發散級數

發散級數（英語：Divergent Series）是講（照柯西的意義）無愛收斂的級數。如級數 $ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots $ 和 $ 一孵一 + 一孵一 + \ cdots $，也就是講該級數的部份和序列無一个有窮極限。

若一个級數是覕鬚的，這个級數的項一定會摃龜。所以，任何一個項因為無到零的級數攏是發散的。猶毋過，捻是比這閣較強的要求：毋是逐項項較收縮零的級數攏予收斂。其中一个反例是調佮級數

$ 一 + { \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 三 } } + { \ frac { 一 } { 四 } } + \ cdots=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { n } } . $

調和級數的發散性予中世紀數學家奧里斯姆所證明。

可和法

佇實際的數學研究佮物理、天文等等其他的學科應用中，不時會自然牽涉著各種發散級數，所以數學家方便試圖予這類發散級數客觀地指派一个實或者是復的值，定義為相應級數的佮，並且佇這種意義之下的研究所牽涉著的發散級數。每一種定義攏予人叫做是一个可和法（英語：Summability method）， 嘛予人理解做一類級數到實數抑是複數的一个影射，通常嘛是一个線性泛函，比如講阿貝爾可和法、切薩羅可和法佮波萊爾可和法等。

會當保持有收縮級數的收斂值，著某寡發散級數，這款可佮法佮能額外定義出相應級數的佮。譬如講切薩羅可佮法將格蘭迪級數

$ 一孵一 + 一孵一 + \ cdots $

會當到二分之一。大部份會當佮法佮相應冪的數解析延拓相關，每一个適當的可和法試圖描述的是序列較無散時的平均表現，這種意義之下嘛會當理解為無窮窮列的均值。

歷史

十九世紀進前，歐拉佮其他數學家廣泛地應用發散級數，毋過不時咧引出予人憢疑佮矛盾的結果。其中，主要的問題是歐拉的思想，即逐个發散級數攏應該有一个自然的佮，無需要代先定義發散級數的佮的含義。柯西終其尾有出（收斂）級數的佮的嚴格定義，伊對遮過了後的一段時間，發散級數基本被排除佇數學以外矣。一直到一八八六年，𪜶才佇龐加萊關於漸漸進級數的工作中閣再出現。佇一八九Ｏ年，切薩羅意識著會當對一類發散級數的和予出嚴格定義，自按呢定義矣切薩羅和。（這並毋是第一改應用著切薩羅和，扳比尼斯伊佇一八八Ｏ年捌使用過；切薩羅關鍵的貢獻並毋是發現了這會當佮法，是因為伊認為「應當予出發散級數和的精確定義」的思想。）佇咧切薩羅的論文發表的後一年，其他的一寡數學家陸續出了發散級數和的其他定義，猶毋過遮的定義並無總是相容的：無仝款的定義可能對相仝的發散級數予出無仝款的佮。所以乎，講彼个坎站的佮時陣，需要有體指明所使用的是佗一个會當佮法，就算講大部份定定用的佮法某一種意義頂懸是互相容的。

關於發散級數求和的可和法定理

收斂級數映射著伊的和的函數是線性的，對根據哈恩-巴攑赫定理會當推出，這个函數會當楦闊做可和任意部份和有界的級數的可和法，這事實一般並無啥有效，因為按呢的擴張真濟攏是互相無相容的，並且嘛因為這種算子的存在性證明講諸於選擇公理抑是伊的等價形式，譬如講佐恩引理，所以𪜶嘛是攏非構造的。

發散級數這一分支，作為分析學的領域，本質上關心的是明確而且自然的技巧，比如講阿貝爾可和法、切薩羅可和法、波萊爾會當佮法以及相關的物件。維納陶伯型定理的出現標誌著這一分支步佇新的階段，伊引出了傅立葉分析中國提赫代數佮會當交法間出乎意料的聯絡。

發散級數的求和作為數值技巧嘛佮插值法佮序列轉換相關，這類技巧的例有：帕德欲親像、Levin 類序列轉換佮量子力學中高階微擾論重整化技巧相關的依序影射。

可和法的基本性質

會當佮法通常關心的是級數的部份佮序列。有當時仔這个序列並無收斂，但是定定會發現，順序列頭一項起，每一个取愈來愈濟的項的平均，得著的均值列會當是佇收斂的，會當用這个均值列的極限取代原本的概念，用來表示講相應級數的佮。所以通常為著得著級數 _ a _ 零 + _ a _ 一 + _ a _ 二 + . . . , 的佮，會順序列 _ s _ 出發考慮，其中 _ s _ 零=_ a _ 零，_ s _ n + 一=_ s _ n + _ a _ n + 一，其中有咧收斂的情形下，序列 _ s _ 因為某一个極限 _ a _。彼每一个'可和法嘛會當被理解做一類級數的部份和序列到實數抑是複數的一个影射，佇這款理解下，會當通過考慮會當相應級數影射到仝款的值的影射，共其化做級數可和法'AΣ，反之亦然。遮的通常愛遵循抑是講有一類自然的性質，予𪜶佇應用上親像極限的觀念仝款，閣較容易推出一般性的結論。

一 .正則性. 講可和法A為 _ 正則 _ 的，是講對逐个收斂著 _ x _ 的序列 _ s _，有A( _ s _ )=_ x _。等價數講，相應的級數會當佮法總是會出AΣ ( _ a _ )=_ x _。 二 .線性. 講可和法A為 _ 線性 _ 的，是講伊做 ( 部份佮 ) 序列上的函數是一个線性泛函，所以對序列 _ r _、_ s _ 佮實抑是復的純量 _ k _ 有A( _ k _ _ r _ + _ s _ )=_ k _A( _ r _ ) +A( _ s _ )。因為級數 _ a _ 的項 _ a _ n + 一=_ s _ n + 一 − _ s _ n 是一族關於序列 _ s _ 線性泛函，反之亦然，所以這嘛等於講AΣ 是作用在級數項序列頂懸的線性泛函。 三 .穩定性( 嘛予人號做可移性 ) . 若是 _ s _ 是對 _ s _ 零開始的序列，並且 _ s _ ′ 是通過刣去 _ s _ 的首項並佇咧餘下每一項減去 _ s _ 零得著的序列，也就是講 _ s _ ′n=_ s _ n + 一 − _ s _ 零，著A( _ s _ ) 有定義你若閣唯一A( _ s _ ′ ) 有定義，並且A( _ s _ )=_ s _ 零 +A( _ s _ ′ )。等價數講，只要對逐个 _ n _ 有 _ a _ ′n=_ a _ n + 一，遐爾AΣ ( _ a _ )=_ a _ 零 +AΣ ( _ a _ ′ )。對這的另外一種表述是，佇這个會當佮法下會當佮的級數攏滿足移位法則。

有真濟會當佮法攏滿足比正則性閣較強的全正性，譬如講切薩羅和。

這種性質是將正則性佮廣義實數結合考慮了後所自然產生的，嘛會使講，並無通常意義下的發散到當無窮的級數視作無極限的，是看做以當咧散赤「極限」。 比如講一个可能佮法將 $ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots $ 可能佮到 $-十二分之一 $，按呢伊一定毋是全正則的。類似的，嘛會當佇納入廣義實數考慮的情形下，藉助廣義實數間的運算法則定義出類似意義下的線性。

第三个性質無遐重要，對一寡重要的佮法來講，比如講波萊爾可和法，可能會無這種性質。應該注意著的是，遮並無希望所考慮的會當佮法定義佇每一个實序列抑是講有界實序列頂懸，這是因為大部份有力的會當佮法嘛無法度滿足這種性質。設死希望討論額外滿足這款性質的可和法，比如講巴提赫極限，需要證明這種會當佮法的存在性，這个就會牽連哈恩-巴攑赫定理。

閣會當予出比穩定性較弱一點仔的條件。

對兩个無仝的可和法A和B，會希望𪜶會當享有 _ 相容性 _：稱A和B為相容的，是講著兩个可和法下跤攏會用得佮的序列 _ s _ 來講，有A( _ s _ )=B( _ s _ )。若是兩个有法度是相容的，並且其中一个會當佮的級數加於另外一个，就是共會當佮閣較濟的彼个號做 _ 閣較強的 _。

有一寡有力的數值會當佮法既然無正則嘛無線性，譬如講一寡非線性的序列轉換，像講 Levin 類序列轉換佮帕德近來親像，猶佮重整化技巧內底微擾級數的依序影射。

準若講將正則性、線性佮穩定性視作公理，啊若通過基本的代數操作便能對濟濟發散級數求和。這部份地解說無仝款的通佮法對一類級數總予出仝一个值的原因。

比如講，對公比 _ r _ ≠ 無仝款的幾何級數，假定佇咧某一个符合以上三條的這可和法下攏是可和的，就會當得著

$ { \ begin { aligned } G ( r , c ) &=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } cr ^ { k } & & \ \ &=c + \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } cr ^ { k + 一 } & & \ \ &=c + r \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } cr ^ { k } & & \ \ &=c + r \ , G ( r , c ) , & & \ \ G ( r , c ) &={ \ frac { c } { 一-r } } . & & \ \ \ end { aligned } } $

價值咧講的是，遮 $ G ( r , c ) $ 所滿足的方程式 $ x=c + rx $，佇咧 _ r _ > 一時嘛會當理解講 $ \ infty $ 為另外一个解，所以佇咧這種意義放屎袂當斷言 $ { \ frac { c } { 一-r } } $ 是唯一的解。閣較嚴格講，逐个遵循遮的性質，並且共應幾若種級數會當佮有限值的可和法，一定共其實會當佮到這个值。進一步的，當 _ r _ 是比一个實數的時陣，部份佮遞增而且無界，自而佇進前所講的平均法落去，以一直攏無散赤。

傳統的意義下的佮法

常在的收斂佮絕對收斂是級數佇咧傳統意義下跤的兩个彼號有法度，遮只是出於完整性的考慮才加以討論；論真講，𪜶並無算講是發散級數的可和法，這是因為干焦做這款的會當無效時，才講一个級數發散。大部份發散級數的可和法攏是這兩个可和法佇閣較大一類序列頂懸的延拓。

級數的佮

柯西對級數 _ a _ 零 + _ a _ 一 + . . . 的佮的經典定義為部份佮序列 _ a _ 零 + . . . + _ a _ n 的極限。通過兩个實數之間加法運算的定義，才依據數學歸納法，袂難自然地定義出有限個實數間的加法。但是有限個實數間的加法有定義並無意味對能直接地導出級數的佮的定義，因為這个時陣並無定義無限項相加的概念，干焦藉助極限進行額外定義才會當明確級數的佮的概念。

絕對收斂

共定帶收縮著 _ s _ 的收斂級數 _ a _，設死任意置換級數 _ a _ 的項得著級數 _ a _ ′ 後，_ a _ ′ 斂嘛是總是覕鬚 _ s _，則稱級數 _ a _ 是絕對收斂的。佇這个定義之下會當證明，一个級數斂手若是唯一取伊每一項絕對值後得著的新級數佇咧經典意義的收斂。一寡所在共後者做為絕對收斂的定義，毋過因為無牽連絕對值的概念，所以前者的定義閣較有一般性。

Nørlund 平均

取對 _ p _ 零起的正項序列 _ pn _，並且滿足

$ { \ frac { p _ { n } } { p _ { 零 } + p _ { 一 } + \ cdots + p _ { n } } } \ rightarrow 零 . $

用序列 _ p _ 轉換序列 _ s _，共出加權平均，也就是號

$ t _ { m }={ \ frac { p _ { m } s _ { 零 } + p _ { m 影一 } s _ { 一 } + \ cdots + p _ { 零 } s _ { m } } { p _ { 零 } + p _ { 一 } + \ cdots + p _ { m } } } . $

當 _ m _ 較無散的時陣，_ tm _ 的極限準若有存在，愛講其實 _ s _ 的'Nørlund 平均抑是講Nørlund 和'Np ( _ s _ )，相應的講會當佮法講Nørlund 可和法。

Nørlund 會當佮法是全正則、線性、穩定的。予人驚疑的是，任意兩个 Nørlund 可和法攏是相容的。

切薩羅可和法

上特別的 Nørlund 可和法是切薩羅可和法。

考慮級數 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } a _ { n } $，記 $ s _ { n }=a _ { 一 } + \ cdots + a _ { n } $ 為伊的部份和，才閣記 $ t _ { n }={ \ frac { s _ { 一 } + \ cdots + s _ { n } } { n } } $。若是 $ t _ { n } \ rightarrow s $，則講這个級數的切薩羅和為 $ s $。這顯然是一个 Nørlund 可和法。

做推廣，號 _ pk _ 為

$ p _ { n } ^ { k }={ n + k 影一 \ choose k 影一 } . $

定義N( _ pk _ ) ( _ s _ ) 為著切薩羅和 _ C _ k ( _ s _ )，_ k _ 毋免總為整數。當 _ k _ ≥ 零時，切薩羅和嘛是 Nørlund 和，從而是全正則、線性、有穩定並且兩相容的。其中 _ C _ 零是定規的佮，_ C _ 一是經典的切薩羅佮。進一步的，若是_ h _ > _ k _，著 _ C _ h 強於 _ C _ k。

阿貝爾型可和法

假定 _ λ _={ _ λ _ 零 , _ λ _ 一 , _ λ _ 二 , . . . } 是嚴格遞增加較無窮的序列，並且 _ λ _ 零 ≥ 零。準若

$ f ( x )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } a _ { n } \ exp (-\ lambda _ { n } x ) $

著每一个實數 _ x _ >   零收斂，則定義其阿貝爾型平均/阿貝爾型可和法_ A _ λ 為

$ A _ { \ lambda } ( s )=\ lim _ { x \ rightarrow 零 ^ { + } } f ( x ) . $

閣較一般來講，若有級數 _ f _ 只對大的 _ x _ 收斂，毋過會當解破到逐个正實在 _ x _ 上，猶原會當寫講方式定義出相應的可和法。

這類的級數嘛被稱做廣義狄利克雷級數；佇物理應用中，這予人講做是熱核正則化方法。

阿貝爾型可和法是正則、線性的，毋過無穩定，並且兩个無仝款的阿貝爾型可和法嘛毋總是相容的。猶毋過，其中一寡會當佮法是足重要的。

阿貝爾爾有可能

若號 _ λ _ n=_ n _，就算著矣阿貝爾爾有可能。並且

$ f ( x )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } a _ { n } e ^ {-nx }=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } a _ { n } z ^ { n } , $

其中 _ z _  = exp ( − _ x _ )。因此當 _ x _ 正手較無注意，_ f _ ( _ x _ ) 彼足限恰為 _ z _ 左趨佇一時，冪級數 _ f _ ( _ z _ ) 的極限。所以阿貝爾和 _ A _ ( _ s _ ) 嘛會當定義做

$ A ( s )=\ lim _ { z \ rightarrow 一 ^ {-} } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } a _ { n } z ^ { n } . $

阿貝爾可佮法某一種意義上非常的趣味，因為伊和逐个切薩羅可和法相容閣較有力，即總有 _ A _ ( _ s _ )=_ C _ k ( _ s _ )，只要後者有定義。阿貝爾佮是正則、線性、穩定的，並且佮切薩羅可佮法相容。

林德勒夫可和法

若號 _ λ _ n=_ n _ log ( _ n _ )，就算著矣林德勒夫可和法（彼个指標對做伙）， 有

$ f ( x )=a _ { 一 } + a _ { 二 } 二 ^ { 鋪二 x } + a _ { 三 } 三 ^ { ma三 x } + \ cdots . $

所以 _ L _ ( _ s _ ) 抑是講林德勒夫佮（Volkov 兩千空一）， 是 _ x _ 正手較無注意 _ f _ ( _ x _ ) 的極限。林德勒夫和是非常有力的可和法，設死應用佇咧有正收斂半徑的冪級數頂頭，遐爾仔佇咧這冪的級數的米塔-列夫勒星的形域四界攏是會使和的。

準確仔講，若是 _ g _ ( _ z _ ) 是佇原點解析的解析函數，對而且有講甲誠收縮半徑麥克勞林級數，並且佇其米塔-列夫勒星的形域頂懸總有 _ L _ ( _ G _ ( _ z _ ) )=_ g _ ( _ z _ )。進一步的，_ L _ ( _ G _ ( _ z _ ) ) 佇這个星形域的逐个集牢牢齊勻收斂著 _ g _ ( _ z _ )。

解析延

有一寡會當佮法牽涉著對相關函數的解析延延的討論。

冪的數解析延拓

若是 Σ _ a _ n _ x _ n 對細的復 _ x _ 收斂，並且會當沿著某條路徑對 _ x _=  零延到位 _ x _=  一，則會當共級數的佮定義做延拓了後的函數佇咧 _ x _=  一處的值。這个值可能會依賴佇咧路草的選取。

歐拉可和法

歐拉可和法本質上是解析延拓的精確的形式。若一个冪的數嘿細的復 _ z _ 收斂，並且會當對半徑為 − 一 / _ q _   +   一的圓解析地延湠到半徑為一的圓上，而且佇咧 z=一位連紲，是這搭所在的值予人號做級數 _ a _ 零 +   . . . . 的歐拉佮抑是講 ( E , _ q _ ) 和。歐拉佇咧解析延延去予定義前普遍地應用這个概念，並且出了冪的數解析延拓的精確的形式。

歐拉轉換的操作會被重複上幾若擺，伊本質上等價於考慮冪級數佇咧 _ z _=  一搭的解析延拓。

狄利克雷級數的解析延拓

考慮狄利克雷的級數

$ f ( s )={ \ frac { a _ { 一 } } { 一 ^ { s } } } + { \ frac { a _ { 二 } } { 二 ^ { s } } } + { \ frac { a _ { 三 } } { 三 ^ { s } } } + \ cdots $

解析延到 _ s _=  零處的值，若存在便是唯一的，共其定義為相應級數的和便出一个會當和法。這會當佮法有當時仔會相仝 zeta 函數的正則化。

zeta 函數的正則化

若有級數

$ f ( s )={ \ frac { 一 } { a _ { 一 } ^ { s } } } + { \ frac { 一 } { a _ { 二 } ^ { s } } } + { \ frac { 一 } { a _ { 三 } ^ { s } } } + \ cdots $

( 對正港的 _ a _ n ) 對大的實在 _ s _ 收斂，並且會當沿實線解析地延到 _ s _= − 一，則伊佇 _ s _= − 一處的值被稱做級數 _ a _ 一   +   _ a _ 二 +   . . . 的 zeta 正則佮，這種廣義佮是非線性的。佇咧應用，_ a _ i 有時會是有絚分解的自伴算子 _ A _ 的特徵值，對而且 _ f _ ( _ s _ ) 是 _ A _ − _ s _ 的跡。比如講，若是 _ A _ 較有特徵值一 , 二 , 三 , . . . 著 _ f _ ( _ s _ ) 是黎曼 zeta 函數，_ ζ _ ( _ s _ ) 佇咧 _ s _= − 一處的值是 − 十二分之一，這為著咧發散級數一 + 二 + 三 + 四 +…指派著相應的和。其他的 _ s _ 處的值，嘛會當按呢予人理解做定義有相應的廣義佮，像講 _ ζ _ ( 零 )=一 + 一 + 一 + . . .=− 二分之一、_ ζ _ ( − 二 )=一 + 四 + 九 + . . .=零。一般來講，

$ \ zeta (-s )=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } n ^ { s }=一 ^ { s } + 二 ^ { s } + 三 ^ { s } + \ cdots=-{ \ frac { B _ { s + 一 } } { s + 一 } } \ , , $

其中 _ Bk _ 是伯仔拍拚數 .

因為整函數的可和法

若是 _ J _ ( _ x _ )  = Σ _ p _ n _ x _ n 是一个整函數，並且下述極限存在，則級數 _ a _ 零 +   . . . 的 _ J _ 佮予人定義做

$ \ lim _ { x \ rightarrow \ infty } { \ frac { \ sum _ { n } p _ { n } ( a _ { 零 } + \ cdots + a _ { n } ) x ^ { n } } { \ sum _ { n } p _ { n } x ^ { n } } } . $

佇一个變體下，_ J _ 相應的級數有限收斂半徑 _ r _ 並且佇咧 _ x _  =  _ r _ 四界湠。佇這種情形下嘛會當用如上方式定義相應的可和法，猶毋過欲將 _ x _ 因為無窮大替換做 _ x _（倒）趨於 _ r _。

波萊爾可和法

_ J _ ( _ x _ )  =  _ e _ x 這个特殊情形予出了 ( 弱 ) 波萊爾可和法。

Valiron 可和法

Valiron 會當佮法是波萊爾會當佮法佇一類閣較一般的整函數 _ J _ 上的推廣。Valiron 展示佇一定條件之下，伊等於將級數的定義做

$ \ lim _ { n \ rightarrow + \ infty } { \ sqrt { \ frac { H ( n ) } { 二 \ pi } } } \ sum _ { h \ in Z } e ^ {-{ \ frac { 一 } { 二 } } h ^ { 二 } H ( n ) } ( a _ { 零 } + \ cdots + a _ { h } ) $

其中 _ H _ 是 _ G _ 的二階導數，並且 _ c _ ( _ n _ )  =  _ e _ − _ G _ ( _ n _ )。

矩可佮法

_ dμ _ 是實數上的測度，並使著每一个矩

$ \ mu _ { n }=\ int x ^ { n } \ , d \ mu $

有限。若級數 _ a _ 零   +   _ a _ 一 +   . . . 予得

$ a ( x )={ \ frac { a _ { 零 } x ^ { 零 } } { \ mu _ { 零 } } } + { \ frac { a _ { 一 } x ^ { 一 } } { \ mu _ { 一 } } } + \ cdots $

著逐个 _ x _ 收斂，遐爾仔級數的 ( _ dμ _ ) 佮予人定義做積分

$ \ int a ( x ) \ , d \ mu $

的值，只要這个積分有定義。（注意著若是 _ μ _ n 增速過緊，則𪜶並袂當唯一決定測度 _ μ _。）

波萊爾可和法

譬如講若對正的 _ x _，_ dμ _  =  _ e _ − _ x _   _ dx _，對負的 _ x _ 為零，著 _ μ _ n =  _ n _ !。這个予出一種形式的波萊爾可和法，其中級數的佮為

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-t } \ sum { \ frac { a _ { n } t ^ { n } } { n ! } } \ , dt . $

會當對這是推廣出依賴於參詳 _ α _ 的可和法，這號做 ( B′ , _ α _ ) 和，其中級數 _ a _ 零 +   . . . 的佮予人定義做

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-t } \ sum { \ frac { a _ { n } t ^ { n \ alpha } } { \ Gamma ( n \ alpha + 一 ) } } \ , dt , $

只要這个積分存在。更加進一步的推廣將被積函數替換做自細漢的 _ t _ 起來解析開拓。

各類可和法

郝斯濟夫轉換

Hardy ( 一千九百四十九，chapter 十一 ) .

Hutton 可和法

Hutton 佇一八一二年，引入著一種發散級數的可和法，伊對部份和序列出發，重複執行將序列 _ s _ 零 ,   _ s _ 一 ,   . . . 替換做平均序列 _ s _ 零   +   _ s _ 二分之一 , _ s _ 一   +   _ s _ 二分之二 ,   . . . 的操作，閣取其極限。

（ Hardy 一千九百四十九，p . 二十一）

英厄姆會當和法

稱級數 _ a _ 一 +   . . . 英厄姆會當和到 _ s _，是講

$ \ lim _ { x \ rightarrow \ infty } \ sum _ { 一 \ leq n \ leq x } a _ { n } { \ frac { n } { x } } \ left [{ \ frac { x } { n } } \ right]=s . $

英厄姆證明矣若是取定 _ δ _ 為某一个正數，著 ( C , − _ δ _ ) ( 切薩羅 ) 會當佮性會當推出英厄姆會當佮性，並且英厄姆可和性閣會當推出 ( C , _ δ _ ) 可和性。

Hardy ( 一千九百四十九，Appendix II )

朗伯可和法

稱級數 _ a _ 一 +   . . . 朗伯會當和到 _ s _，是講

$ \ lim _ { y \ rightarrow 零 ^ { + } } \ sum _ { n \ geq 一 } a _ { n } { \ frac { nye ^ {-ny } } { 一-e ^ {-ny } } }=s . $

若級數對某一个 _ k _ 是 ( C , _ k _ ) ( 切薩羅 ) 可和的，則伊嘛朗伯仔會當和著相仝的值。若有級數是朗伯會當和的，則伊嘛阿貝爾會當佮到仝款的值。

Hardy ( 一千九百四十九，Appendix II )

Le Roy 可和法

稱級數 _ a _ 零 +   . . . Le Roy 可能佮到 _ s _，是講

$ \ lim _ { \ zeta \ rightarrow 一 ^ {-} } \ sum _ { n } { \ frac { \ Gamma ( 一 + \ zeta n ) } { \ Gamma ( 一 + n ) } } a _ { n }=s . $

Hardy ( 一千九百四十九，四配一一 )

米塔-列夫勒可和法

稱級數 _ a _ 零 +   . . . 米塔-列夫咧 ( M ) 可能佮到 _ s _，是講

$ \ lim _ { \ delta \ rightarrow 零 } \ sum _ { n } { \ frac { a _ { n } } { \ Gamma ( 一 + \ delta n ) } }=s . $

Hardy ( 一千九百四十九，四配一一 )

拉馬努金會當佮法

搝馬努金會當佮法是搝馬努金是對歐拉-麥克勞林求和公式給出的發散級數會當和法。級數 _ f _ ( 零 ) + _ f _ ( 一 ) + . . . 的拉馬努金佮毋但依賴佇咧 _ f _ 佇整數頂懸的取值，嘛依賴佇咧 _ f _ 佇其他非整數頂懸取締，所以伊並毋是咧通常意義下的可和法。

若指數母函數 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } a _ { n } e ^ {-nz } $ 的收斂區域非空，而且伊會當解析延拓做複數的平面上的亞純函數，伊的洛朗級數的零次係數就等於級數 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } a _ { n } $ 的拉馬努金佮。

比如講，有以下級數的拉馬努金佮：

$ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots=-{\ frac { 一 } { 十二 } } ( \ Re ) . $

$ 一 + 一 + 一 + 一 + \ cdots=-{ \ frac { 一 } { 二 } } ( \ Re ) . $

$ 一孵一 + 一孵一 + \ cdots={ \ frac { 一 } { 二 } } ( \ Re ) . $

黎曼可和法

稱級數 _ a _ 一   +   . . . ( R , _ k _ ) ( 或者是黎曼 ) 可能佮到 _ s _，是講

$ \ lim _ { h \ rightarrow 零 } \ sum _ { n } a _ { n } \ left ( { \ frac { \ sin nh } { nh } } \ right ) ^ { k }=s . $

Hardy ( 一千九百四十九，四配一七 ) 稱級數 _ a _ 一   +   . . . R 二可能和到 _ s _，是講

$ \ lim _ { h \ rightarrow 零 } { \ frac { 二 } { \ pi } } \ sum _ { n } { \ frac { \ sin ^ { 二 } nh } { n ^ { 二 } h } } ( a _ { 一 } + \ cdots + a _ { n } )=s . $

里斯可和法

若是 _ λ _ n 組成遞增的實數列，並且

$ A _ { \ lambda } ( x )=a _ { 零 } + \ cdots + a _ { n } { \ text { for } } \ lambda _ { n } < x \ leq \ lambda _ { n + 一 } $

則將級數 _ a _ 零 +   . . . 的里斯佮 ( R , _ λ _ , _ κ _ ) 定義做

$ \ lim _ { \ omega \ rightarrow \ infty } { \ frac { \ kappa } { \ omega ^ { \ kappa } } } \ int _ { 零 } ^ { \ omega } A _ { \ lambda } ( x ) ( \ omega-x ) ^ { \ kappa 影一 } \ , dx . $

Vallée-Poussin 可和法

稱級數 _ a _ 一 +   . . . VP ( 抑是 Vallée-Poussin ) 可能佮到 _ s _，是講

$ \ lim _ { m \ rightarrow \ infty } a _ { 零 } + a _ { 一 } { \ frac { m } { m + 一 } } + a _ { 二 } { \ frac { m ( m 影一 ) } { ( m + 一 ) ( m + 二 ) } } + \ cdots=s . $

Hardy ( 一千九百四十九，四配一七 ) .

參考文獻

• Arteca , G . A . ; Fernández , F . M . ; Castro , E . A . , Large-Order Perturbation Theory and Summation Methods in Quantum Mechanics , Berlin : Springer-Verlag , 一千九百九十   .
• Baker , Jr . , G . A . ; Graves-Morris , P . , Padé Approximants , Cambridge University Press , 九百九十六   .
• Brezinski , C . ; Zaglia , M . Redivo , Extrapolation Methods . Theory and Practice , North-Holland , 一千九百九十一   .
• Hardy , G . H . , Divergent Series , Oxford : Clarendon Press , 一千九百四十九   .
• LeGuillou , J .-C . ; Zinn-Justin , J . , Large-Order Behaviour of Perturbation Theory , Amsterdam : North-Holland , 一千九百九十   .
• Volkov , I . I . , Lindelöf summation method , Hazewinkel , Michiel ( 編 ) , 被鋪百科全鋪排，Springer , 兩千空一 , ISBN  九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四   .
• Zakharov , A . A . , Abel summation method , Hazewinkel , Michiel ( 編 ) , 被鋪百科全鋪排，Springer , 兩千空一 , ISBN  九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四   .
• Hazewinkel , Michiel ( 編 ) , Riesz summation method , 被鋪百科全鋪排，Springer , 兩千空一 , ISBN  九百七十八孵一一鋪五千六百空八鋪十跡四