聯絡(向量密)

佇咧數學中，纖維欉頂懸的一个聯絡是一个定義樹頂懸平行徙振動的裝置；得欲鄰近點連接抑是等價的一種方法。若纖維欉是向量欉，則平行徙動的概念要求線性。按呢的聯絡等等價於一个共變導數，共變導數是一个對截面關於底流形的切方向求微分的算子。聯絡佇這个意義下，對任意向量密密，推廣了金滑流形切線束的線性聯絡概念，定定號做線性聯絡。

向量欉頂的聯絡嘛定定號做科斯居爾聯絡，以上-路易・科斯居爾號名，伊予出著描述這个聯絡的一个代數框架（ Koszul 一千九百五十）。

形式定義

設 _ E _ → _ M _ 是金滑流形 _ M _ 光滑向量密。記 _ E _ 伊金滑截面的空間為啥物 Γ ( _ E _ )。_ E _ 頂一个聯絡是一个R-線性映射

$ \ nabla : \ Gamma ( E ) \ to \ Gamma ( E \ otimes T ^ { * } M ) , $

予得萊布尼茲法則

$ \ nabla ( \ sigma f )=( \ nabla \ sigma ) f + \ sigma \ otimes df $

著 _ M _ 上所有金滑函數 _ f _ 佮 _ E _ 伊所有較光滑全部 σ 成立。

若是 _ X _ 是 _ M _ 頂頭一个切向的量場（即切線束 _ TM _ 的一个全面），咱會當定義一个沿著 _ X _ 的共變導數：

$ \ nabla _ { X } : \ Gamma ( E ) \ to \ Gamma ( E ) $

通過縮並 _ X _ 佮聯絡 ∇ 中的共變指標（即 ∇Xσ=( ∇σ ) ( _ X _ )）。把它變導數滿足如下性質：

$ { \ begin { aligned } & \ nabla _ { X } ( \ sigma _ { 一 } + \ sigma _ { 二 } )=\ nabla _ { X } \ sigma _ { 一 } + \ nabla _ { X } \ sigma _ { 二 } \ \ & \ nabla _ { X _ { 一 } + X _ { 二 } } \ sigma=\ nabla _ { X _ { 一 } } \ sigma + \ nabla _ { X _ { 二 } } \ sigma \ \ & \ nabla _ { X } ( f \ sigma )=f \ nabla _ { X } \ sigma + X ( f ) \ sigma \ \ & \ nabla _ { fX } \ sigma=f \ nabla _ { X } \ sigma \ end { aligned } } . $

反之，任何滿足如何性質的算子定義 _ E _ 頂一个聯絡，聯絡佇這種意義下嘛叫做 _ E _ 上的共變導數。

向量值形式

設 _ E _ → _ M _ 是一个向量密密。一个 _ r _ 階 _ E _-值微分形式是張量積欉 _ E _ ⊗Λr _ T _ \ * _ M _ 的一个全面。這種形式的空間記作

$ \ Omega ^ { r } ( E )=\ Gamma ( E \ otimes \ Lambda ^ { r } T ^ { * } M ) . $

一个 _ E _-值零-形式就是 _ E _ 的一个全面，即

$ \ Omega ^ { 零 } ( E )=\ Gamma ( E ) . $

佇這種記法下底，_ E _ → _ M _ 頂一个聯絡是線性映射

$ \ nabla : \ Omega ^ { 零 } ( E ) \ to \ Omega ^ { 一 } ( E ) . $

按呢一个聯絡看做向量叢形式的外導數的推廣。事實上，予定 _ E _ 頂一个聯絡 ∇ 有惟一的一種方法將 ∇ 延拓做伙變外導數抑是稱外共變導數

$ d ^ { \ nabla } : \ Omega ^ { r } ( E ) \ to \ Omega ^ { r + 一 } ( E ) . $

無像通常的外導數，遮毋免有 ( _ d _ ∇ ) 二=零。事實上，( _ d _ ∇ ) 二佮聯絡 ∇ 的曲率直接相關，參見下跤。

仿射性質

任何向量欉頂懸攏有聯絡，但是聯絡毋是惟一的。若是 ∇ 一佮 ∇ 二是 _ E _ → _ M _ 頂兩个聯絡則𪜶的差是一个 _ C _ ∞-線性算子。即

$ ( \ nabla _ { 一 }-\ nabla _ { 二 } ) ( f \ sigma )=f ( \ nabla _ { 一 } \ sigma-\ nabla _ { 二 } \ sigma ) $

著 _ M _ 上所有金滑函數 _ f _ 佮 _ E _ 的所有的截面 σ 成立。對遐推出差 ∇ 一 − ∇ 二由 _ M _ 頂懸一个提值於自同態欉 End ( _ E _ )=_ E _ ⊗ _ E _ \ * 的一-形式唌導

$ ( \ nabla _ { 一 }-\ nabla _ { 二 } ) \ in \ Omega ^ { 一 } ( \ mathrm { End } \ , E ) . $

反之，若是 ∇ 是 _ E _ 頂一个聯絡而且 _ A _ 是 _ M _ 上取值為 End ( _ E _ ) 的一-形式，著 ∇ + _ A _ 是 _ E _ 頂一个聯絡。

嘛會使講，_ E _ 頂聯絡的空間是一个著 Ω 一 ( End _ E _ ) 的仿射空間。

佮主欉佮埃雷斯曼聯絡的關係

設 _ E _ → _ M _ 是一个秩 _ k _ 向量密，令 F ( _ E _ ) 是 _ E _ 的主標架仔欉。著 F ( _ E _ ) 頂一个（主）聯絡誘導矣 _ E _ 頂一个聯絡。首先注意著講 _ E _ 截面佮左等變映射 F ( _ E _ ) →Rk 一一對應（這由考慮 _ E _ 佇咧 F ( _ E _ ) → _ M _ 上的搝回會當看出來，和平凡欉仝款 F ( _ E _ ) ×Rk）。予定 _ E _ 的一个全面 σ，設對應的等變映射為 ψ ( σ )。著 _ E _ 上的共變導數由

$ \ psi ( \ nabla _ { X } \ sigma )=X ^ { H } ( \ psi ( \ sigma ) ) $

給出，遮 _ X _ H 是 _ X _ 的水平提升（想著講水平提升由 F ( _ E _ ) 頂一个聯絡確定）。

反之，_ E _ 頂一个聯絡確定矣 F ( _ E _ ) 頂一个聯絡，而且這兩个構造是互逆的。

_ E _ 頂一个聯絡嘛等等的價數由 _ E _ 頂一个線性埃雷斯曼聯絡確定。這提供了構造相關的主聯絡的一个方法。

局部表示

設 _ E _ → _ M _ 是一个秩 _ k _ 向量密，令 _ U _ 是 _ M _ 的一个開子集會當予 _ E _ 佇咧 _ U _ 上平凡。予定 _ E _ 佇咧 _ U _ 等一个局部較滑標的 ( _ e _ 一 ,…, _ e _ k )，_ E _ 任何截面 σ 可寫講 $ \ sigma=\ sigma ^ { \ alpha } e _ { \ alpha } $（使用愛因斯坦記號）。遐爾 _ E _ 頂一个聯絡限制佇咧 _ U _ 上有形式：

$ \ nabla \ sigma=( \ mathrm { d } \ sigma ^ { \ alpha } + { \ omega ^ { \ alpha } } _ { \ beta } \ sigma ^ { \ beta } ) e _ { \ alpha } , $

遮

$ { \ omega ^ { \ alpha } } _ { \ beta } \ , e _ { \ alpha }=\ nabla e _ { \ beta } . $

遮 ωαβ 定義一个 _ k _ × _ k _ 矩陣，矩陣元取值為 _ U _ 上的一-形式。事實上，予定任何如何形式的矩陣定義矣 _ E _ 限制佇咧 _ U _ 頂一个聯絡。這是因為 ωαβ 確定一个一个-形式 ω 攏值得 End ( _ E _ )，這个表達式定義 ∇ 為聯絡 d + ω，遮 d 是 _ E _ 佇咧 _ U _ 上的平凡聯絡（定義為用局部標架對截面微分）。佇咧這个情景下 ω 嘛叫做 ∇ 關於這个局部標架的聯絡形式。

若是 _ U _ 是一个有坐標 ( _ x _ i ) 坐標鄰域，則咱會當寫做

$ { \ omega ^ { \ alpha } } _ { \ beta }={ { \ omega _ { i } } ^ { \ alpha } } _ { \ beta } \ , \ mathrm { d } x ^ { i } . $

注意坐標佮纖維的指標佇咧表達式當中濫做伙。係數函數 ωiαβ 嘿指標 _ i _ 具有張量性（𪜶定義一个一个-形式）但是對指標 α 佮 β 毋是呢。對纖維的指標的轉換法則更加複雜。設 ( _ f _ 一 ,…, _ f _ k ) 是 _ U _ 最另外一个光滑局部標架，欲坐標轉換矩陣記作 _ t _（即 _ f _ α=_ e _ β _ t _ βα）。關於標架 ( _ f _ α ) 的聯絡矩陣由矩陣表達式予出

$ \ varpi=t ^ { 影一 } \ omega t + t ^ { 影一 } \ mathrm { d } t , $

遮 d _ t _ 是嘿 _ t _ 的分量取外導數得著的一-形式矩陣。

現局部坐標中關於這个局部標隔場 ( _ e _ α ) 的共變導數由如下表達式予出：

$ \ nabla _ { X } \ sigma=X ^ { i } ( \ partial _ { i } \ , \ sigma ^ { \ alpha } + { { \ omega _ { i } } ^ { \ alpha } } _ { \ beta } \ sigma ^ { \ beta } ) e _ { \ alpha } . $

平行徙佮和樂

向量密 _ E _ → _ M _ 頂一个聯絡 ∇ 定義矣 _ E _ 頂沿 _ M _ 伊的一條曲線平行徙動概念。設 γ : [零 , 一] → _ M _ 是 _ M _ 頂一條金滑的道路。_ E _ 的沿著 γ 的一个全面 σ 這號做平行，若是

$ \ nabla _ { { \ dot { \ gamma } } ( t ) } \ sigma=零 $

嘿所有 _ t _ ∈ [零 , 一] 成立。閣形式地，咱會當考慮講 _ E _ 通過 γ 搝回 γ \ * _ E _。這是 [零 , 一] 上佇咧 _ t _ ∈ [零 , 一] 處纖維為著 _ E _ γ ( _ t _ ) 的纖維欉。_ E _ 上的聯絡 ∇ 搝轉來到 γ \ * _ E _ 頂一个聯絡。γ \ * _ E _ 的一个全面 σ 平行若而且唯一 γ \ * ∇ ( σ )=零 .

準講 γ 佇咧 _ M _ 對中 _ x _ 到 _ y _。如上定義平行全面的等式是一坎站攏微分方程式顛倒對任何可能的初初條件有惟一解。即對任何向量 _ v _ 屬於 _ E _ x 存在 γ \ * _ E _ 的惟一平行全面 σ 滿足 σ ( 零 )=_ v _。定義平行徙振動映射

$ \ tau _ { \ gamma } : E _ { x } \ to E _ { y } \ , $

為 τγ ( _ v _ )=σ ( 一 )。會當證明 τγ 是一个線性同構。

平行徙振動會使用來定義聯絡 ∇ 以 _ M _ 較中咧 _ x _ 為基點的和樂群。這是 GL ( _ E _ x ) 的一个子群，因為沿著基於 _ x _ 環路的所有平行徙振動映射組成：

$ \ mathrm { Hol } _ { x }=\ { \ tau _ { \ gamma } : \ gamma $ 是一个是對 _ x _ 的環路 $ \ } . $

一个聯絡的和樂群本質上佮這个聯絡的曲率相關。

曲率

_ E _ → _ M _ 頂頭聯絡 ∇ 的曲率是一个 _ M _ 上二-形式 _ F _ ∇，攏值得自仝款 End ( _ E _ )=_ E _ ⊗ _ E _ \ *，即

$ F ^ { \ nabla } \ in \ Omega ^ { 二 } ( \ mathrm { End } \ , E )=\ Gamma ( \ mathrm { End } \ , E \ otimes \ Lambda ^ { 二 } T ^ { * } M ) . $

曲率定義為表達式

$ F ^ { \ nabla } ( X , Y ) ( s )=\ nabla _ { X } \ nabla _ { Y } s-\ nabla _ { Y } \ nabla _ { X } s-\ nabla _ { [X , Y] } s , $

遮 _ X _ 佮 _ Y _ 是 _ M _ 上的切向量場，_ s _ 是 _ E _ 的一个全面。會當驗證 _ F _ ∇ 著 _ X _ 佮 _ Y _ 攏是 _ C _ ∞-線性的，對咧確實定義一个 _ E _ 彼个仝款。

正如頂懸咧講的，把它變成外導數 _ d _ ∇ 作用佇 _ E _ 值形式的平方毋免是零。毋管按怎算 ( _ d _ ∇ ) 二嚴格有張量性（即 _ C _ ∞-線性）。這意味著伊因為一个提值於 End ( _ E _ ) 的二-形式唌導，這兩-形式拄好就是若上予出的曲率形式。著一个 _ E _-值形式 σ 阮有

$ ( d ^ { \ nabla } ) ^ { 二 } \ sigma=F ^ { \ nabla } \ wedge \ sigma . $

一个平坦聯絡是曲率形式恆等於零的聯絡。

例

經典共變導數抑是仿射聯絡佇咧 _ M _ 的切線束頂懸，抑是閣較一般咧切線束佮尻川䫌切密的張量密頂懸，定義一个聯絡。
勒維奇維塔聯絡是黎曼流形的切線束頂一个聯絡。
外導數是 _ E _=_ M _ ×Rn（_ M _ 上平凡向量密）頂一个平坦聯絡。
閣較一般，在任何平坦向量密（即所有轉移函數是常數）上有一个典範平坦聯絡，由在任何平凡化下跤的外導數共出。

參考文獻

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