列維-奇維塔符號
列維-奇維塔符號（Levi-Civita symbol）， 閣稱列維-奇維塔 ε，為一在線性代數，張量分析佮微分幾何等數學範圍中常看著的符號。著正整數 _ n _，伊以一 , 二 , . . . , _ n _ 所形成排列的奇偶性來定義。伊以義大利數學家佮物理學家圖利奧 ・ 列維-齊維塔號名。其他的名包括排列符號、反對稱符號佮交替符號。遮的名佮伊排列佮反對稱的性質有關係。
列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 ε 抑是 ϵ，較無遐捷看著的嘛有以拉丁文小寫 _ e _ 記號。下標符能佮張量分析兼容的方式來顯示排列：
- $ \ varepsilon _ { a _ { 一 } a _ { 二 } \ cdots a _ { n } } $
其中逐个表示標示 _ a _ 一 , _ a _ 二 , . . . , _ a _ n 取值介乎一到 _ n _。佇咧 _ ε _ a 一 _ a _ 二 . . . _ a _ n 中，共有 _ nn _ 個指標排列，會當排做一个 _ n _ 維陣列。
就是當任何兩个指標等等，是定義符號值等於零：
- $ \ varepsilon _ { \ cdots a _ { p } \ cdots a _ { p } \ cdots }=零 $；
當全部指標攏無相等的時陣，咱定義：
- $ \ varepsilon _ { a _ { 一 } a _ { 二 } \ cdots a _ { n } }=( 影一 ) ^ { p } \ varepsilon _ { 十二 \ cdots n } $，
其中 _ p _ 這號做「排列的奇偶性」( parity of permutation )，是欲將 _ a _ 一 , _ a _ 二 , . . . , _ a _ n 變換做自然次序一 , 二 , . . . , _ n _，需要的著愛換次數。啊若因為 ( − 一 ) p 予人叫做是「排列正負號」( signum of permutation )。遮，_ ε _ 十二 . . . _ n _ 的值著愛有定義，若無其他特定排列的符號值將無法度確定。大多數的作者選擇 + 一做為自然次序的值：
- $ \ varepsilon _ { 十二 \ cdots n }=+ 一 $。
佇本文中，嘛欲用這个定義。
對定義會當知影講，做任何兩个指標相換，著愛加上負號：
- $ \ varepsilon _ { \ cdots a _ { p } \ cdots a _ { q } \ cdots }=-\ varepsilon _ { \ cdots a _ { q } \ cdots a _ { p } \ cdots } $。
這號做「完全反對稱性」。
「 _ n _ 維列維-奇維塔符號」一詞是講符號上的指標數 _ n _，和所討論的向量空間維度相符，其中會當指歐幾里得空間抑是非歐幾里得空間，比如講R三的 _ n _=三抑是閔可夫斯基空間的 _ n _=四。
列維-奇維塔符號的值，佮參考座標系無關。此外，遮使用「符號」一詞。強調矣伊並毋是一个張量；毋過，伊會當予人理解做張量的密度。
列維-奇維塔符號會當用來表示正方矩陣的行列式，佮三維歐幾里德空間內底的兩个向量的叉積。
定義
列維-奇維塔符號上捷用三維和四維，並佇一定程度上用佇咧二維，所以佇定義一般狀況進前，先予出遮的符號值。
二維
佇二維中，列維-奇維塔符號定義如下：
遮的值會當排列做兩 × 二反對稱矩陣：
- $ { \ begin { pmatrix } \ varepsilon _ { 十一 } & \ varepsilon _ { 十二 } \ \ \ varepsilon _ { 二十一 } & \ varepsilon _ { 二十二 } \ end { pmatrix } }={ \ begin { pmatrix } 零 & 一 \ \ 影一 & 零 \ end { pmatrix } } $
佮其他維度，二維的列維-奇維塔符號並無捷看著，雖然佇某一寡專門的主題，親像超對稱佮扭量理論當中，講和二-旋量的時陣會用著。
三維
是三維以上的列維-奇維塔符號閣較捷用。佇三維中，列維-奇維塔符號定義如下：
也就是講，若是 ( _ i _ , _ j _ , _ k _ ) 是 ( 一 , 二 , 三 ) 尪仔排列，是符號值為 + 一。若奇排列，是符號值為 − 一。如果任何兩个索引重複，是符號值做零。
干焦有三維中，( 一 , 二 , 三 ) 的循環排列攏是尪仔排列，按呢反循環排列攏是奇排列。這是意味對三維中，干焦觀察 ( _ i _ , _ j _ , _ k _ ) 是 ( 一 , 二 , 三 ) 的循環排列，抑是反循環排列，就會當分別其奇偶性。
類似二維矩陣，三維列維-奇維塔符號的值會當排做三 × 三 × 三陣列：
其中 _ i _ 是深度 ( 藍色 : _ i _=一 ; 紅色 : _ i _=二 ; 青色 : _ i _=三 )，_ j _ 是橫行，_ k _ 是直列。
以下是一寡例：
- $ { \ begin { aligned } \ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { 二 } }=-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { 二 } \ color { Violet } { 三 } } &=影一 \ \ \ varepsilon _ { \ color { Violet } { 三 } \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { 二 } }=-\ varepsilon _ { \ color { Orange } { 二 } \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Violet } { 三 } } &=-(-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { 二 } \ color { Violet } { 三 } } )=一 \ \ \ varepsilon _ { \ color { Orange } { 二 } \ color { Violet } { 三 } \ color { BrickRed } { 一 } }=-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { 二 } } &=-(-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { 二 } \ color { Violet } { 三 } } )=一 \ \ \ varepsilon _ { \ color { Orange } { 二 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { 二 } }=-\ varepsilon _ { \ color { Orange } { 二 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { 二 } } &=零 \ end { aligned } } $
四維
佇四維中，列維-奇維塔符號定義如下：
遮的值會當排做四 × 四 × 四 × 四陣列，毋過四維以上較歹畫出示意圖。
以下是一寡例：
- $ { \ begin { aligned } \ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { RedViolet } { 四 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } }=-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { Violet } { 三 } \ color { RedViolet } { 四 } } &=影一 \ \ \ varepsilon _ { \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Violet } { 三 } \ color { RedViolet } { 四 } }=-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { Violet } { 三 } \ color { RedViolet } { 四 } } &=影一 \ \ \ varepsilon _ { \ color { RedViolet } { 四 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { BrickRed } { 一 } }=-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { RedViolet } { 四 } } &=-(-\ varepsilon _ { \ color { BrickRed } { 一 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { Violet } { 三 } \ color { RedViolet } { 四 } } )=一 \ \ \ varepsilon _ { \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { RedViolet } { 四 } \ color { Violet } { 三 } }=-\ varepsilon _ { \ color { Violet } { 三 } \ color { Orange } { \ color { Orange } { 二 } } \ color { RedViolet } { 四 } \ color { Violet } { 三 } } &=零 \ end { aligned } } $
推廣到高維
閣較一般推廣到 _ n _ 維中，是列維-奇維塔符號的定義做：
閣會使用求積符號 ∏ 表達為：
- $ { \ begin { aligned } \ varepsilon _ { a _ { 一 } a _ { 二 } a _ { 三 } \ ldots a _ { n } } &=\ prod _ { 一 \ leq i < j \ leq n } \ operatorname { sgn } ( a _ { j }-a _ { i } ) \ \ &=\ operatorname { sgn } ( a _ { 二 }-a _ { 一 } ) \ operatorname { sgn } ( a _ { 三 }-a _ { 一 } ) \ dots \ operatorname { sgn } ( a _ { n }-a _ { 一 } ) \ operatorname { sgn } ( a _ { 三 }-a _ { 二 } ) \ operatorname { sgn } ( a _ { 四 }-a _ { 二 } ) \ dots \ operatorname { sgn } ( a _ { n }-a _ { 二 } ) \ dots \ operatorname { sgn } ( a _ { n }-a _ { n 影一 } ) \ end { aligned } } $
內底的 sgn ( _ x _ ) 是符號函數，根據 _ x _ 的正負予出 + 一、零抑是 − 一。這个公式對𪜶任何 _ n _ 佮任何的指標排列攏有效的（當 _ n _=無就是一時，定義為空積一）。
毋過，算以上公式的時間複雜度做 O ( _ n _ 二 )，若以無交循環排列的性質計算，只需要 O ( _ n _ log ( _ n _ ) )。
兩列維-奇維塔符號的積，會當用一个以廣義克羅內克函數表示的行列式求得：
- $ \ varepsilon _ { ijk \ dots } \ varepsilon _ { mnl \ dots }={ \ begin { vmatrix } \ delta _ { im } & \ delta _ { in } & \ delta _ { il } & \ dots \ \ \ delta _ { jm } & \ delta _ { jn } & \ delta _ { jl } & \ dots \ \ \ delta _ { km } & \ delta _ { kn } & \ delta _ { kl } & \ dots \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } } $
應用佮範例
行列式
佇線性代數內底，三 × 三的方陣 _ A _=( _ aij _ )：
- $ A={ \ begin { pmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & a _ { 十三 } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } & a _ { 二十三 } \ \ a _ { 三十一 } & a _ { 三十二 } & a _ { 三十三 } \ end { pmatrix } } $，
其行列式會當寫為：
- $ \ det ( A )=\ sum _ { i , j , k=一 } ^ { 三 } \ varepsilon _ { ijk } \ , a _ { 一 i } \ , a _ { 二 j} \ , a _ { 三 k } $，
類似地，_ n _ × _ n _ 矩陣 _ A _=( _ aij _ ) 的行列式會當寫為：
- $ \ det ( A )=\ sum _ { a _ { 一 } , a _ { 二 } , \ cdots , a _ { n }=一 } ^ { n } \ varepsilon _ { a _ { 一 } a _ { 二 } \ cdots a _ { n } } \ , a _ { 一 a _ { 一 } } \ , a _ { 二 a _ { 二 } } \ , \ cdots \ , a _ { na _ { n } } , $
向量的叉積
對向量a佮b，𪜶的叉仔積：
- $ { \ boldsymbol { a } } \ times { \ boldsymbol { b } }={ \ begin { vmatrix } { \ boldsymbol { e } } _ { 一 } & { \ boldsymbol { e } } _ { 二 } & { \ boldsymbol { e } } _ { 三 } \ \ a _ { 一 } & a _ { 二 } & a _ { 三 } \ \ b _ { 一 } & b _ { 二 } & b _ { 三 } \ \ \ end { vmatrix } }=\ sum _ { 一 \ leq i , j , k \ leq 三 } \ varepsilon _ { ijk } \ , a _ { i } b _ { j } \ , { \ boldsymbol { e } } _ { k } $
對向量a、b佮c，𪜶的三重埔埔：
- $ { \ boldsymbol { a } } \ cdot ( { \ boldsymbol { b } } \ times { \ boldsymbol { c } } )={ \ begin { vmatrix } a _ { 一 } & a _ { 二 } & a _ { 三 } \ \ b _ { 一 } & b _ { 二 } & b _ { 三 } \ \ c _ { 一 } & c _ { 二 } & c _ { 三 } \ \ \ end { vmatrix } }=\ sum _ { 一 \ leq i , j , k \ leq 三 } \ varepsilon _ { ijk } \ , a _ { i } b _ { j } c _ { k } $
性質
是由列維-奇維塔符號予出（計共變等級做 n）張量佇正交基礎內底的組成部份，有時號做「置換張量」。
根據普通的張量變換規則，列維-奇維塔符號佇純旋轉落無變，佮正交變換相關的所有座標系統（佇定義頂懸）相仝。毋過，列維-奇維塔符號是一種假假張量，因為佇雅可比行列式 − 一的正交變換之下，比如講，一个奇數維度的鏡射，我若是講伊是一个張量，伊「應該啦」有一个負號。因為伊根本無改變，所以列維-奇維塔符號根據定義，是一个假假張量。
因為列維-奇維塔符號是假假張量，因此取叉仔積的結果是假範張量，毋是向量。
佇咧一般的座標變換，換張量的額乘以轉換矩陣的雅可比。這表示佇和定義張量的座標系無仝的座標系內底，其組成部份佮列維-奇維塔符號表示的遐的，無仝的所在佇咧整體因為。若座標是正交的，無根據座標的方向是毋是相𫝛，因為 ± 一。
佇咧無指標的張量符號中，列維-奇維塔符號予人霍奇對尪仔的概念所取代。
佇咧使用張量的指標符號來操作量的頂下文中，列維-奇維塔符號會當共指標寫做是下標抑是上標，煞無改變意義，這凡勢是方便的如下寫成：
- $ \ varepsilon ^ { ij \ dots k }=\ varepsilon _ { ij \ dots k } . $
佇遮的例中，標應該予人看做是佮下標仝款。
使用愛因斯坦標記法可消除求和符號，其中兩个抑是真濟項之間重複的指標表示這場標的求和。比如講，
- $ \ varepsilon _ { ijk } \ varepsilon ^ { imn } \ equiv \ sum _ { i=一 , 二 , 三 } \ varepsilon _ { ijk } \ varepsilon ^ { imn } $ .
以下的例使用愛因斯坦標記法。
二維
佇兩維上，當所有 $ i $，$ j $，$ m $，$ n $ 各取值一和二時，
三維
指標佮符號值
佇三維中，當所有 $ i $，$ j $，$ k $，$ m $，$ n $ 各取值一 , 二和三時：
乘積
列維-奇維塔符號佮克羅內克函數有關。佇三維中，關係由以下等式共出（垂直線表示行列式）：
- $ { \ begin { aligned } \ varepsilon _ { ijk } \ varepsilon _ { lmn } &={ \ begin { vmatrix } \ delta _ { il } & \ delta _ { im } & \ delta _ { in } \ \ \ delta _ { jl } & \ delta _ { jm } & \ delta _ { jn } \ \ \ delta _ { kl } & \ delta _ { km } & \ delta _ { kn } \ \ \ end { vmatrix } } \ \ [六 pt] &=\ delta _ { il } \ left ( \ delta _ { jm } \ delta _ { kn }-\ delta _ { jn } \ delta _ { km } \ right )-\ delta _ { im } \ left ( \ delta _ { jl } \ delta _ { kn }-\ delta _ { jn } \ delta _ { kl } \ right ) + \ delta _ { in } \ left ( \ delta _ { jl } \ delta _ { km }-\ delta _ { jm } \ delta _ { kl } \ right ) . \ end { aligned } } $
這个結果的一个特例是 (四) :
- $ \ sum _ { i=一 } ^ { 三 } \ varepsilon _ { ijk } \ varepsilon _ { imn }=\ delta _ { jm } \ delta _ { kn }-\ delta _ { jn } \ delta _ { km } $
有當時仔會叫「contracted epsilon identity」。
佇愛因斯坦標記法內底，$ i $ 指標的重複表示 $ i $ 的總和。然後彼頭一个予人表示講 $ \ varepsilon _ { ijk } \ varepsilon _ { imn }=\ delta _ { jm } \ delta _ { kn } \ delta _ { jn } \ delta _ { km } $
- $ \ sum _ { i=一 } ^ { 三 } \ sum _ { j=一 } ^ { 三 } \ varepsilon _ { ijk } \ varepsilon _ { ijn }=二 \ delta _ { kn } $
_ n _ 維
指標佮符號值
佇咧 n 維中，當所有 $ i _ { 一 } , \ ldots , i _ { n } , j _ { 一 } , \ ldots , j _ { n } $ take values $ 一 , 二 , \ ldots , n $：
驚嘆號 ( $ ! $ ) 代表階乘，而且 $ \ delta _ { \ beta \ ldots } ^ { \ alpha \ ldots } $ 是廣義克羅內克函數，對任意 n 有屬性：
- $ \ sum _ { i , j , k , \ dots=一 } ^ { n } \ varepsilon _ { ijk \ dots } \ varepsilon _ { ijk \ dots }=n ! $
對以下事實會當出：
- 逐排列是尪仔排列抑是奇排列，
- $ ( + 一 ) ^ { 二 }=( 影一 ) ^ { 二 }=一 $，佮
- 任何 n-元素集合的排列數正好是 $ n ! $。
乘積
一般來講，對於 n 維，兩列維-奇維塔符號的乘積會當寫做：
- $ \ varepsilon _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } \ varepsilon _ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } }={ \ begin { vmatrix } \ delta _ { i _ { 一 } j _ { 一 } } & \ delta _ { i _ { 一 } j _ { 二 } } & \ dots & \ delta _ { i _ { 一 } j _ { n } } \ \ \ delta _ { i _ { 二 } j _ { 一 } } & \ delta _ { i _ { 二 } j _ { 二 } } & \ dots & \ delta _ { i _ { 二 } j _ { n } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ \ delta _ { i _ { n } j _ { 一 } } & \ delta _ { i _ { n } j _ { 二 } } & \ dots & \ delta _ { i _ { n } j _ { n } } \ \ \ end { vmatrix } } $