精差函數

佇咧數學中，精差函數（英語：Error function）是一个特殊函數，符號 $ erf $。精差函數佇機率論，統計學佮偏微分的方程式內底攏有廣泛的應用。伊的定義如下：

$ \ operatorname { erf } ( x )={ \ frac { 一 } { \ sqrt { \ pi } } } \ int _ {-x } ^ { x } e ^ {-t ^ { 二 } } \ , \ mathrm { d } t={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ int _ { 零 } ^ { x } e ^ {-t ^ { 二 } } \ , \ mathrm { d } t . $

分類

互相補誤差函數，記為 erfc，佇咧精差函數的基礎頂定義：

$ { \ mbox { erfc } } ( x )=一-{ \ mbox { erf } } ( x )={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ int _ { x } ^ { \ infty } e ^ {-t ^ { 二 } } \ , \ mathrm { d } t \ , . $

虛誤差函數，記為 _ erfi _，定義做：

$ \ operatorname { erfi } ( z )=-i \ , \ , \ operatorname { erf } ( i \ , z ) . $

複誤差函數，記為 _ w _ ( _ z _ )，嘛佇咧精差函數的基礎頂定義：

$ w ( z )=e ^ {-z ^ { 二 } } { \ textrm { erfc } } (-iz ) . $

詞源

精差函數來自測度論，尾仔參測量精差無關係的其他的領域嘛用著這一函數，但是猶原用誤差函數這名。

精差函數佮標準常態分布的積分累積分布函數 $ \ Phi $ 的關係為著

$ \ Phi ( x )={ \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 二 } } \ operatorname { erf } \ left ( { \ frac { x } { \ sqrt { 二 } } } \ right ) . $

性質

精差函數是奇函數：

$ \ operatorname { erf } (-z )=-\ operatorname { erf } ( z ) $

對任何的複數 _ z _ :

$ \ operatorname { erf } ( { \ overline { z } } )={ \ overline { \ operatorname { erf } ( z ) } } $

其中 $ { \ overline { z } } $ 表示 _ z _ 的複共擔。

複數平面上，函數 _ ƒ _  = exp ( − _ z _ 二 ) 和 _ ƒ _  = erf ( _ z _ ) 如圖所示。粗綠線表示 Im ( _ ƒ _ )  =  零，粗紅線表示 Im ( _ ƒ _ )   <   零，粗藍線為 Im ( _ ƒ _ )   >   零。幼綠線表示 Im ( _ ƒ _ )  = constant，幼紅線表示 Re ( _ ƒ _ )  = constant < 零，幼藍線表示 Re ( _ ƒ _ )  = constant > 零。

佇實數軸上，_ z _ → ∞ 時，erf ( _ z _ ) 和一，_ z _ → −∞ 時，erf ( _ z _ ) 趨於 − 一。佇虛數軸頂懸，erf ( _ z _ ) 趨於 ±i∞。

泰勒級數

精差函數是整函數，無奇巧的（一般的所在除外）， 泰勒展開收斂。

精差函數泰勒級數：

$ \ operatorname { erf } ( z )={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } z ^ { 二 n + 一 } } { n ! ( 二 n + 一 ) } }={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ left ( z-{ \ frac { z ^ { 三 } } { 三 } } + { \ frac { z ^ { 五 } } { 十 } }-{ \ frac { z ^ { 七 } } { 四十二 } } + { \ frac { z ^ { 九 } } { 兩百十六 } }-\ \ cdots \ right ) $

對每一个複數 _ z _ 均成立。 上式會當用迵天代的形式表示：

$ \ operatorname { erf } ( z )={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left ( z \ prod _ { k=一 } ^ { n } { \ frac {-( 二 k 影一 ) z ^ { 二 } } { k ( 二 k + 一 ) } } \ right )={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { z } { 二 n + 一 } } \ prod _ { k=一 } ^ { n } { \ frac {-z ^ { 二 } } { k } } $

精差函數的導數：

$ { \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } z } } \ , \ mathrm { erf } ( z )={ \ frac { 二 } { \ sqrt { \ pi } } } \ , e ^ {-z ^ { 二 } } . $

精差函數無定積分做：

$ z \ , \ operatorname { erf } ( z ) + { \ frac { e ^ {-z ^ { 二 } } } { \ sqrt { \ pi } } } $

等於函數

等誤差函數可由麥克勞林級數表示：

$ \ operatorname { erf } ^ { 影一 } ( z )=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } { \ frac { c _ { k } } { 二 k + 一 } } \ left ( { \ frac { \ sqrt { \ pi } } { 二 } } z \ right ) ^ { 二 k + 一 } , \ , \ ! $

其中，_ c _ 零=一，

$ c _ { k }=\ sum _ { m=零 } ^ { k 影一 } { \ frac { c _ { m } c _ { k 影一-m } } { ( m + 一 ) ( 二 m + 一 ) } }=\ left \ { 一 , 一 , { \ frac { 七 } { 六 } } , { \ frac { 一百二十七喔 } { 九十 } } , { \ frac { 四千三百六十九 } { 兩千五百二十 } } , \ ldots \ right \ } . $

即：

$ \ operatorname { erf } ^ { 影一 } ( z )={ \ tfrac { 一 } { 二 } } { \ sqrt { \ pi } } \ left ( z + { \ frac { \ pi } { 十二 } } z ^ { 三 } + { \ frac { 七 \ pi ^ { 二 } } { 四仔八 } } z ^ { 五 } + { \ frac { 一百二十七喔 \ pi ^ { 三 } } { 四配空三百二十 } } z ^ { 七 } + { \ frac { 四千三百六十九 \ pi ^ { 四 } } { 五百八十五空六千空八十 } } z ^ { 九 } + { \ frac { 三鋪四千八百空七 \ pi ^ { 五 } } { 一石八千兩百四十七石六千八百 } } z ^ { 十一 } + \ cdots \ right ) . \ $

互相補誤差函數定義做：

$ \ operatorname { erfc } ^ { 影一 } ( 一-z )=\ operatorname { erf } ^ { 影一 } ( z ) . $

漸近展開

互補誤差函數的漸近展開，

$ \ mathrm { erfc } ( x )={ \ frac { e ^ {-x ^ { 二 } } } { x { \ sqrt { \ pi } } } } \ left [一 + \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 \ cdots ( 二 n 影一 ) } { ( 二 x ^ { 二 } ) ^ { n } } } \ right]={ \ frac { e ^ {-x ^ { 二 } } } { x { \ sqrt { \ pi } } } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } { \ frac { ( 二 n 影一 ) ! ! } { ( 二 x ^ { 二 } ) ^ { n } } } , \ , $

其中 ( 二 _ n _–  一 ) ! ! 為雙階乘，_ x _ 為實數，該級數嘿有限 _ x _ 發散。對於 $ N \ in \ mathbb { N } $，有

$ \ mathrm { erfc } ( x )={ \ frac { e ^ {-x ^ { 二 } } } { x { \ sqrt { \ pi } } } } \ sum _ { n=零 } ^ { N 影一 } ( 影一 ) ^ { n } { \ frac { ( 二 n 影一 ) ! ! } { ( 二 x ^ { 二 } ) ^ { n } } } + R _ { N } ( x ) \ , $

賰的項用以大 O 符號表示為

$ R _ { N } ( x )=O ( x ^ { 鋪二 N + 一 } e ^ {-x ^ { 二 } } ) $ as $ x \ to \ infty $ .

餘項的精確形式做：

$ R _ { N } ( x ) :={ \ frac { ( 影一 ) ^ { N } } { \ sqrt { \ pi } } } 二 ^ { 鋪二 N + 一 } { \ frac { ( 二 N ) ! } { N ! } } \ int _ { x } ^ { \ infty } t ^ { 鋪二 N } e ^ {-t ^ { 二 } } \ , \ mathrm { d } t , $

對著較大的 x , 只需要去展開中開始的幾項就會當得著 erfc ( _ x _ ) 真好的近似值。

連分式展開

互補誤差函數的連分式展開形式：

$ \ mathrm { erfc } ( z )={ \ frac { z } { \ sqrt { \ pi } } } e ^ {-z ^ { 二 } } { \ cfrac { a _ { 一 } } { z ^ { 二 } + { \ cfrac { a _ { 二 } } { 一 + { \ cfrac { a _ { 三 } } { z ^ { 二 } + { \ cfrac { a _ { 四 } } { 一 + \ dotsb } } } } } } } } \ qquad a _ { 一 }=一 , \ quad a _ { m }={ \ frac { m 影一 } { 二 } } , \ quad m \ geq 二 . $

初等函數近來的表達式

$ \ operatorname { erf } ( x ) \ approx 一-{ \ frac { 一 } { ( 一 + a _ { 一 } x + a _ { 二 } x ^ { 二 } + a _ { 三 } x ^ { 三 } + a _ { 四 } x ^ { 四 } ) ^ { 四 } } } $ ( 上大的精差：五 ・ 十 − 四 )

其中，_ a _ 一  =  空九二七八三九三 , _ a _ 二  =  空空二三空三八九 , _ a _ 三  =  空空空空九七二 , _ a _ 四  =  空九空七八一空八

$ \ operatorname { erf } ( x ) \ approx 一-( a _ { 一 } t + a _ { 二 } t ^ { 二 } + a _ { 三 } t ^ { 三 } ) e ^ {-x ^ { 二 } } , \ quad t={ \ frac { 一 } { 一 + px } } $ ( 上大的精差：二嬸五 ・ 十 − 五 )

其中，_ p _  =  空九四七空四七 , _ a _ 一  =  空九三四八空二四二 , _ a _ 二  = − 空空九五八七九八 , _ a _ 三  =  空九七四七八五五六

$ \ operatorname { erf } ( x ) \ approx 一-{ \ frac { 一 } { ( 一 + a _ { 一 } x + a _ { 二 } x ^ { 二 } + \ cdots + a _ { 六 } x ^ { 六 } ) ^ { 十六 } } } $ ( 上大的精差：三 ・ 十 − 七 )

其中，_ a _ 一  =  空八空七空五二三空七八四 , _ a _ 二  =  空五空四二二八二空一二三 , _ a _ 三  =  空空空九二七空五二七二 , _ a _ 四  =  空空空空一五二空一四三 , _ a _ 五  =  空空空空二七六五六七二 , _ a _ 六  =  空空空空空四三空六三八

$ \ operatorname { erf } ( x ) \ approx 一-( a _ { 一 } t + a _ { 二 } t ^ { 二 } + \ cdots + a _ { 五 } t ^ { 五 } ) e ^ {-x ^ { 二 } } , \ quad t={ \ frac { 一 } { 一 + px } } $     ( maximum error : 一垺五·十 − 七 )

其中，_ p _  =  空九三二七五九一一 , _ a _ 一  =  空空二五四八二九五九二 , _ a _ 二  = − 空五二八四四九六七三六 , _ a _ 三  =  一孵四二一四一三七四一 , _ a _ 四  = − 一孵四五三一五二空二七 , _ a _ 五  =  一孵空六一四空五四二九以上所有近似式適用範圍是：_ x _ ≥  零 . 對於負的 _ x _ , 精差函數是奇函數這一性質得著精差函數的值，erf ( _ x _ )  = −erf ( − _ x _ ) .

另外有彼種近似式：

$ \ operatorname { erf } ( x ) \ approx \ operatorname { sgn } ( x ) { \ sqrt { 一-\ exp \ left (-x ^ { 二 } { \ frac { 四 / \ pi + ax ^ { 二 } } { 一 + ax ^ { 二 } } } \ right ) } } $

其中，

$ a={ \ frac { 八 ( \ pi ma三 ) } { 三 \ pi ( 四-\ pi ) } } \ approx 空八一四空空一二 . $

該近若像佇咧散赤的厝邊非常準確，_ x _ 規个定義域頂懸，近似式上大誤差細佇咧零零零三五，號 _ a _ ≈  空九一四七，上大的精差會減小到零點零空一二。

逆誤差函數近好像式 :: $ \ operatorname { erf } ^ { 影一 } ( x ) \ approx \ operatorname { sgn } ( x ) { \ sqrt { { \ sqrt { \ left ( { \ frac { 二 } { \ pi a } } + { \ frac { \ ln ( 一-x ^ { 二 } ) } { 二 } } \ right ) ^ { 二 }-{ \ frac { \ ln ( 一-x ^ { 二 } ) } { a } } } }-\ left ( { \ frac { 二 } { \ pi a } } + { \ frac { \ ln ( 一-x ^ { 二 } ) } { 二 } } \ right ) } } . $

數值近親像

下式佇整個定義域上，上大的精差可低到 $ 一孵二 \ cdot 十 ^ { 鋪七 } $：

$ \ operatorname { erf } ( x )={ \ begin { cases } 一-\ tau & \ mathrm { for \ ; } x \ geq 零 \ \ \ tau 影一 & \ mathrm { for \ ; } x < 零 \ end { cases } } $

其中，

$ { \ begin { array } { rcl } \ tau &=& t \ cdot \ exp \ left (-x ^ { 二 } 抹一爿二六五五一二二三 + 一孵空空空空二三六八 \ cdot t + 空九三七四空九一九六 \ cdot t ^ { 二 } + 空八空九六七八四一八 \ cdot t ^ { 三 } \ right . \ \ & & \ qquad 塗空九一八六二八八空六 \ cdot t ^ { 四 } + 空五二七八八六八空七 \ cdot t ^ { 五 } 抹一爿一三五二空三九八 \ cdot t ^ { 六 } + 一爿四八八五一五八七 \ cdot t ^ { 七 } \ \ & & \ qquad \ left . 鋪空七八二二一五二二三 \ cdot t ^ { 八 } + 空八一七空八七二七七 \ cdot t ^ { 九 } \ right ) \ end { array } } $

$ t={ \ frac { 一 } { 一 + 空七五 \ , | x | } } $

佮其他的函數的關係

精差函數本質佮標準常態累積分布函數 $ \ Phi $ 是等價的，

$ \ Phi ( x )={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 \ pi } } } \ int _ {-\ infty } ^ { x } e ^ { \ tfrac {-t ^ { 二 } } { 二 } } \ , \ mathrm { d } t={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left [一 + \ operatorname { erf } \ left ( { \ frac { x } { \ sqrt { 二 } } } \ right ) \ right]={ \ frac { 一 } { 二 } } \ , \ operatorname { erfc } \ left (-{ \ frac { x } { \ sqrt { 二 } } } \ right ) $

會當整理做如下的形式：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { erf } ( x ) &=二 \ Phi \ left ( x { \ sqrt { 二 } } \ right ) 影一 \ \ \ mathrm { erfc } ( x ) &=二 \ Phi \ left (-x { \ sqrt { 二 } } \ right )=二 \ left ( 一-\ Phi \ left ( x { \ sqrt { 二 } } \ right ) \ right ) . \ end { aligned } } $

$ \ Phi $ 的湖函數為常態分位函數，即機率單位函數，

$ \ operatorname { probit } ( p )=\ Phi ^ { 影一 } ( p )={ \ sqrt { 二 } } \ , \ operatorname { erf } ^ { 影一 } ( 二 p 影一 )=-{ \ sqrt { 二 } } \ , \ operatorname { erfc } ^ { 影一 } ( 二 p ) . $

精差函數為標準常態分布的尾機率 Q 函數的關係為，

$ Q ( x )={ \ frac { 一 } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { 二 } } \ operatorname { erf } \ left ( { \ frac { x } { \ sqrt { 二 } } } \ right )={ \ frac { 一 } { 二 } } \ operatorname { erfc } \ left ( { \ frac { x } { \ sqrt { 二 } } } \ right ) . $

精差函數是米塔-列夫勒函數的特例，會當表示為合流超幾何函數，

$ \ mathrm { erf } ( x )={ \ frac { 二 x } { \ sqrt { \ pi } } } \ , _ { 一 } F _ { 一 } \ left ( { \ tfrac { 一 } { 二 } } , { \ tfrac { 三 } { 二 } } ,-x ^ { 二 } \ right ) . $

精差函數用正則 Γ 函數 P 佮無完全 Γ 函數表示為

$ \ operatorname { erf } ( x )=\ operatorname { sgn } ( x ) P \ left ( { \ tfrac { 一 } { 二 } } , x ^ { 二 } \ right )={ \ operatorname { sgn } ( x ) \ over { \ sqrt { \ pi } } } \ gamma \ left ( { \ tfrac { 一 } { 二 } } , x ^ { 二 } \ right ) . $

$ \ scriptstyle \ operatorname { sgn } ( x ) \ $ 為符號函數 .

廣義誤差函數

廣義誤差函數為：

$ E _ { n } ( x )={ \ frac { n ! } { \ sqrt { \ pi } } } \ int _ { 零 } ^ { x } e ^ {-t ^ { n } } \ , \ mathrm { d } t={ \ frac { n ! } { \ sqrt { \ pi } } } \ sum _ { p=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { p } { \ frac { x ^ { np + 一 } } { ( np + 一 ) p ! } } \ , . $

其中，_ E _ 零 ( _ x _ ) 為通過原點的直線，$ \ scriptstyle E _ { 零 } ( x )={ \ frac { x } { e { \ sqrt { \ pi } } } } $。_ E _ 二 ( _ x _ ) 即為誤差函數 erf ( _ x _ )。

_ x _ >   零時，廣義誤差函數會當用 Γ 函數佮無完全 Γ 函數表示，

$ E _ { n } ( x )={ \ frac { \ Gamma ( n ) \ left ( \ Gamma \ left ( { \ frac { 一 } { n } } \ right )-\ Gamma \ left ( { \ frac { 一 } { n } } , x ^ { n } \ right ) \ right ) } { \ sqrt { \ pi } } } , \ quad \ quad x > 零 . \ $

所以，精差函數會當用無完全 Γ 函數表示為：

$ \ operatorname { erf } ( x )=一-{ \ frac { \ Gamma \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } , x ^ { 二 } \ right ) } { \ sqrt { \ pi } } } . \ $

互相補誤差函數的迵天代的積分

互相補誤差函數的迵天代積分定義做：

$ \ mathrm { i } ^ { n } \ operatorname { erfc } \ , ( z )=\ int _ { z } ^ { \ infty } \ mathrm { i } ^ { n 影一 } \ operatorname { erfc } \ , ( \ zeta ) \ ; \ mathrm { d } \ zeta . \ , $

會當展開冪的級數：

$ \ mathrm { i } ^ { n } \ operatorname { erfc } \ , ( z )=\ sum _ { j=零 } ^ { \ infty } { \ frac { (-z ) ^ { j } } { 二 ^ { n-j } j ! \ Gamma \ left ( 一 + { \ frac { n-j } { 二 } } \ right ) } } \ , , $

滿足這馬對稱性質：

$ \ mathrm { i } ^ { 二 m } \ operatorname { erfc } (-z )=-\ mathrm { i } ^ { 二 m } \ operatorname { erfc } \ , ( z ) + \ sum _ { q=零 } ^ { m } { \ frac { z ^ { 二 q } } { 二 ^ { 二 ( m-q ) 影一 } ( 二 q ) ! ( m-q ) ! } } $

和

$ \ mathrm { i } ^ { 二 m + 一 } \ operatorname { erfc } (-z )=\ mathrm { i } ^ { 二 m + 一 } \ operatorname { erfc } \ , ( z ) + \ sum _ { q=零 } ^ { m } { \ frac { z ^ { 二 q + 一 } } { 二 ^ { 二 ( m-q ) 影一 } ( 二 q + 一 ) ! ( m-q ) ! } } \ , . $

參見

• 古德溫-斯塔頓積分

外部連結

• MathWorld–Erf