李亞普諾夫指數

佇數學領域內底，李亞普諾夫指數（Lyapunov exponent）抑是李亞普諾夫特徵指數（Lyapunov characteristic exponent）用佇咧量化動力系統當中無限接近的軌跡之間的分離率。具體來講，相空間先閬時 $ \ delta \ mathbf { Z } _ { 零 } $ 的兩條軌跡的分離率做（假定分離可照線性近來處理）

$ | \ delta \ mathbf { Z } ( t ) | \ approx e ^ { \ lambda t } | \ delta \ mathbf { Z } _ { 零 } | \ , $

其中 $ \ lambda $ 就算講李亞普諾夫指數。

當初開始分離量的方向無仝時陣，其分離率嘛無仝。因為佇咧李亞普諾夫指數譜（spectrum of Lyapunov exponents），其數量佮相空間的維度相仝。通常共這內底上大的稱做上大李亞普諾夫指數（Maximal Lyapunov exponent，簡稱 MLE），因為伊決定了動力系統的會當預測性。正的 MLE 通常表明系統是混合的（假定其他的條件滿足，若相空間的緊緻性）。需要注意的是，任意初始分離向量一般包括了 MLE 所在向的部份量，因為其隨指數增長的特徵，其他的分量的效果綴時間終其他會使掩崁。

李亞普諾夫指數是以俄羅斯數學家亞歷山大・李亞普諾夫的名號的。

上大李亞普諾夫指數

上大李亞普諾夫指數定義做

$ \ lambda=\ lim _ { t \ to \ infty } \ lim _ { \ delta \ mathbf { Z } _ { 零 } \ to 零 } { \ frac { 一 } { t } } \ ln { \ frac { | \ delta \ mathbf { Z } ( t ) | } { | \ delta \ mathbf { Z } _ { 零 } | } } . $

極限 $ \ delta \ mathbf { Z } _ { 零 } \ to 零 $ 確保任何時間線性近來親像可行性。

著離散時間系統（迵天）$ x _ { n + 一 }=f ( x _ { n } ) $ 佮以 $ x _ { 零 } $ 為起始的跤跡，上式會當轉做

$ \ lambda ( x _ { 零 } )=\ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { 一 } { n } } \ sum _ { i=零 } ^ { n 影一 } \ ln | f'( x _ { i } ) | . $

參考文獻

Cvitanović P . , Artuso R . , Mainieri R . , Tanner G . and Vattay G . Chaos : Classical and Quantum Niels Bohr Institute , Copenhagen 兩千空五–_ textbook about chaos available under Free Documentation License _
Freddy Christiansen and Hans Henrik Rugh . Computing Lyapunov spectra with continuous Gram–Schmidt orthonormalization . Nonlinearity . 一千九百九十七 ,十( 五 ) : 一千空六十三–一千空七十二 . Bibcode : 一千九百九十七 Nonli . . 十曉一空六三 C . doi : 十 . 九百五十一分之一千空八十八-十分之七千七百一十五 / 四分之五 .（原始內容存檔佇兩千空六五四四配二十五）.
Salman Habib and Robert D . Ryne . Symplectic Calculation of Lyapunov Exponents . Physical Review Letters . 一千九百九十五 ,七十四( 一 ) : 七十–七十三 . Bibcode : 一千九百九十五 PhRvL . . 七十四 . . . 七十 H . PMID 一千空五五鋪七千七百空一 . arXiv : chao-dyn / 九百四十五空六千空一十   . doi : 十二一一空三 / PhysRevLett . 七十四抹七空 .
Govindan Rangarajan , Salman Habib , and Robert D . Ryne . Lyapunov Exponents without Rescaling and Reorthogonalization . Physical Review Letters . 一千九百九十八 ,八十( 十七 ) : 三千七百四十七–三千七仔五 . Bibcode : 一千九百九十八 PhRvL . . 八十五三七四七 R . arXiv : chao-dyn / 九百八十五空三千空一十七   . doi : 十二一一空三 / PhysRevLett . 八十五三七四七 .
X . Zeng , R . Eykholt , and R . A . Pielke . Estimating the Lyapunov-exponent spectrum from short time series of low precision . Physical Review Letters . 一千九百九十一 ,六十六( 二十五 ) : 三千兩百二十九–三千兩百三十二 . Bibcode : 一千九百九十一 PhRvL . . 六十六孵三二二九 Z . PMID 一千空四抹三千七百三十四 . doi : 十二一一空三 / PhysRevLett . 六十六孵三二二九 .
E Aurell , G Boffetta , A Crisanti , G Paladin and A Vulpiani . Predictability in the large : an extension of the concept of Lyapunov exponent . J . Phys . A : Math . Gen . 一千九百九十七 ,三十( 一 ) : 一–二十六 . Bibcode : 一千九百九十七 JPhA . . . 三十 . . . . 一 A . doi : 十 . 三百空五分之一千空八十八-三十分之四千四百七十 / 三分之一 .
F Ginelli , P Poggi , A Turchi , H Chaté , R Livi , A Politi . Characterizing Dynamics with Covariant Lyapunov Vectors ( PDF ) . Physical Review Letters . 兩千空七 ,九十九( 十三 ) : 十三抹空六百空一 [二千空一十四抹十一孵九] . Bibcode : 兩千空七 PhRvL . . 九十九 m 六百空一 G . PMID 一千七百九十三鋪空五百七十 . arXiv : 七百空六鼻空五一空   . doi : 十二一一空三 / PhysRevLett . 九十九九九一三空六空一 .（原始的內容 ( PDF ) 存檔佇二千空八堵十五三十一）.