立方根
若一个數就著矣 $ x $ 的立方等於 $ a $，若按呢這个數 $ x $ 就是講 $ a $ 的立方根，其中 $ a $ 這號做被開方數，而且 $ x $ 會當是正數、零、負數抑是虛數。比如講三的立方為二十七，按呢這个數三就是二十七的一个立方根（佇咧實數的範圍內底）。 若是 $ x $ 是正實數，這个乘積比如講一个邊長為 $ x $ 的立方體積。
符號
佇實數系內底，實數 $ a $ 的立方根通常用 $ { \ sqrt [{ 三 }] { a } } $ 表示，會當讀做「$ a $ 的立方根」，「 立方根 $ a $」抑是「根號 $ a $ 開三遍方」。
值得注意的是，， 但是佇實數系當中有干焦一个。即在實數系中，實數 $ a $ 的立方根唯一確定。慣勢上，三擺根號 $ { \ sqrt [{ 三 }] { a } } $ 干焦用來表示實數解。比如講：$ { \ sqrt [{ 三 }] { 一 } } $ 干焦表示實數一，毋表示複數 $ { \ frac { 影一 + { \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $，佮 $ { \ frac { 影一-{ \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $。
一的立方根
即解 $ x ^ { 三 }=一 $，解法是按怎：
- $ \ Rightarrow x ^ { 三 } 影一=零 $
- $ \ Rightarrow ( x 影一 ) ( x ^ { 二 } + x + 一 )=零 $（徛咧）
- $ \ Rightarrow x 影一=零 $ 抑是 $ x ^ { 二 } + x + 一=零 $
- $ \ Rightarrow x=一 $ 抑是 $ x={ \ frac { 影一 \ pm { \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $（公式解）
令 $ \ omega={ \ frac { 影一 + { \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $，著 $ \ omega ^ { 二 }={ \ frac { 影一-{ \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $；反之，令 $ \ omega={ \ frac { 影一-{ \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $，著 $ \ omega ^ { 二 }={ \ frac { 影一 + { \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $。由以上的式通看出 $ \ omega $ 的特性有：
- $ { { { { \ omega } ^ { 二 } } + { \ omega } } + { 一 } }=零 $
- $ { { \ omega } ^ { 三 } }=一 $（將 $ \ omega $ 代回 $ x ^ { 三 }=一 $ 求會得）
故 $ \ omega $ 會當代表 $ { \ frac { 影一 \ pm { \ sqrt { 三 } } i } { 二 } } $ 中的任何一數，即 $ \ omega $ 為一的徛家虛根。
數值方法
- 牛頓法：$ x _ { i + 一 }={ \ frac { 一 } { 三 } } \ left ( { \ frac { a } { x _ { i } ^ { 二 } } } + 二 x _ { i } \ right ) $
- 哈雷法：$ x _ { i + 一 }=x _ { i } \ left ( { \ frac { x _ { i } ^ { 三 } + 二 a } { 二 x _ { i } ^ { 三 } + a } } \ right ) $
符號史
一二二空年義大利人斐波彼契第一改咧用 $ \ operatorname { R } x $ 來表達徛起，$ \ operatorname { R } $ 是一个拉丁文 radix 的首字母，意思為「根、方根」。
十七世紀初的時，法國數學家𥰔仔卡兒（一千五百九十六－千六百五十）佇伊的著作幾何學中第一擺使用無連紲的「√」佮「￣」表示根號，其中「√」替細寫 r 的變形。到甲十八世紀中葉，數學家盧貝（Loubere）將頭前的方根符號佮線括號一筆寫做，並共根指數寫佇咧根號的左上角，以表示懸次方根（指數為兩時，省略無寫）。 對而且，形成咱這馬所用的開方符號 $ { \ sqrt { \ color { white } x } } $。
參見
- 方根
外部連結
- 埃里克 ・ 韋斯坦因為。立方根 . MathWorld .