克羅內克δ函數
佇咧數學中，克羅內克函數（閣稱克羅內克 δ 函數、克羅內克 δ）$ \ delta _ { ij } \ , \ ! $ 是一个二箍函數，著名佇德國數學家利奧波德 ・ 克羅內克。克羅內克函數的自變量（輸入值）一般是兩个整數，若是兩个攏相等，著其實輸出值為一，抑無替零。
- $ \ delta _ { ij }=\ left \ { { \ begin { matrix } 一 & ( i=j ) \ \ 零 & ( i \ neq j ) \ end { matrix } } \ right . \ , \ ! $。
克羅內克函數的值一般簡寫為 $ \ delta _ { ij } \ , \ ! $。
克羅內克函數佮狄拉克 δ 函數攏使用 δ 做符號，但是克羅內克 δ 用的時陣𤆬兩下標，狄拉克 δ 函數則干焦一个變量。
其他記法
另外一種標記方法是使用艾佛森括號（著名佇肯尼斯 ・ 艾佛森）：
- $ \ delta _ { ij }=[i=j] \ , \ ! $。
同時，做一个變量做零時仔，定定會予人略去，記號變做 $ \ delta _ { i } \ , \ ! $：
- $ \ delta _ { i }=\ left \ { { \ begin { matrix } 一 , & { \ mbox { if } } i=零 \ \ 零 , & { \ mbox { if } } i \ neq 零 \ end { matrix } } \ right . \ , \ ! $。
佇線性代數內底，克羅內克函數會當予人看做一个張量，寫作 $ \ delta _ { j } ^ { i } \ , \ ! $。
數位訊號處理
類似的，佇數位訊號處理中，佮克羅內克函數等等的概念是變量做 $ \ mathbb { Z } \ , \ ! $ ( 整數 ) 的函數：
$ \ delta [n]={ \ begin { cases } 一 , & n=零 \ \ 零 , & n \ neq 零 \ end { cases } } \ , \ ! $。
這个函數代表著一个 _ 衝激 _ 抑是 _ 單位衝激 _。做一个數字處理單元的輸入做單位衝激的時陣，輸出的函數被稱做此單元的衝激響應。
性質
克羅內克函數有篩選性：對任意 $ j \ in \ mathbb { Z } \ , \ ! $：
- $ \ sum _ { i=-\ infty } ^ { \ infty } \ delta _ { ij } a _ { i }=a _ { j } \ , \ ! $。
若共整數看做一个裝備矣計數測度的測度空間，遐爾仔這个性質佮狄拉克 δ 函數的定義是仝款的：
- $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } \ delta ( x-y ) f ( x ) dx=f ( y ) \ , \ ! $。
實際上，狄拉克 δ 函數是根據克羅內克函數提名的。佇信號咧處理中，兩者是仝一个概念佇咧無仝的頂下文中的表現。一般設定 $ \ delta ( t ) \ , \ , \ ! $ 為連紲的狀況（狄拉克函數）， 咧使用 _ i _ , _ j _ , _ k _ , _ l _ , _ m _ , and _ n _ 等變量一般是咱離散的情形下（克羅內克函數）。
線性代數中的應用
佇線性代數內底，單位矩陣會當寫作 $ ( \ delta _ { ij } ) _ { i , j=一 } ^ { n } \ , \ ! $。
咧看做是張量的時陣（克羅內克的張量）， 會當寫作 $ \ delta _ { j } ^ { i } \ , \ ! $。
這乎 ( 一 , 一 ) 向量表示 :
- 做為線性映射的單位矩陣。
- 影跡。
- 內積 $ V ^ { * } \ otimes V \ to K \ , \ ! $。
- 映射 $ K \ to V ^ { * } \ otimes V \ , \ ! $，將數量乘積表示為外積的形式。
廣義克羅內克函數
定義廣義克羅內克函數為 $ n \ times n \ , \ ! $ 矩陣的行列式，用方程式去表達為
- $ \ delta _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } ^ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } }={ \ begin { bmatrix } \ delta _ { i _ { 一 } } ^ { j _ { 一 } } \ delta _ { i _ { 二 } } ^ { j _ { 一 } } & \ cdots & \ delta _ { i _ { n } } ^ { j _ { 一 } } \ \ \ delta _ { i _ { 一 } } ^ { j _ { 二 } } \ delta _ { i _ { 二 } } ^ { j _ { 二 } } & \ cdots & \ delta _ { i _ { n } } ^ { j _ { 二 } } \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ \ delta _ { i _ { 一 } } ^ { j _ { n } } \ delta _ { i _ { 二 } } ^ { j _ { n } } & \ cdots & \ delta _ { i _ { n } } ^ { j _ { n } } \ \ \ end { bmatrix } } \ , \ ! $；
其中，$ \ delta _ { j } ^ { i } \ , \ ! $ 是一个張量函數，定義做 $ \ delta _ { j } ^ { i } \ { \ stackrel { def } {=} } \ \ delta _ { ij } \ , \ ! $。
以下列出牽涉廣義克羅內克函數的一寡恆等式：
- $ \ delta _ { imn } ^ { ijk }=\ delta _ { mn } ^ { jk }=\ delta _ { m } ^ { j } \ delta _ { n } ^ { k }-\ delta _ { n } ^ { j } \ delta _ { m } ^ { k } \ , \ ! $。
- $ \ delta _ { ijm } ^ { ijk }=二 \ delta _ { m } ^ { k } \ , \ ! $。
- $ \ delta _ { ijk } ^ { ijk }=六 \ , \ ! $。
- $ \ delta _ { lmn } ^ { ijk }=\ epsilon ^ { ijk } \ epsilon _ { lmn } \ , \ ! $；
- 其中，$ \ epsilon ^ { ijk } \ , \ ! $ 和 $ \ epsilon _ { lmn } \ , \ ! $ 是列維-奇維塔符號。
- $ \ delta _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } ^ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } }=\ epsilon ^ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } } \ epsilon _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } \ , \ ! $。
- $ \ delta _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } ^ { 十二 \ dots n }=\ epsilon _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } \ , \ ! $。
- $ \ delta _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } ^ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } } T _ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } }=n ! \ T _ { i _ { 一 } i _ { 二 } \ dots i _ { n } } \ , \ ! $；
其中，$ T _ { j _ { 一 } j _ { 二 } \ dots j _ { n } } \ , \ ! $ 是 $ n \ , \ ! $ 階張量。
積分表示
對任意的整數 $ n \ , \ ! $，運用標準的留數計算，會當將克羅內克函數表示成積的形式：
- $ \ delta _ { x , n }={ \ frac { 一 } { 二 \ pi i } } \ oint z ^ { x-n 影一 } dz \ , \ ! $；
其中積分的路徑是圍咧零點逆時針進行。
這个表示方式佮下跤的另外一形式等價：
- $ \ delta _ { x , n }={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } e ^ { i ( x-n ) \ varphi } d \ varphi \ , \ ! $。
參見
- 列維-奇維塔符號
- 狄拉克的測度
- 同抑是門