格蘭迪級數

格蘭迪級數（英語：Grandi's series），即 $ 一孵一 + 一孵一 + \ cdots $，是由義大利數學家格蘭迪佇一七空三年發表的。落尾荷蘭數學家丹尼爾・伯拍拚佮瑞士數學家萊昂哈德・歐拉等人嘛攏捌研究過伊。格蘭迪級數寫作：

$ \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } $

伊是一个發散級數，嘛因此佇一般的情形下，這个無窮的級數是無和的。若對該發散級數來做一寡特別的求和處理的時陣，就會有特定的佮出現。格蘭迪級數的歐拉佮切薩羅佮均為 $ \ , { \ frac { 一 } { 二 } } $。

格蘭迪級數佮級數一 − 二 + 三 − 四 +…有密實的聯絡。歐拉將這兩个級數當做一个 − 二 n + 三 n − 四 n +…的特例（其中 $ n $ 為任意自然數），這个級數是直接擴展矣伊佇巴窒爾問題頂懸所做的工課，同時嘛引出了這馬所知的狄利克雷 η 函數佮黎曼 ζ 函數。

簡介

針對以下的格蘭迪級數

一 − 一 + 一 − 一 + 一 − 一 + 一 − 一 +…

一種求和方式是因為求伊的裂項和：

( 一 − 一 ) + ( 一 − 一 ) + ( 一 − 一 ) +…=零 + 零 + 零 +…=零 .

若調整括弧的位置，會得著無仝的結果：

一 + ( − 一 + 一 ) + ( − 一 + 一 ) + ( − 一 + 一 ) +…=一 + 零 + 零 + 零 +…=一 .

用無仝的方式替格蘭迪級數加上括弧進行求和，其級數佮會當得著零抑是一的值。

格蘭迪級數為發散幾何級數，若共收斂幾何級數求和的方式用佇格蘭迪級數，會當得著第三个數值：

$ S $=一 − 一 + 一 − 一 +…，所以

一 − $ S $=一 − ( 一 − 一 + 一 − 一 +…)=一 − 一 + 一 − 一 +…=$ S $，即

二 $ S $=一，

有得著 $ S $=$ { \ tfrac { 一 } { 二 } } $。

照伊上述的計算，會當得著以下的二種結論：

格蘭迪級數一 − 一 + 一 − 一 +…的和不存在的。
格蘭迪級數的佮為 $ { \ tfrac { 一 } { 二 } } $。

欲寫二个答案攏會當精確的證明，毋過需要用十九世紀提出的一寡良好定義的數學概念。對十七世紀歐洲開始使用微積分起，一直到這陣嚴謹的數學做型進前，頂懸的兩个答案已經造成數學家針對無停止盡的爭論。

求和性

穩定性佮線性

格蘭迪級數 $ \ , 一孵一 + 一孵一 + \ cdots $，若像會當用下跤的方式來處理，得著數值 $ \ ; { \ tfrac { 一 } { 二 } } $：

級數內底的數兩兩相加抑是相減。
每一項乘以一个係數。
調整括弧的順序。
佇級數頭前增加新的項。

毋過因為頂頭的處理方式干焦會當用佇收縮的級數，而且 $ \ , 一孵一 + 一孵一 + \ cdots \ , $ 毋是覕鬚的級數，所以講頂懸處理攏無適用。

因為各項一 , − 一 , 一 , − 一 , 一 , − 一 ,…… 用一種簡單模式的排列，格蘭迪級數會當透過移項佮逐項求和，閣透過解方程式會當出一數值。暫時假使講 $ \ , s=一孵一 + 一孵一 + \ cdots \ , $ 按呢的寫法有意義—— 內底的 $ \ ; s \ ; $ 為常數，按呢以下的計算將說明 $ \ ; s={ \ frac { 一 } { 二 } } $：

$ { \ begin { smallmatrix } 二 s \ &=& \ ! & ( \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , \ cdots ) & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , \ cdots ) \ quad \ , \ \ \ \ \ &=& \ ! & ( \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , \ cdots ) & + \ , 一 \ , + & ( \ ,-\ , 一 \ , + \ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , 一 \ , \ cdots ) \ quad \ , \ \ \ \ \ &=& 一 \ , \ + & [\ , ( \ , \ underbrace { 一 \ ,-\ , 一 \ ,-\ , 一 \ , + \ , 一 } _ { 零 } \ , ) \ quad & + \ \ \ ; \ ; \ , & ( \ , \ underbrace {-\ , 一 \ , + \ , 一 \ , + \ , 一 \ ,-\ , 一 } _ { 零 } \ , ) \ , + \ , \ cdots] \ end { smallmatrix } } $

所以，$ s={ \ tfrac { 一 } { 二 } } $。

再者，有真濟的求和方式通好處理發散級數，並且會當對一寡發散級數求和；其中相對簡單的方法是切薩羅求和。

切薩羅和

恩納斯托・切薩羅佇一八九空年頭一个出版有關對發散級數求和的頂真方法，就是切薩羅和。基本概念類似萊布尼茲的機率法，一个級數的切薩羅佮是所有的分項佮的平均。嘛就是講針對每一个 $ \ ; n \ ; $，計算前 $ \ ; n \ ; $ 項的佮 $ \ ; \ sigma _ { n } \ ; $ 的平均，當 $ \ ; n \ ; $ 趨近無限大時的極限值就為切薩羅和。

以格蘭迪級數來講，而數列 $ { \ tfrac { s _ { 一 } + \ cdots + s _ { n } } { n } } $ 的這各項分別為

$ { \ frac { 一 } { 一 } } , \ , { \ frac { 一 } { 二 } } , \ , { \ frac { 二 } { 三 } } , \ , { \ frac { 二 } { 四 } } , \ , { \ frac { 三 } { 五 } } , \ , { \ frac { 三 } { 六 } } , \ , { \ frac { 四 } { 七 } } , \ , { \ frac { 四 } { 八 } } , \ , \ ldots $ ,

而且

$ \ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { s _ { 一 } + \ cdots + s _ { n } } { n } }={ \ frac { 一 } { 二 } } $

所以，格蘭迪級數的切薩羅佮為 $ { \ tfrac { 一 } { 二 } } $。

嘛會當用廣義的切薩羅和 $ \ ; \ left ( C , a \ right ) \ ; $ 來計算。

發散性

這个級數的部分佮如下：

$ { \ begin { cases } S _ { 一 }=一 \ \ S _ { 二 }=一孵一=零 \ \ S _ { 三 }=一孵一 + 一=一 \ \ S _ { 四 }=一孵一 + 一孵一=零 \ \ \ quad \ ; \ , \ vdots \ end { cases } } $

對遮出另外一个散赤列：

$ S _ { 一 } , S _ { 二 } , S _ { 三 } , S _ { 四 } , \ cdots=一 , 零 , 一 , 零 , \ cdots $，

根據無窮級數的定義，

$ \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ , ( 影一 ) ^ { n }=\ lim _ { n \ to \ infty } S _ { n } $

猶毋過 $ \ ; S _ { n } \ ; $ 的散赤列無法度通收斂著某一个固定值（不斷佇咧零佮一之間來回變動），所以乎 $ \ ; \ lim _ { n \ to \ infty } S _ { n } \ ; $ 發散。

所以 $ \ ; \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ , ( 影一 ) ^ { n } \ ; $ 這个級數嘛發散。

格蘭迪級數的應用

冪級數

以下的冪級數佮格蘭迪級數有關，嘛是其母函數：

$ f ( x )=一-x + x ^ { 二 }-x ^ { 三 } + \ cdots={ \ frac { 一 } { 一 + x } } $

狄拉克梳

格蘭迪級數另外有一个重要的級數內底出現：

$ \ cos x + \ cos 二 x + \ cos 三 x + \ cdots=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } \ cos ( kx ) . $

若是 _ x _=π，其實述級數化簡為 − 一 + 一 − 一 + 一 − ・・，歐拉認為其值符合以下的關係式 Σ cos _ kx _=− 一 ⁄ 二，猶毋過達朗貝爾無同意此關係式，若擢格朗日認為這會當用類似歐拉對格蘭迪級數的理解來延伸說明。

歐拉的聲明推測

$ 一 + 二 \ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } \ cos ( kx )=零 ? $

針對所有的 _ x _，現此時數攏發散，毋過對強欲所有的 _ x _，切薩羅和均做零。猶毋過佇 _ x _=二 π _ n _ 時，其他的數發散，而且是狄拉克梳的傅立葉級數。其一般佮、切薩羅佮阿貝爾佮分別佮狄利克雷核、費呢核及卜瓦松核的極限有關。

狄利克雷級數

共格蘭迪級數各項乘以一 / _ n _ z 會用得得著以下的狄利克雷級數

$ \ eta ( z )=一-{ \ frac { 一 } { 二 ^ { z } } } + { \ frac { 一 } { 三 ^ { z } } }-{ \ frac { 一 } { 四 ^ { z } } } + \ cdots=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { n ^ { z } } } , $

頂頭的級數干焦佇實部比零的複數 _ z _ 才會帶動，若令 _ z _= 零，即為格蘭迪級數。

毋是仝款幾何級數，狄利克雷級數對於一 − 一 + 一 − 一 + ・・・的求和無啥物幫助。就算佇正半平面上，欲講的 $ \ eta ( z ) $ 嘛無法度用初等函數來表示，嘛無直接證據會當證明 z 趨近零時，$ \ eta ( z ) $ 的極值。

另外一方面，若使用其他較強的求和法，欲講的 $ \ eta ( z ) $ 可定義一个咧規个複數平面的函數－狄利克雷 η 函數，而且這个函數共解析函數。若是 _ z _ 的實部 > − 一，就會當用切薩羅佮進行求和，所以 η ( 零 ) =一 ⁄ 二。

狄利克雷 η 函數佮另外一个出名的狄利克雷級數佮函數有關係：

$ { \ begin { array } { rcl } \ eta ( z ) &=& \ displaystyle 一 + { \ frac { 一 } { 二 ^ { z } } } + { \ frac { 一 } { 三 ^ { z } } } + { \ frac { 一 } { 四 ^ { z } } } + \ cdots-{ \ frac { 二 } { 二 ^ { z } } } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { 二 ^ { z } } } + \ cdots \ right ) \ \ [一 em] &=& \ displaystyle \ left ( 一-{ \ frac { 二 } { 二 ^ { z } } } \ right ) \ zeta ( z ) , \ end { array } } $

其中 ζ 為黎曼 ζ 函數。若共格蘭迪級數的佮再配合上述公式，會用得著 ζ ( 零 ) = − 一 ⁄ 二。參照一 + 一 + 一 + 一 +…。

欲講的關係式嘛會當推著一寡閣較重要的性質。因為黎曼 ζ 函數會當表示為 η ( _ z _ ) 和 ( 一 − 二十一 − _ z _ ) 相除的結果，二个函數佇咧規个複數的平面攏來解析函數，啊若後者的零點是佇咧 _ z _= 一的簡單零點，因此會當 ζ ( _ z _ ) 為亞純函數，只在 _ z _= 一有一个真極點。

物理學

格蘭迪級數佮其衍生的級數捷佇物理學的各領域內底出現，上典型的是量仔化的厚米仔場，其中同時有正的及負的特徵值，比如講手征口袋仔模型（chiral bag model）。猶毋過遮的級數也出現佇咧玻色子的相關研究中，譬如講卡西米爾效應。

佇光譜非對稱性領域嘛會用著由格蘭迪級數衍生的級數，毋過其求和方式是正規化的一部份，比如講 ζ 函數正規化就是其中的一種。

參考資料

簡介

求和性