LOCC

LOCC是 Local Operations（局域操作）and Classical Communications（古典通訊）的縮寫，伊是一種用佇咧量仔的資訊頂懸、對量仔態進行操作的方法。簡單的講，當一个量子系統予人分做真濟部份，每一个部份的測量佮操作干焦限制佇該部份上，各部份之間允准古典通訊，比如講：敲電話。真濟量子資訊的工課著愛藉著LOCC來完成，比如講：假設某次實驗室製造一个貝爾態，但是咧煞袂當確定這个貝爾態是 $ | \ psi _ { 一 } \ rangle $ 抑是 $ | \ psi _ { 二 } \ rangle $，其中 $ | \ psi _ { 一 } \ rangle $ 和 $ | \ psi _ { 二 } \ rangle $ 是

$ | \ psi _ { 一 } \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } \ left ( | 零 \ rangle _ { A } \ otimes | 零 \ rangle _ { B } + | 一 \ rangle _ { A } \ otimes | 一 \ rangle _ { B } \ right ) $

$ | \ psi _ { 二 } \ rangle={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } \ left ( | 零 \ rangle _ { A } \ otimes | 一 \ rangle _ { B } + | 一 \ rangle _ { A } \ otimes | 零 \ rangle _ { B } \ right ) $

A 和 B 兩个量子位元是分隔兩地的，並且由 _ 愛麗絲 _ 嘿量子位元 A 進行操作，由 _ 鮑榮 _ 嘿量子位元 B 進行操作。首先 _ 愛麗絲 _ 測量子位元 A 並得著結果零，這个時陣咱猶毋知影當初實驗室製備的貝爾態是 $ | \ psi _ { 一 } \ rangle $ 抑是 $ | \ psi _ { 二 } \ rangle $。這个時陣 _ 愛麗絲 _ 共敲電話敲落去共結果講 _ 鮑榮 _，接咧 _ 鮑榮 _ 嘿量子位元 B 進行測量並得著結果零，這馬乎 _ 鮑榮 _ 著愛知影波函式塌起來 $ | 零 \ rangle _ { A } \ otimes | 零 \ rangle _ { B } $，所以捒甲實驗室製備的貝爾態是 $ | \ psi _ { 一 } \ rangle $。

交纏改換

將一个量子系統分做兩部份，利用LOCC操作，共一个交纏態轉換做另外一个交纏態。 比如講：_ 愛麗絲 _ 和 _ 鮑榮 _ 分別有一个交纏態 ( 純態 ) 的一部份，比如講 $ { \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 } } } ( \ mid \ uparrow \ downarrow \ rangle-\ mid \ downarrow \ uparrow \ rangle ) $。_ 愛麗絲 _ 和 _ 鮑榮 _ 攏干焦會當對各自旋進行來操作，也就是講 Local Operation 的意思。當然這操作嘛包含測量，當 _ 愛麗絲 _ 進行 Sz 的測量了後，得著本徵值 + ħ / 二，波函式塌做 $ \ mid \ uparrow \ downarrow \ rangle $，然後 _ 愛麗絲 _ 透過電話來講 _ 鮑榮 _ 結果，這就是 Classical Communications，_ 鮑榮 _ 知影講結果後壁嘛相應做一个 Local Operation，這馬乎 _ 鮑榮 _ 做 σx 操作，所以波函式變做 $ \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle $。若頭拄仔 _ 愛麗絲 _ 測了本徵值-ħ / 二，波函式塌做 $ \ mid \ downarrow \ uparrow \ rangle $，著 _ 愛麗絲 _ 隨進行 σx 操作，然後經過電話共 _ 鮑榮 _，要求 _ 鮑榮 _ 無做任何操作，結果猶原會當波函式透過利用 LOCC 轉換做 $ \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle $。

顯然利用 LOCC 共某一个態 $ | \ psi \ rangle $ 轉換做 $ | \ phi \ rangle $，A 佮 B 之間的交纏只會當變細抑是維持無變。但是並毋是講只要 $ | \ phi \ rangle $ 的交纏比 $ | \ psi \ rangle $ 的交纏猶閣細漢就一定會當透過 LOCC 作轉換。欲判斷會當轉無，首先，會當共 $ | \ psi \ rangle $ 和 $ | \ phi \ rangle $ 分別做施密特分解：

$ | \ psi \ rangle=\ sum _ { i=一 } ^ { D } { \ sqrt { \ omega _ { i } } } | a _ { i } \ rangle | b _ { i } \ rangle $

$ | \ phi \ rangle=\ sum _ { i=一 } ^ { D } { \ sqrt { \ omega _ { i }'} } | a _ { i }'\ rangle | b _ { i }'\ rangle $

將 Schmidt 值得大至細排列然後進行較。尼爾森 ( Nielsen ) 佇一九九九年提出定理 :

: 若是 Majorization

$ \ sum _ { i=一 } ^ { k } \ omega _ { i } \ leq \ sum _ { i=一 } ^ { k } \ omega _ { i }'$ ,

對所有 $ k $ 攏成立，著 $ | \ psi \ rangle $ 通利用 LOCC 轉換做 $ | \ phi \ rangle $。

毋過若欲講條件無成立，並無表示 LOCC 轉換必定無成立。若會使引入催化態，LOCC 轉換猶有可能的。

催化轉換

Jonathan 和 Plenio 佇尼爾森定理發表無偌久就予出一个催化轉換的例：考慮

$ | \ psi \ rangle={ \ sqrt { 空七四 } } | 零 \ rangle + { \ sqrt { 空七四 } } | 十一 \ rangle + { \ sqrt { 空七一 } } | 二十二 \ rangle + { \ sqrt { 空七一 } } | 三十三 \ rangle $

$ | \ phi \ rangle={ \ sqrt { 空七五 } } | 零 \ rangle + { \ sqrt { 空九二五 } } | 十一 \ rangle + { \ sqrt { 空九二五 } } | 二十二 \ rangle $

$ | c \ rangle={ \ sqrt { 空七六 } } \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空七四 } } \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle $

以上三个態已經過施密特分解而且係數攏由大至細排列，以下來進行 $ | \ psi \ rangle $ 和 $ | \ phi \ rangle $ 驗算是係數的進前 $ k $ 項之佮：

: :

以上表格中，若是「$ | \ psi \ rangle $ 的前 $ k $ 項之佮」比「$ | \ phi \ rangle $ 的前 $ k $ 項之佮」若細，坉去綠色；若大，坉入去紅色的；相等則是留下白色。按呢喔一來，觀察 $ k $ 方向的色水便一目矣然後。若所有的色緻攏為綠色，是表示講 $ | \ psi \ rangle $ 可經由 LOCC 轉換做 $ | \ phi \ rangle $；若所有的色緻攏為紅的，是表示講 $ | \ phi \ rangle $ 可經由 LOCC 轉換做 $ | \ psi \ rangle $；若色水有青閣青，則說明若無催化態便不可轉換。

彼啥物是「催化轉換」和「催化態」咧？阮考慮直積態 $ | \ psi \ rangle | c \ rangle $ 和 $ | \ phi \ rangle | c \ rangle $：

$ { \ begin { aligned } | \ psi \ rangle | c \ rangle &={ \ sqrt { 空九二四 } } | 零 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空九二四 } } | 十一 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空七一六 } } | 零 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + { \ sqrt { 空七一六 } } | 十一 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle \ \ & + { \ sqrt { 空九空六 } } | 二十二 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空九空六 } } | 三十三 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空九空四 } } | 二十二 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + { \ sqrt { 空九空四 } } | 三十三 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle \ end { aligned } } $

$ { \ begin { aligned } | \ phi \ rangle | c \ rangle &={ \ sqrt { 空九三空 } } | 零 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空九二空 } } | 零 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + { \ sqrt { 空七一五 } } | 十一 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle + { \ sqrt { 空七一五 } } | 二十二 \ rangle \ mid \ uparrow \ uparrow \ rangle \ \ & + { \ sqrt { 空七一空 } } | 十一 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle + { \ sqrt { 空七一空 } } | 二十二 \ rangle \ mid \ downarrow \ downarrow \ rangle \ end { aligned } } $

以上各項已經按照由大至小排列，紲落來仝款做製作表格算前 $ k $ 項之佮：

: :

表格做完馬上看出所有色緻攏為綠色，所以根據尼爾森定理，$ | \ psi \ rangle | c \ rangle $ 透過 LOCC 轉換做 $ | \ phi \ rangle | c \ rangle $ 會用得。因為 $ | c \ rangle $ 干焦對直積態中直接加入然後換好勢畢便會當提走，足成化學反應中的催化劑，因此會使講 $ | c \ rangle $ 是催化態。

塔庫定理

二空空七年塔庫（Turgut）證明矣定理