \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } (-, B ) $，得著
- $ \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( P ( A ) , B ) \ longrightarrow \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A , B ) \ longrightarrow 零 $
去跋尾項 $ \ mathrm { Hom } _ { \ mathcal { C } } ( A , B ) $，其仝款調群仝款構 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A , B ) $。
基本性質
- 若是 $ A $ 是射影的對象抑是 $ B $ 是內射對象，著所有的 $ i > 零 $ 有 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { i } ( A , B )=零 $。
- 反之，若是 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } ( A ,-)=零 $，著 $ A $ 是射影對象。若是 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } (-, B )=零 $，著 $ B $ 是內射對象。
- $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( \ bigoplus _ { i } A _ { i } , B )=\ coprod _ { i } \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A _ { i } , B ) $
- $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A , \ prod _ { j } B _ { j } )=\ prod _ { j } \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( A , B _ { j } ) $
- 根據導函子性質，嘿每一个短正合序列 $ 零 \ to B'\ to B \ to B\ to 零 $，有長正合序列：
- $ \ cdots \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n 影一 } ( A , B) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A , B') \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A , B ) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A , B) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n + 一 } ( A , B) \ to \ cdots $
- 承上，若是 $ { \ mathcal { C } } $ 有充足的射影元，著頭一个變數嘛有長正合序列；換言之，嘿每一个短正合序列 $ 零 \ to A'\ to A \ to A\ to 零 $，有長正合序列
- $ \ cdots \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n 影一 } ( A', B ) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A, B ) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A , B ) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A', B ) \ to \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n + 一 } ( A, B ) \ to \ cdots $
譜序列
今設 $ A , B $ 為單位元的環，閣固定一環同態 $ A \ to B $。則由雙函子的自然同構
- $ \ mathrm { Hom } _ { B } (-, \ mathrm { Hom } _ { A } ( B ,-) ) \ simeq \ mathrm { Hom } _ { A } (-,-) $
導出格羅允迪克譜序列：著逐个 $ B $-模 $ M $ 佮 $ A $-模 $ N $，有譜序列
- $ E _ { 二 } ^ { pq }=\ mathrm { Ext } _ { B } ^ { p } ( M , \ mathrm { Ext } _ { A } ^ { q } ( B , N ) ) \ Rightarrow \ mathrm { Ext } _ { A } ^ { p + q } ( M , N ) $
這个關係叫做換底。
Ext 函子佮擴張
Ext 函子著名佇伊和群擴張的聯繫。抽象來講，予定兩个對象 $ A , B \ in { \ mathcal { C } } $，咧擴張
- $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow A \ rightarrow 零 $
的等價數佮 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } ( A , B ) $ 之間有一一對應，欲來詳細。
對任兩个擴張
- $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow A \ rightarrow 零 $ 佮
- $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow C'\ rightarrow A \ rightarrow 零 $
會當構造其實Baer 和為 $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow C \ times _ { A } C'/ \ Delta \ rightarrow A \ rightarrow 零 $，其中 $ \ Delta :=( 一 , 影一 ) ( C \ sqcup _ { B } C') $（_ 反對角線 _）。 這等價類上構成一个群運算，會當證明這陣自然同構佇咧 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { 一 } ( A , B ) $。
著閣較高階的擴張，仝款會當義等等價類；著任兩个 n-擴張（n > 一）
- $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow X _ { n } \ rightarrow \ cdots \ rightarrow X _ { 一 } \ rightarrow A \ rightarrow 零 $ 佮
- $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow X'_ { n } \ rightarrow \ cdots \ rightarrow X'_ { 一 } \ rightarrow A \ rightarrow 零 $
現此時的 Baer 佮定為
- $ 零 \ rightarrow B \ rightarrow Y _ { n } \ rightarrow X _ { n 影一 } \ oplus X'_ { n 影一 } \ rightarrow \ cdots \ rightarrow X _ { 二 } \ oplus X'_ { 二 } \ rightarrow X_ { 一 } \ rightarrow A \ rightarrow 零 $
其中 $ A :=X _ { 一 } \ times _ { A } X _ { 一 }'/ \ Delta _ { 一 } $（反對角線 $ \ Delta _ { 一 } $ 之定義同上）， $ Y _ { n } :=X _ { n } \ sqcup _ { B } X _ { n }'$。這嘛佇咧 n-擴張的等價類上構成一个群運算，這陣自然仝構於 $ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { n } ( A , B ) $。藉此，會當佇咧任何阿貝爾的範圍頂定義 Ext 函子。
重要例
- 設 $ G $ 為群，號環 $ R :=\ mathbb { Z } G $，也會得著群上同調：$ \ mathrm { Ext } _ { \ mathbb { Z } G } ^ { \ bullet } ( \ mathbb { Z } , M )=H ^ { \ bullet } ( G , M ) $。
- 設 $ { \ mathcal { C } } $ 做局部份環空間 $ X $ 上的 $ { \ mathcal { O } } _ { X } $-模範圍，會當得著層上同調：$ \ mathrm { Ext } _ { \ mathcal { C } } ^ { \ bullet } ( { \ mathcal { O } } _ { X } , { \ mathcal { F } } )=H ^ { \ bullet } ( X , { \ mathcal { F } } ) $。
- 設 $ { \ mathfrak { g } } $ 共李代數，號環 $ R :=U ( { \ mathfrak { g } } ) $ 為其泛包絡代數，會當得著李代數上同調：$ \ mathrm { Ext } _ { R } ^ { \ bullet } ( R , M )=H ^ { \ bullet } ( { \ mathfrak { g } } , M ) $。
- 設 $ k $ 為域，$ A $ 為 $ k $-代數，號環 $ R :=A \ times A ^ { \ mathrm { op } } $，$ A $ 帶有自然的 $ R $-模結構，現此時得著 Hochschild 最同調：$ \ mathrm { Ext } _ { R } ^ { \ bullet } ( A , M )=HH ^ { \ bullet } ( A , M ) $。
文獻
- Charles A . Weibel , _ An introduction to homological algebra _ , Cambridge University Press . ISBN 空抹五百二十一孵五五千九百八十七孵一