WKB近來親像

佇咧量仔力學內，WKB 近來親像是一種半古典計算方法，會當用來解破薛丁的方程式。喬治・伽別夫使用這步，首先正確來解說了阿爾法衰變。WKB 最近先將量子系統的波函數，閣重新打造做一个指數函數。然後，半古典展開。再假使波幅抑是相位的變化足慢的。通過一番運算啦，就會得著波函數的近似解。

簡略歷史

WKB 近來親像用三位物理學家格雷戈爾・文策爾、漢斯・克喇末佮萊昂・布里淵姓淵的字頭一个號名。佇咧一九二六年，𪜶成功地將這方法發展佮應用佇咧量仔力學。毋過早佇一九二三年，數學家哈羅德・傑傑里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般近似法。薛丁格方程式嘛是一个二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現小可仔暗兩冬。三位物理學家各人獨立地咧做 WKB 近若親像的研究的時陣，若親像並毋知影這閣較早的研究。所以物理界講這近似方法的時陣，定定會忽略矣傑肪里斯所做的貢獻。這方法佇咧荷蘭號做KWB 近來親像，佇法國叫做BWK 近來親像，干焦佇英國叫做JWKB 近來親像。

數學概念

一般來講，WKB 近來是專門計算一種足特殊的微分方程式的近似解。這種特殊微分方程式的上高階導數項目的係數是一个微小參數 $ \ epsilon \ , \ ! $。予一个微分方程式，形式做

$ \ epsilon { \ frac { d ^ { n } y } { dx ^ { n } } } + a ( x ) { \ frac { d ^ { n 影一 } y } { dx ^ { n 影一 } } } + \ cdots + k ( x ) { \ frac { dy } { dx } } + m ( x ) y=零 \ , \ ! $。

假使解答的形式會使展開做一个漸漸的級數：

$ y ( x ) \ sim \ exp \ left [{ \ frac { 一 } { \ delta } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ delta ^ { n } S _ { n } ( x ) \ right] \ , \ ! $。

共這个擬代入微分的方程式。然後招去仝款指數函數因子。又閣取 $ \ delta \ rightarrow 零 \ , \ ! $ 的極限。按呢乎，就會當對 $ S _ { 零 } ( x ) \ , \ ! $ 開始，一个一个解破這漸漸級數的每一个項目 $ S _ { n } ( x ) \ , \ ! $。

通常 $ y ( x ) \ , \ ! $ 的漸漸級數會發散。當 $ n \ , \ ! $ 因為某值了後，一般的項目 $ \ delta ^ { n } S _ { n } ( x ) \ , \ ! $ 會開始增加。所以 WKB 近來的最細條誤差，差不多是最後包括的項目的數量級。

數學例

想看覓仔二階齊次線性微分方程式

$ \ epsilon ^ { 二 } { \ frac { d ^ { 二 } y } { dx ^ { 二 } } }=Q ( x ) y \ , \ ! $；

其中，$ Q ( x ) \ neq 零 \ , \ ! $。

猜想欲解答的形式為

$ y ( x )=\ exp \ left [{ \ frac { 一 } { \ delta } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ delta ^ { n } S _ { n } ( x ) \ right] \ , \ ! $。

共猜想代入微分方程式，會用得著

$ \ epsilon ^ { 二 } \ left [{ \ frac { 一 } { \ delta ^ { 二 } } } \ left ( \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ delta ^ { n } S _ { n }'\ right ) ^ { 二 } + { \ frac { 一 } { \ delta } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ delta ^ { n } S _ { n }\ right]=Q ( x ) \ , \ ! $。

號 $ \ delta \ rightarrow 零 \ , \ ! $ 的極限，上重要的項目是

$ { \ frac { \ epsilon ^ { 二 } } { \ delta ^ { 二 } } } S _ { 零 }'^ { 二 } \ sim Q ( x ) \ , \ ! $。

阮會用得察覺講，$ \ delta \ , \ ! $ 著愛佮 $ \ epsilon \ , \ ! $ 成比例。設定 $ \ delta=\ epsilon \ , \ ! $，著 $ \ epsilon \ , \ ! $ 的零次冪項目予出

$ \ epsilon ^ { 零 } : \ qquad S _ { 零 }'^ { 二 }=Q ( x ) \ , \ ! $。

阮隨認出這是程函方程式。解答做

$ S _ { 零 } ( x )=\ pm \ int _ { x _ { 零 } } ^ { x } { \ sqrt { Q ( t ) } } \ , dt \ , \ ! $。

檢查 $ \ epsilon \ , \ ! $ 的一改冪項目予出

$ \ epsilon ^ { 一 } : \ qquad 二 S _ { 零 }'S _ { 一 }'+ S _ { 零 }=零 \ , \ ! $。

這是一个維傳輸方程式。解答做

$ S _ { 一 } ( x )=-{ \ frac { 一 } { 四 } } \ ln \ left ( Q ( x ) \ right ) + k _ { 一 } \ , \ ! $；

其中，$ k _ { 一 } \ , \ ! $ 是任意常數。

咱這馬有一對近似解（因為乎 $ S _ { 零 } \ , \ ! $ 會當是正值抑是負值）。一般的一階 WKB 近若像解說這一對近若像解的線性組合：

$ y ( x ) \ approx c _ { 一 } Q ^ {-{ \ frac { 一 } { 四 } } } ( x ) \ exp \ left [{ \ frac { 一 } { \ epsilon } } \ int _ { x _ { 零 } } ^ { x } { \ sqrt { Q ( t ) } } dt \ right] + c _ { 二 } Q ^ {-{ \ frac { 一 } { 四 } } } ( x ) \ exp \ left [-{ \ frac { 一 } { \ epsilon } } \ int _ { x _ { 零 } } ^ { x } { \ sqrt { Q ( t ) } } dt \ right ] \ , \ ! $。

檢查 $ \ epsilon \ , \ ! $ 的閣較懸冪項目（$ n > 二 \ , \ ! $）會當共出：

$ 二 S _ { 零 }'S _ { n }'+ S_ { n 影一 } + \ sum _ { j=一 } ^ { n 影一 } S'_ { j } S'_ { n-j }=零 \ , \ ! $。

薛丁格方程式的近似解

解破一个量子系統的薛丁格方式，WKB 近來親像牽涉著以下的步數：

一 . 將波函數重寫做一个指數函數，二 . 共這指數函數代入薛丁格方式，三 . 展開指數函數的參數為約化普朗克常數的冪級數，四 . 匹配約化普朗克常數仝次冪的項目，會得著一組方程式，五 . 解破遮的方程式，就會得著波函數的近來親像。

一頓無法度薛丁格的方式為著

$-{ \ frac { \ hbar ^ { 二 } } { 二 m } } { \ frac { \ mathrm { d } ^ { 二 } } { \ mathrm { d } x ^ { 二 } } } \ psi ( x ) + V ( x ) \ psi ( x )=E \ psi ( x ) \ , \ ! $；

其中，$ \ hbar \ , \ ! $ 是約化普朗克常數，$ m \ , \ ! $ 是質量，$ x \ , \ ! $ 嘿坐標，$ V ( x ) \ , \ ! $ 是位勢，$ E \ , \ ! $ 是能量，$ \ psi \ , \ ! $ 是波函數。

小可仔編排，重寫為

$ \ hbar ^ { 二 } { \ frac { \ mathrm { d } ^ { 二 } } { \ mathrm { d } x ^ { 二 } } } \ psi ( x )=二 m \ left ( V ( x )-E \ right ) \ psi ( x ) \ , \ ! $。( 一 )

假使波函數的形式為另外一个函數 $ \ phi \ , \ ! $ 的指數（函數 $ \ phi \ , \ ! $ 佮作用量有真密切的關係）：

$ \ psi ( x )=e ^ { \ phi ( x ) / \ hbar } \ , \ ! $。

代入方程式 ( 一 )，

$ \ hbar \ phi( x ) + \ left [\ phi'( x ) \ right] ^ { 二 }=二 m \ left ( V ( x )-E \ right ) \ , \ ! $；( 二 )

其中，$ \ phi'\ , \ ! $ 表示 $ \ phi \ , \ ! $ 隨著 $ x \ , \ ! $ 的導數。

$ \ phi'\ , \ ! $ 會當分做實值的部份佮虛值的部份。設定兩个函數 $ A ( x ) \ , \ ! $ 佮 $ B ( x ) \ , \ ! $：

$ \ phi'( x )=A ( x ) + iB ( x ) \ , \ ! $。

注意著波函數的波幅是 $ \ exp \ left [\ int ^ { x } A ( x') dx'/ \ hbar \ right] \ , \ ! $，相位是 $ \ int ^ { x } B ( x') dx'/ \ hbar \ , \ ! $。將 $ \ phi'\ , \ ! $ 的代表式代表進入方程式 ( 二 )，分別匹配實值的部分、虛值的部份，來得著兩个方程式：

$ \ hbar A'( x ) + A ( x ) ^ { 二 }-B ( x ) ^ { 二 }=二 m \ left ( V ( x )-E \ right ) \ , \ ! $，( 三 )

$ \ hbar B'( x ) + 二 A ( x ) B ( x )=零 \ , \ ! $。( 四 )

半古典近親像

將 $ A ( x ) \ , \ ! $ 佮 $ B ( x ) \ , \ ! $ 展開為著 $ \ hbar \ , \ ! $ 的冪級數：

$ A ( x )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ hbar ^ { n } A _ { n } ( x ) \ , \ ! $，

$ B ( x )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ hbar ^ { n } B _ { n } ( x ) \ , \ ! $。

將兩个冪級數代入方程式 ( 三 ) 佮 ( 四 )。$ \ hbar \ , \ ! $ 的零次冪項目予出：

$ A _ { 零 } ( x ) ^ { 二 }-B _ { 零 } ( x ) ^ { 二 }=二 m \ left ( V ( x )-E \ right ) \ , \ ! $，

$ A _ { 零 } ( x ) B _ { 零 } ( x )=零 \ , \ ! $。

假使波幅變化地有夠慢於相位（$ A _ { 零 } ( x ) \ ll B _ { 零 } ( x ) \ , \ ! $），遐爾，咱會當設定講

$ A _ { 零 } ( x )=零 \ , \ ! $，

$ B _ { 零 } ( x )=\ pm { \ sqrt { 二 m \ left ( E-V ( x ) \ right ) } } \ , \ ! $。

干焦當 $ E \ geq V ( x ) \ , \ ! $ 的時陣，這个方程式才成立。古典運動只會允准這款狀況發生。

閣較精確咧，$ \ hbar \ , \ ! $ 的一改冪項目予出：

$ A _ { 零 }'+ 二 A _ { 零 } A _ { 一 } 鋪二 B _ { 零 } B _ { 一 }=鋪二 B _ { 零 } B _ { 一 }=零 \ , \ ! $，

$ B _ { 零 }'+ 二 A _ { 零 } B _ { 一 } + 二 B _ { 零 } A _ { 一 }=B _ { 零 }'+ 二 B _ { 零 } A _ { 一 }=零 \ , \ ! $。

所以乎，

$ B _ { 一 }=零 \ , \ ! $，

$ A _ { 一 }=-{ \ frac { B _ { 零 }'} { 二 B _ { 零 } } }={ \ frac { d } { dx } } lnB _ { 零 } ^ {-二分之一 } \ , \ ! $。

波函數的波幅是 $ \ exp \ left [\ int ^ { x } A ( x') dx'/ \ hbar \ right]={ \ frac { 一 } { \ sqrt { B _ { 零 } } } } \ , \ ! $。

定義動量 $ p ( x )={ \ sqrt { 二 m \ left ( E-V ( x ) \ right ) } } \ , \ ! $，是波函數的近親像

$ \ psi ( x ) \ approx { \ cfrac { C _ { \ pm } } { \ sqrt { p ( x ) } } } e ^ { \ pm i \ int _ { x _ { 零 } } ^ { x } p ( x') \ mathrm { d } x'/ \ hbar } \ , \ ! $；( 五 )

其中，$ C _ { + } \ , \ ! $ 和 $ C _ {-} \ , \ ! $ 是常數，$ x _ { 零 } \ , \ ! $ 是一个任意參考點的坐標。

換做另外一方面，假使相位變化地有夠慢於波幅（$ B _ { 零 } ( x ) \ ll A _ { 零 } ( x ) \ , \ ! $），遐爾，咱會當設定講

$ A _ { 零 } ( x )=\ pm { \ sqrt { 二 m \ left ( V ( x )-E \ right ) } } \ , \ ! $，

$ B _ { 零 } ( x )=零 \ , \ ! $。

干焦當 $ V ( x ) \ geq E \ , \ ! $ 的時陣，這个方程式才成立。古典運動無允准這款狀況發生。干焦佇咧量子系統內底，才會發生這款狀況，號做量仔穿磅空應該。類似地計算，會當求甲波函數的近來親像

$ \ psi ( x ) \ approx { \ frac { C _ { \ pm } } { \ sqrt { p ( x ) } } } e ^ { \ pm \ int _ { x _ { 零 } } ^ { x } p ( x') \ mathrm { d } x'/ \ hbar } \ , \ ! $；( 六 )

其中，$ p ( x )={ \ sqrt { 二 m \ left ( V ( x )-E \ right ) } } \ , \ ! $。

連接公式

顯而易見地，咱會使對分母觀察出來，佇古典轉向點 $ E=V ( x ) \ , \ ! $，這兩个若像方程式 ( 五 ) 和 ( 六 ) 會發散，無法度表示出物理事實。咱著愛正確來揣著波函數佇古典轉向點的近似解答。設定 $ x _ { 一 } < x < x _ { 二 } \ , \ ! $ 是古典運動允准區域。佇這搭遮，$ E > V ( x ) \ , \ ! $，波函數呈振動形式。其他的區域 $ x < x _ { 一 } \ , \ ! $ 和 $ x _ { 二 } < x \ , \ ! $ 是古典運動無允准區域，波函數呈指數遞減形式。假使佇古典轉向點附近，位勢有夠金滑，會當近若像線性函數。閣較詳細講，在點 $ x _ { 二 } \ , \ ! $ 附近，將 $ { \ frac { 二 m } { \ hbar ^ { 二 } } } \ left ( V ( x )-E \ right ) \ , \ ! $ 展開做一个冪的級數：

$ { \ frac { 二 m } { \ hbar ^ { 二 } } } \ left ( V ( x )-E \ right )=U _ { 一 } ( x-x _ { 二 } ) + U _ { 二 } ( x-x _ { 二 } ) ^ { 二 } + \ cdots \ , \ ! $；

其中，$ U _ { 一 } , \ , U _ { 二 } , \ , \ cdots \ , \ ! $ 是常數值係數。

取至一坎，方程式 ( 一 ) 變做是

$ { \ frac { \ mathrm { d } ^ { 二 } } { \ mathrm { d } x ^ { 二 } } } \ psi ( x )=U _ { 一 } ( x-x _ { 二 } ) \ psi ( x ) \ , \ ! $。

這微分方程式號做艾里方程式，其解為著名的艾里函數：

$ \ psi ( x )=C _ { 二 A } { \ textrm { Ai } } \ left ( { \ sqrt [{ 三 }] { U _ { 一 } } } ( x-x _ { 二 } ) \ right ) + C _ { 二 B } { \ textrm { Bi } } \ left ( { \ sqrt [{ 三 }] { U _ { 一 } } } ( x-x _ { 二 } ) \ right ) \ , \ ! $。

匹配艾里函數和在 $ x < x _ { 二 } \ , \ ! $ 的波函數，佇咧 $ x _ { 二 } < x \ , \ ! $ 的波函數，經過一番繁雜的計算啦，來得著佇 $ x _ { 二 } \ , \ ! $ 附近的連接公式（connection formula）：

$ \ psi ( x )={ \ begin { cases } { \ cfrac { 二 C _ { 二 } } { \ sqrt { p ( x ) } } } \ sin \ left ( { \ cfrac { 一 } { \ hbar } } \ int _ { x } ^ { x _ { 二 } } p ( x') dx'+ { \ cfrac { \ pi } { 四 } } \ right ) & { \ mbox { if } } x < x _ { 二 } \ \ { \ cfrac { C _ { 二 } } { \ sqrt { | p ( x ) | } } } \ exp \ left (-\ int _ { x _ { 二 } } ^ { x } | p ( x') | dx'/ { \ hbar } \ right ) & { \ mbox { if } } x _ { 二 } < x \ end { cases } } \ , \ ! $。

類似地，也會用得著佇 $ x _ { 一 } \ , \ ! $ 附近的連接公式：

$ \ psi ( x )={ \ begin { cases } { \ cfrac { C _ { 一 } } { \ sqrt { | p ( x ) | } } } \ exp \ left (-\ int _ { x } ^ { x _ { 一 } } | p ( x') | dx'/ { \ hbar } \ right ) & { \ mbox { if } } x < x _ { 一 } \ \ { \ cfrac { 二 C _ { 一 } } { \ sqrt { p ( x ) } } } \ sin \ left ( { \ cfrac { 一 } { \ hbar } } \ int _ { x _ { 一 } } ^ { x } p ( x') dx'+ { \ cfrac { \ pi } { 四 } } \ right ) & { \ mbox { if } } x _ { 一 } < x \ end { cases } } \ , \ ! $。

量仔化規則

佇古典運動允准區域 $ x _ { 一 } < x < x _ { 二 } \ , \ ! $ 內的兩个連接公式嘛著愛匹配。設定角變量

$ \ theta _ { 一 }=-{ \ frac { 一 } { \ hbar } } \ int _ { x _ { 一 } } ^ { x } p ( x') dx'-{ \ frac { \ pi } { 四 } } \ , \ ! $，

$ \ theta _ { 二 }=~ { \ frac { 一 } { \ hbar } } \ int _ { x } ^ { x _ { 二 } } p ( x') dx'+ { \ frac { \ pi } { 四 } } \ , \ ! $，

$ \ alpha=\ int _ { x _ { 一 } } ^ { x _ { 二 } } p ( x ) dx / \ hbar \ , \ ! $。

遐爾，

$ \ alpha=\ theta _ { 二 }-\ theta _ { 一 }-\ pi / 二 \ , \ ! $，

$-C _ { 一 } \ sin \ theta _ { 一 }=C _ { 二 } \ sin \ theta _ { 二 }=C _ { 二 } \ sin ( \ theta _ { 一 } + \ alpha + \ pi / 二 ) \ , \ ! $。

隨，咱會當認定講 $ | C _ { 一 } |=| C _ { 二 } | \ , \ ! $。匹配相位，假若 $ C _ { 一 }=C _ { 二 } \ , \ ! $，遐爾，

$ \ alpha + \ pi / 二=( 二 m 影一 ) \ pi , \ qquad m=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

所以乎，

$ \ alpha=( 二 m-二分之三 ) \ pi , \ qquad m=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

假若 $ C _ { 一 }=-C _ { 二 } \ , \ ! $，遐爾，

$ \ alpha + \ pi / 二=二 m \ pi , \ qquad m=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

所以乎，

$ \ alpha=( 二 m-二分之一 ) \ pi , \ qquad m=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

總結，量子系統著愛滿足量子化守則：

$ \ int _ { x _ { 一 } } ^ { x _ { 二 } } p ( x ) dx=( n-二分之一 ) \ pi \ hbar , \ qquad n=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

範例

考慮一个量仔倚振子系統，一个質量為著 $ m \ , \ ! $ 的粒子，運動佇諧振位勢 $ V ( x )={ \ frac { 一 } { 二 } } m \ omega ^ { 二 } x ^ { 二 } \ , \ ! $；其中，$ \ omega \ , \ ! $ 是角頻率。求算其本徵能級 $ E _ { n } \ , \ ! $？

能量為 $ E \ , \ ! $ 的粒子，其運動的古典轉向點 $ x _ { t } \ , \ ! $ 為

$ E={ \ frac { 一 } { 二 } } m \ omega ^ { 二 } x _ { t } ^ { 二 } \ , \ ! $。

所以乎，

$ x _ { t }=\ pm { \ sqrt { \ frac { 二 E } { m \ omega ^ { 二 } } } } \ , \ ! $。

粒仔的動量做

$ p ( x )={ \ sqrt { 二 m \ left ( E-{ \ frac { 一 } { 二 } } m \ omega ^ { 二 } x ^ { 二 } \ right ) } } \ , \ ! $。

共遮的變量代入量子化守則：

$ \ int _ { 鋪二 E / m \ omega ^ { 二 } } ^ { 二 E / m \ omega ^ { 二 } } \ , { \ sqrt { 二 m \ left ( E-{ \ frac { 一 } { 二 } } m \ omega ^ { 二 } x ^ { 二 } \ right ) } } \ , dx=( n-二分之一 ) \ pi \ hbar , \ qquad n=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

經過一番運算講，會當得著本徵的能量

$ E _ { n }=( n-二分之一 ) \ omega \ hbar , \ qquad n=一 , \ , 二 , \ , 三 , \ , \ dots \ , \ ! $。

透過以上之計算，發現近若像解佮精確解完全仝款。

參閱

微擾理論 ( 磅子力學 )
量仔穿磅空應該
舊量仔論

參考文獻

現代文獻

Liboff , Richard L . Introductory Quantum Mechanics ( 四 th ed . ) . Addison-Wesley . 兩千空三 . ISBN 空九八千空五十三鋪八千七百一十四鋪五 .
Sakurai , J . J . Modern Quantum Mechanics . Addison-Wesley . 一千九百九十三 . ISBN 空九二百空一四五五五三千九百二十九九九分二二 .
Bender , Carl ; Orszag , Steven . Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers . McGraw-Hill . 一千九百七十八 . ISBN 空九五四千四百五十二-X .

歷史文獻

Jeffreys , Harold . On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order . Proceedings of the London Mathematical Society . 一千九百二十四 ,二十三: 四仔二八–四仔三十六 [二千空八孵十一孵十九] .（原始內容存檔佇兩千空一十三抹五個人）.
Brillouin , Léon . La mécanique ondulatoire de Schrödinger : une méthode générale de resolution par approximations successives . Comptes Rendus de l'Academie des Sciences . 千九百二六 ,一百八十三: 二十四–二十六 .
Kramers , Hendrik A . Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung . Zeitschrift der Physik . 千九百二六 ,三十九: 八百二八–八百四十 .
Wentzel , Gregor . Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik . Zeitschrift der Physik . 千九百二六 ,三十八: 五百一十八–五百二九 .