克萊因四元群

數學上，克萊因（Klein）四元群，得名自菲利克斯 ・ 克萊因，是上細的非循環群。伊就是有四个元素，除單位元外其階均是二。

克萊因四元群通常以V表示（來自德文的四元群 _ Vierergruppe _）。 伊是阿貝爾群，仝款構於 $ \ mathbb { Z } / 二 \ mathbb { Z } \ times \ mathbb { Z } / 二 \ mathbb { Z } $，就是二階的循環群佮家己的直積。伊嘛仝款構佇咧四階的二面體群。

結構

若共克萊因為四元群記作 V={ 零 , _ e _ , _ f _ , _ g _ }，其運算做加法 " + "，若按呢以下為其運算表：

這運算講是對合的：∀ _ x _ ∈ _ V _ , _ x _ + _ x _=零。

克萊因為四元群會當擴展做有限域，這號做克萊因域，加入乘法為第二个運算，以零為零元，_ e _ 為單位元。乘法佮加法符合分配律。乘法表為：

克萊因四元群是下圖的圖自同構群。

$ { \ begin { matrix } \ circ \ ! \ !-\ ! \ ! \ circ \ \ \ circ \ ; \ ; \ circ \ \ \ end { matrix } } $

克萊因四元群三个階二的元之間的對稱性，會當對伊咧四點鐘的換表示看出來：

_ V _=< ( 一 , 二 ) ( 三 , 四 ) , ( 一 , 三 ) ( 二 , 四 ) , ( 一 , 四 ) ( 二 , 三 ) >

佇這表示內底，V 是交雜群 _ A _ 四的正規子群，嘛是四字母頂懸的對稱群 _ S _ 四的正規子群。根據伽羅瓦理論，克萊因四元群的存在，而且閣有這特別的表示，解說四擺方程會當用根式求解的原因。