歐幾里得空間
歐幾里著幾何是佇咧約公元前三零零年，由古希臘數學家歐幾里著建立的角和空間內面距離之間聯絡的法則。歐幾里著代先開發矣呢處理平面上二維物體的「平面幾何」，伊接紲分析三維物體的「立體幾何」，所有歐幾里得的公理予人排到幾何原本。
遮的數學空間會當予人擴展來應用佇啥物有限維持，而且這種空間叫做n 維歐幾里著空間（甚至簡稱$ n $ 維空間）抑是有限來維實內積空間。
遮的數學空間猶閣會當予人擴展到任意維的情形，這號做實內積空間（無一定完備）， 希爾伯特空間佇高等代數教科書內底嘛予人號做是歐幾里得空間。 為著開發閣較懸維的歐幾里著空間，空間性質必須愛非常斟酌的表達並且予人擴展到任意維持。 就算講結果的數學非常抽象，伊煞呈現咱所熟似的歐幾里得空間的根本質，根本性質是伊的平面性。 另外嘛存在其他種類的空間，譬如講球面非歐幾里得空間，相對論所講的四維時空佇咧重力出現的時陣嘛毋是歐幾里得空間。
直覺概述
有一種方法論共歐幾里著愛平面看作滿足會當依據距離佮角表達的特定聯繫的點所成的集合。其一个平移，伊意味著徙振動這个平面就會使得所有淡薄仔攏仝方向徙動相仝距離。其二是關於著這个平面中固定點的踅踅咧，其中佇咧平面上的所有關係著這个固定點旋轉相仝的角度。歐幾里著幾何的一个基本原則是，若通過一序列的平移和旋轉會當共一个圖形轉換做另外一个圖形，平面的兩个圖（也就是子集）應該被認為是等價的（全等）。（參見歐幾里得群）。
為著使遮的佇數學上精確，著愛明確定義距離、角、平移佮轉踅的概念。標準方式是定義歐幾里著平面為著內積的二維實數的向量空間。有對 :
- 佇咧這个向量空間內底的向量對應佇咧歐幾里得平面的點，
- 佇咧向量空間內底的加法運算對應平移，
- 內積蘊涵了角佮距離的概念，伊會當予人定義旋轉。
一旦歐幾里著平面用這款語言來講，擴展伊的概念到任意思維度就是簡單的代誌矣。對大多數的部份，詞彙、公式、佮計算對閣較懸維的出現無造成任何的困難。（猶毋過，旋轉佇高維中是足微妙，高維空間的視化猶原是真困難，就算講對有經驗的數學家嘛仝款）。
歐幾里得空間的最後問題是伊佇技術上毋是向量空間，是向量空間來作用其實仿的空間。直覺上，區別是對原點應當佇咧這个空間的啥物所在無標準選擇，因為伊會當四界徙。這號技術本底真大程度被忽略去矣。
實數坐標空間
以 $ \ mathbb { R } $ 表示實數體。著任意一个正整數 n，實數的 n 元組的全體構變成 $ \ mathbb { R } $ 上的一个 n 維向量空間，用 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 來表示。有時稱之為實數坐標空間。
$ \ mathbb { R } ^ { n } $ 中的元素寫作 $ X=( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } ) $，遮的 $ x _ { i } $ 攏是實數。$ \ mathbb { R } ^ { n } $ 做向量空間，其運算是按呢定義的：
- $ \ mathbf { x } + \ mathbf { y }=( x _ { 一 } + y _ { 一 } , x _ { 二 } + y _ { 二 } , \ ldots , x _ { n } + y _ { n } ) $
- $ a \ , \ mathbf { x }=( ax _ { 一 } , ax _ { 二 } , \ ldots , ax _ { n } ) $
通常引入實數坐標空間 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的標準正交基：
- $ \ mathbf { e } _ { 一 }=( 一 , 零 , \ ldots , 零 ) $
- $ \ mathbf { e } _ { 二 }=( 零 , 一 , \ ldots , 零 ) $
- $ \ vdots $
- $ \ mathbf { e } _ { n }=( 零 , 零 , \ ldots , 一 ) $
所以 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 意中的向量會當表示成下跤的形式：
- $ \ mathbf { x }=\ sum _ { i=一 } ^ { n } x _ { i } \ mathbf { e } _ { i } $
n 維實數坐標空間是實際 n 維向量空間的原型。事實上，彼每一个 n 維向量空間 $ V \ $ 攏會當看作實數坐標空間—— $ V \ $ 佮 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 是仝構的（isomorphic）。 猶毋過這个同構毋是正則（Canonical）的，逐个仝構的選擇攏佮佇咧相當 $ V \ $ 著選擇一組基（即 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的 n 個標準基在 $ V \ $ 內底的同構像）。 咱有當時仔只有任意 n 維向量空間毋是具體的 $ \ mathbb { R } ^ { n } $，這是因為無希望為坐標的概念所束縛（即，有當時仔毋免選擇 $ V \ $ 中特定的一組基）。
歐幾里得結構
啊若歐幾里得空間，著是佇咧 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上閣添加一寡內容：歐幾里得結構。 為著欲做歐氏幾何，𪜶就希望會當討論兩點間的距離，直線抑是向量間的角色。一个自然的方法就是佇 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上，著任意兩个向量 $ \ mathbf { x } $、$ \ mathbf { y } $，引入𪜶的「標準內積」$ < \ mathbf { x } , \ mathbf { y } > $（一寡文獻頂懸攏是點積，記為 $ \ mathbf { x } \ cdot \ mathbf { y } $）：
- $ < \ mathbf { x } , \ mathbf { y } >=\ sum _ { i=一 } ^ { n } x _ { i } y _ { i }=x _ { 一 } y _ { 一 } + x _ { 二 } y _ { 二 } + \ cdots + x _ { n } y _ { n } $。
也就是講，$ \ mathbb { R } ^ { n } $ 中的任意兩个向量對應一个實數值。 阮共 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 佮按呢佇遐定義的內積，這號做 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的歐幾里得結構；現此時的 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 嘛予人號做 n 維歐幾里著空間，內積 " < , > " 這號做歐氏內積。
利用這个內積，會當建立距離、長度、角度等等的概念：
- 向量 $ \ mathbf { x } $ 的長度：
- $ \ | \ mathbf { x } \ |={ \ sqrt { < \ mathbf { x } , \ mathbf { x } > } }={ \ sqrt { \ sum _ { i=一 } ^ { n } ( x _ { i } ) ^ { 二 } } } $
遮的長度函數滿足範數所需要的性質，故又閣叫做 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的歐氏範數。
- $ \ mathbf { x } $ 和 $ \ mathbf { y } $ 所挾的內角以下列式子予出
- $ \ theta=\ cos ^ { 影一 } \ left ( { \ frac { < \ mathbf { x } , \ mathbf { y } > } { \ | \ mathbf { x } \ | \ | \ mathbf { y } \ | } } \ right ) $
遮的 $ \ cos ^ { 影一 } $ 為反餘弦函數。
- 最後咧，會當利用歐氏的範數來定義 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的距離函數，抑是稱度量：
- $ d ( \ mathbf { x } , \ mathbf { y } )=\ | \ mathbf { x }-\ mathbf { y } \ |={ \ sqrt { \ sum _ { i=一 } ^ { n } ( x _ { i }-y _ { i } ) ^ { 二 } } } $。
這个距離函數講號做歐幾里得度量，伊會使看做畢氏定理一个形式。
遮的 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 干焦指實數向量空間，加入去定義的歐幾里著結構了後才叫做歐氏空間；有的作者就是用符號 $ \ mathbb { E } ^ { n } $ 來標記之。歐氏結構使 $ \ mathbb { E } ^ { n } $ 有遮的空間結構：內積空間、希爾伯特空間、範勢向量空間和度量空間。
歐氏拓撲
因為歐氏空間是一个量空間，所以嘛是一个有由度量推捒出的自然楦出的楦撲空間。$ \ mathbb { E } ^ { n } $ 上的度量拓拓被稱做是歐氏拓撲。歐氏拓撲中的集是開的若是唯若伊包含著該集的每一點周邊的開球。會當證明，歐氏拓撲等等的價數 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的積拓撲。
關於著 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上楦的一个並無淺現了的重要結論是，魯伊茲 ・ 布勞威爾的區域不變性。任意 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的子集（佮其子共拓撲）佮另外一个 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 子集同胚的話，按呢這个子集家己是開的。這个結果的一个直接的結論就是 $ \ mathbb { R } ^ { m } $ 佮 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 無仝胚，當 $ m \ neq n $。
佮流形的關係
佇現代數學中，歐幾里得空間形成其他閣較複雜的幾何物件的原型。特別是流形，伊是邏輯上仝胚於歐幾里得空間的郝斯多夫拓撲空間。
$ n $ 維歐氏空間是 n 維流形的典型例，事實上也就是金滑流形。對於 $ n \ neq 四 $，任意佮 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 同胚的可微 n 維流形，也是微分同胚的。著驚奇的結果是，一九八二年西蒙 ・ 唐納森證明矣對 $ n=四 $ 的狀況無成立；其反例予人號做是怪R四。
歐氏空間嘛有理解做線性流形。一个 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 中的 m 維線性流形是一个（做仿射空間）1875入去其中的 m 維歐氏空間。比如講，任意高維（$ n > 一 $）歐氏空間內底的任意直線是該空間內底的一維線性流形。
一般的講，流形的概念包含歐幾里著幾何佮非歐幾里著幾若里二者。佇這个觀點頂懸，歐幾里得空間的根本性質為伊是平坦的，嘛就是非彎曲的。現代物理學特別是相對論，展示咱的宇宙毋是真正的歐幾里得著的時空。就算講這佇咧理論內面甚至佇咧某一寡實際的問題如全球定位系統佮航空中是重要的，歐幾里得模型猶有夠精確用佇大多數其他實際問題。
相關條目
- 歐幾里著幾何
- 歐幾里著愛距離
- 閔可夫斯基時空
- 黎曼幾何
引用
- Kelley , John L . General Topology . Springer-Verlag . 一千九百七十五 . ISBN 九百七十八追空九三百八十七抹著的九空一百二十五孵一 .
- Munkres , James . Topology . Prentice-Hall . 一千九百九十九 . ISBN 九百七十八孵空鋪十三五十八撨一千六百二十九九九 .