線性非常時變系統理論

線性非常時變系統理論俗稱LTI 系統理論，源自應用數學，直接佇核磁共振頻譜學、地動學、電路、信號處理佮控制理論遮的技術領域運用。伊研究的是線性、煞變系統對任意輸入信號的響應。雖然遮的系統的跤跡通常會綴時間咧變化（比如講聲學波形）來測量佮跟蹤，毋過應用著圖像處理佮場論的時陣，LTI 系統佇空間維度上也有影跡。所以，𪜶遮的系統攏予人叫做 _ 線性非常時變平移 _，佇上一般的範圍理論來做按呢的理論。咧離散（即採樣）系統內底對應的術語是啥貨 _ 線性非常時變平移系統 _。由電阻、電容、電感組成的電路是 LTI 系統的一个足好的例。

概述

顧名思義就著矣，線性非常時變系統著愛同時滿足線性和非常變性：

• 線性，指系統的輸入佮輸出之間的關係是一个線性映射：若輸入 $ x _ { 一 } ( t ) \ , $ 產生響應 $ y _ { 一 } ( t ) \ , $，輸入 $ x _ { 二 } ( t ) \ , $ 產生響應 $ y _ { 二 } ( t ) \ , $，遐爾 _ 放縮 _ 和 _ 加和 _ 輸入 $ a _ { 一 } x _ { 一 } ( t ) + a _ { 二 } x _ { 二 } ( t ) \ , $ 產生放縮、加和的響應 $ a _ { 一 } y _ { 一 } ( t ) + a _ { 二 } y _ { 二 } ( t ) \ , $，其中 $ a _ { 一 } $ 和 $ a _ { 二 } $ 為實純量。此性質會當拓展到任意項，所以對這个實數 $ c _ { 一 } , c _ { 二 } , \ ldots , c _ { k } $，

: 輸入 $ \ sum _ { k } c _ { k } \ , x _ { k } ( t ) $ 產生輸出 $ \ sum _ { k } c _ { k } \ , y _ { k } ( t ) . \ , $

特別地，

:

其中，$ c _ { \ omega } $ 和 $ x _ { \ omega } $ 是純量，啊輸入佇序號做 $ \ omega $ 的連紲統內變化。所以，若輸入函數會當由一个連續統的輸入函數像頂面展示的彼款，「 線性」組合來成，則對應的輸出函數，會當通過相應連紲統的輸出函數以仝款的方式 _ 縮放 _ 和 _ 求和 _ 得著。

• 非常變性，指若是共系統的輸入信號延遲 $ \ tau $ 秒，彼細漢得著的輸出除了這 $ \ tau $ 隨延時以外是完全仝款的，講這款的系統是「非時變」的。就若系統輸入 $ x ( t ) $，對應的輸出為 $ y ( t ) $，是輸入為 $ x ( t + \ tau ) $ 時系統的輸出為 $ y ( t + \ tau ) $。

LTI 系統的彼个理論的基本結論是任何 LTI 系統攏會當完全用一个單一方程來表示，號做系統的衝激響應。系統的輸出會當簡單表示為輸入信號佮系統的衝激響應的卷積。這種分析的方法通常會叫做 _ 時域 _ 觀點。仝款的結果對離散時間線性移位無變系統嘛成立，其中的信號做離散時間取樣信號，並且卷積對序列定義。

同理，任何 LTI 系統的特徵會當由 _ 頻域 _ 的系統傳遞函數刻畫，伊是系統衝激響應的拉普拉斯變換（佇離散的時間系統內底的情形底 Z 變換）。 因為遮的變換的性質，該系統佇頻域的輸出是傳遞函數佮輸入的變換的乘積。嘛會使講，時域中的卷積等於頻域中的乘法。

對所有的 LTI 系統當中，本徵函數佮所用變換的基函數，是復指數函數。這馬是講，若是一个系統的輸入是復波形 $ Ae ^ { st } $，復振幅為 $ A $，復頻率為 $ s $，輸出將是輸入的復常數倍，表示講新復振幅 $ B $ 的式 $ Be ^ { st } $。比值 $ B / A $ 是頻率 $ s $ 的傳遞函數。

因為是正弦的復指數佮復共車頻率的總和，若輸入到該系統是一个正弦波，則系統的輸出嘛將是一个正弦波，凡勢有無仝振幅佮無仝相位的，但是總是仝款的頻率達到穩定狀態。LTI 系統袂當產生頻率成分中無的輸入。

LTI 系統理論誠𠢕描述真濟重要的系統。至少相對時間變化的參 / 抑是非線性的情形下上 LTI 系統予人認為是「容易」來分析。任何會當予模擬做常係數線性齊次微分方程系統是 LTI 系統。這類系統的實例是電路由電阻器 R，電感 L 佮電容器 C（RLC 電路）的。理想的弓仔-質量-阻尼系統嘛是 LTI 系統，並且佇數學上是等效的 RLC 電路。

LTI 系統概念攏是連紲時間佮離散時間（線性徙位無變）的情況下相𫝛。佇圖像處理中，時間變量被替換做二空間變量，時間不變性的概念被替換做二維移不變性。當分析濾波器組 s 和 MIMO 系統當中，定定有用考慮的信號硬躘。

線性系統毋是非時變會當用其他的方法來解決，如格林函數方法。仝款的方法的時陣，著愛使用問題的初初時條件是無為空。

連紲時間系統

衝激響應和卷積

輸入信號做 x ( t )，輸出信號做 y ( t ) 線性非常時變系統的行為會當用卷積分描述：

其中 $ \ textstyle h ( t ) $ 為做輸入信號 $ \ textstyle x ( \ tau )=\ delta ( \ tau ) $ 時系統的衝激響應。所以 $ \ textstyle y ( t ) $ 佮輸入函數 $ \ textstyle x ( \ tau ) $ 的加權平均成正比。權重函數為 $ \ textstyle h (-\ tau ) $，就是平移矣 $ \ textstyle t $ 的量。隨著 $ \ textstyle t $ 改變，權重函數會突出輸入函數的無仝部份。當對所有非負 $ \ textstyle \ tau $，$ \ textstyle h ( \ tau ) $ 做零時，$ \ textstyle y ( t ) $ 只由時間 $ \ textstyle t $ 進前的 $ \ textstyle x $ 值決定，啊若系統號做因果系統。

欲理解為啥物 LTI 系統的輸出會當用卷積產生，就予記號 $ \ textstyle \ { x ( u-\ tau ) ; \ u \ } $ 表示變量 $ \ textstyle u $ 佮常量 $ \ textstyle \ tau $ 的函數 $ \ textstyle x ( u-\ tau ) $。用素潔的記號 $ \ textstyle \ { x \ } \ , $ 表示 $ \ textstyle \ { x ( u ) ; \ u \ } $。彼細漢就會有一个對輸入函數 $ \ textstyle \ { x \ } , $ 轉換著 $ \ textstyle \ { y \ } $ 的連紲時間系統。佇一般情形下，輸出的每一个值會當對應輸入的每一个值。這个概念表示講：

$ y ( t ) \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ O _ { t } \ { x \ } , $

其中 $ \ textstyle O _ { t } $ 為著時間 $ \ textstyle t $ 的變換算子。佇典型的系統內底，$ \ textstyle y ( t ) $ 足大的程度上攏著愛決定 $ \ textstyle t $ 臨近時間的 $ \ textstyle x $ 的值。除非變換本身隨著 $ \ textstyle t $ 變化，若無輸出函數就是常數，系統也無意義。

對一个線性的系統，$ \ textstyle O $ 著愛滿足Eq . 一：

毋是變系統的要求是：

佇這種記號下，阮會當共衝激響應寫做 $ \ textstyle h ( t ) \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ O _ { t } \ { \ delta ( u ) ; \ u \ } $。

仝款：

共這代表入卷底積分：

$ { \ begin { aligned } x ( t ) * h ( t ) &=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } x ( \ tau ) \ cdot h ( t-\ tau ) \ , \ operatorname { d } \ tau \ \ &=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } x ( \ tau ) \ cdot O _ { t } \ { \ delta ( u-\ tau ) ; \ u \ } \ , \ operatorname { d } \ tau , \ , \ end { aligned } } $

彼个形體為 $ \ textstyle c _ { \ tau }=x ( \ tau ) $ 而且 $ \ textstyle x _ { \ tau } ( u )=\ delta ( u-\ tau ) $ 情形下Eq . 二等式正爿的形式。 彼細漢Eq . 二允准這个延拓：

$ { \ begin { aligned } x ( t ) * h ( t ) &=O _ { t } \ left \ { \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } x ( \ tau ) \ cdot \ delta ( u-\ tau ) \ , \ operatorname { d } \ tau ; \ u \ right \ } \ \ &=O _ { t } \ left \ { x ( u ) ; \ u \ right \ } \ \ & \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ y ( t ) . \ , \ end { aligned } } $

綜合所述，輸入函數 $ \ textstyle \ { x \ } $ 會用得Eq . 一中描述的時移衝激函數的連續統的「線性」組合來表示。系統的線性特性允准系統由相應的以相仝方式組合的衝激響應的連續統來表示系統的響應。毋是真正變特性允准用卷積分來表示這種組合。

欲講數學運算會當用一个簡單的圖形模擬。

指數函數作為本徵函數

本徵函數是算子運出為經過囥縮的相同函數的函數。即，

$ { \ mathcal { H } } f=\ lambda f $ ,

其中 _ f _ 是本徵函數抑若 $ \ lambda $ 是特徵值（一个常數）。

指數函數 $ Ae ^ { st } $（其中 $ A , s \ in \ mathbb { C } $）是線性非時變算子的本徵函數。會當用一个簡單的證明來說明這个概念。假使輸入是 $ x ( t )=Ae ^ { st } $。系統衝激響應 $ h ( t ) $ 的輸出就是

$ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( t-\ tau ) Ae ^ { s \ tau } \ , \ operatorname { d } \ tau $

由卷積的交換性質，上式等價於

$ { \ begin { aligned } \ overbrace { \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( \ tau ) \ , Ae ^ { s ( t-\ tau ) } \ , \ operatorname { d } \ tau } ^ { { \ mathcal { H } } f } &=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( \ tau ) \ , Ae ^ { st } e ^ {-s \ tau } \ , \ operatorname { d } \ tau &=Ae ^ { st } \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( \ tau ) \ , e ^ {-s \ tau } \ , \ operatorname { d } \ tau \ \ &=\ overbrace { \ underbrace { Ae ^ { st } } _ { \ text { Input } } } ^ { f } \ overbrace { \ underbrace { H ( s ) } _ { \ text { Scalar } } } ^ { \ lambda } , \ end { aligned } } $

其中純量

$ H ( s ) \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( t ) e ^ {-st } \ , \ operatorname { d } t $

干焦佮參數 _ s _ 有關。

所以，系統的響應是一个縮放的輸入。特別地，對任意 I $ A , s \ in \ mathbb { C } $，系統輸出為輸入 $ Ae ^ { st } $ 佮常量 $ H ( s ) $ 的乘積。所以，$ Ae ^ { st } $ 是 LTI 系統的本徵函數，對應的特徵向量為著 $ H ( s ) $。

直接證明

嘛會當用復指數直接引出 LTI 系統的本徵函數。

阮令 $ v ( t )=e ^ { i \ omega t } $ 共某復指數，$ v _ { a } ( t )=e ^ { i \ omega ( t + a ) } $ 替伊的徙版本。

嘿常數 $ e ^ { i \ omega a } $ 由線性愛 $ H [v _ { a }] ( t )=e ^ { i \ omega a } H [v] ( t ) $。

由 $ H $ 的非時變性有 $ H [v _ { a }] ( t )=H [v] ( t + a ) $。

所以乎 $ H [v] ( t + a )=e ^ { i \ omega a } H [v] ( t ) $。令 $ t=零 $ 並重號名就得著：

$ H [v] ( \ tau )=e ^ { i \ omega \ tau } H [ v] ( 零 ) $

即復指數 $ e ^ { i \ omega \ tau } $ 作為輸入，將得著一个仝款頻率的復指數作為輸出。

傅立葉佮拉普拉斯變換

這徵函數的指數函數性質對分析佮了解 LTI 系統攏是足有路用的。拉普拉斯變換

$ H ( s ) \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ { \ mathcal { L } } \ { h ( t ) \ } \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( t ) e ^ {-st } \ , \ operatorname { d } t $

就是對衝激響應得著特徵值的方法。純正絃（即形式為 $ e ^ { j \ omega t } $ 的指數函數，其中 $ \ omega \ in \ mathbb { R } $，$ j \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ { \ sqrt { 影一 } } $）尤其是愛關注。通常講遮的共復指數，就算參數為純虛數。傅立葉變換 $ H ( j \ omega )={ \ mathcal { F } } \ { h ( t ) \ } $ 予出著純復正弦的特徵值。$ H ( s ) $ 佮 $ H ( j \ omega ) $ 攏會當講號做 _ 系統函數 _、_ 系統響應 _ 抑是 _ 傳遞函數 _。

拉普拉斯變換通常用佇咧單邊信號的背景下，即 _ t _ 小於某一个值時信號的所有值為零。通常，「 開始時間」變做零，為方便起見，無去一般性，變換攏對無散到無到分（成做換的下限為負無窮的積分號做雙爿拉普拉斯變換）。

傅立葉變換是用來分析系統處理無窮限信號的，如調製的正弦信號，即使伊袂當直接應用佇非平方可積的輸入佮輸出信號上。拉普拉斯變換伊實際佇遮的信號初初佇咧時間進前做零的信號會當直接使用，就算講𪜶毋是平方做會積得的，比如講平穩系統。傅立葉變換通常通過維納－辛欽定理用佇無窮信號光譜頂頭，就算佇咧信號的傅立葉變換無存在的時陣。

因為這兩種變換的卷積性質，咧變換存在的條件下，會當共出系統輸出的卷積會當轉換做變換域的乘積

$ y ( t )=( h * x ) ( t ) \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } h ( t-\ tau ) x ( \ tau ) \ , \ operatorname { d } \ tau \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ { \ mathcal { L } } ^ { 影一 } \ { H ( s ) X ( s ) \ } $。

算變換、乘積佮反變換毋但比原始的卷積容易，而且閣會當對系統響應了解系統的行為。會當觀察系統函數 | _ H _ ( _ s _ ) | 的模仔來看出輸入 $ \ exp ( { st } ) $ 敢有夠額 _ 通過 _ 伊這个系統若是予人此系統 _ 拒絕 _ 抑是 _ 削弱 _（袂通）。

例

• 一个線性非時變算子的簡單實例是導數。
• $ { \ frac { \ operatorname { d } } { \ operatorname { d } t } } \ left ( c _ { 一 } x _ { 一 } ( t ) + c _ { 二 } x _ { 二 } ( t ) \ right )=c _ { 一 } x'_ { 一 } ( t ) + c _ { 二 } x'_ { 二 } ( t ) $（即，伊是線性的）
• $ { \ frac { \ operatorname { d } } { \ operatorname { d } t } } x ( t-\ tau )=x'( t-\ tau ) $（即，伊是非時變的）

取數的拉普拉斯變換，得著一个簡單的佮拉普拉斯變換變量 _ s _ 的乘積。

$ { \ mathcal { L } } \ left \ { { \ frac { \ operatorname { d } } { \ operatorname { d } t } } x ( t ) \ right \ }=sX ( s ) $

導數的拉普拉斯變換按呢簡單一定程度說明矣拉普拉斯變換的用途。

• 另外一个簡單的線性非常時變算子是平均算子

: $ { \ mathcal { A } } \ left \ { x ( t ) \ right \ } \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ \ int _ { t-a } ^ { t + a } x ( \ lambda ) \ , \ operatorname { d } \ lambda $。

因為積分是線性的所以伊嘛是線性的

$ { \ begin { aligned } { \ mathcal { A } } \ left \ { c _ { 一 } x _ { 一 } ( t ) + c _ { 二 } x _ { 二 } ( t ) \ right \ } &=\ int _ { t-a } ^ { t + a } \ left ( c _ { 一 } x _ { 一 } ( \ lambda ) + c _ { 二 } x _ { 二 } ( \ lambda ) \ right ) \ , \ operatorname { d } \ lambda \ \ &=c _ { 一 } \ int _ { t-a } ^ { t + a } x _ { 一 } ( \ lambda ) \ , \ operatorname { d } \ lambda + c _ { 二 } \ int _ { t-a } ^ { t + a } x _ { 二 } ( \ lambda ) \ , \ operatorname { d } \ lambda \ \ &=c _ { 一 } { \ mathcal { A } } \ left \ { x _ { 一 } ( t ) \ right \ } + c _ { 二 } { \ mathcal { A } } \ left \ { x _ { 二 } ( t ) \ right \ } , \ end { aligned } } $

此外，伊嘛是非時變的

$ { \ begin { aligned } { \ mathcal { A } } \ left \ { x ( t-\ tau ) \ right \ } &=\ int _ { t-a } ^ { t + a } x ( \ lambda-\ tau ) \ , \ operatorname { d } \ lambda \ \ &=\ int _ { ( t-\ tau )-a } ^ { ( t-\ tau ) + a } x ( \ xi ) \ , \ operatorname { d } \ xi \ \ &={ \ mathcal { A } } \ { x \ } ( t-\ tau ) , \ end { aligned } } $

實際上，$ { \ mathcal { A } } $ 會當寫做佮矩形脈衝函數 $ \ Pi ( t ) $ 卷積。

$ { \ mathcal { A } } \ left \ { x ( t ) \ right \ }=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } \ Pi \ left ( { \ frac { \ lambda-t } { 二 a } } \ right ) x ( \ lambda ) \ , \ operatorname { d } \ lambda , $

其中矩形脈衝函數是

$ \ Pi ( t ) \ { \ stackrel { \ text { def } } {=} } \ { \ begin { cases } 一 & { \ text { if } } | t | < { \ frac { 一 } { 二 } } , \ \ 零 & { \ text { if } } | t | > { \ frac { 一 } { 二 } } . \ end { cases } } $

重要的系統特性

因果性佮穩定性是咧講系統的兩个重要性質。若獨立變量是時間，彼屘囝因果性是著愛的，但是並毋是所有系統的獨立變量攏是時間。比如講，一个處理靜止圖像的系統無需要有具備因果性。非因果系統會當建立，並且會使佇濟濟的狀況下發揮作用。即使是非實數系統嘛會當構建，而且佇足濟場合嘛是足有路用的。

因果性

若系統輸出只佮當前以及過去的輸入有關係，彼屘囝該系統就是因果系統。因果性的充分必要條件是

$ h ( t )=零 \ quad \ forall t < 零 , $

其中 $ h ( t ) $ 是衝激響應。因為拉普拉斯變換的顛倒變換無唯一，所以通常袂當根據拉普拉斯變換確定系統的因果性。干焦佇確定矣系統的收縮域了後才會當確定這个系統的因果性。

穩定性

若系統對每一个有界輸入來講輸出攏是有界的，彼屘囝的系統就是有界輸入有界輸出穩定的（BIBO 穩定）， 用數學方法表示就是講若是逐个輸入滿足

$ \ \ | x ( t ) \ | _ { \ infty } < \ infty $

致使輸出滿足

$ \ \ | y ( t ) \ | _ { \ infty } < \ infty $

（ 也就是講 $ x ( t ) $ 的上大絕對值是有界的意味著 $ y ( t ) $ 的上大絕對值嘛是有界的）， 彼細漢的系統就是穩定的。系統穩定的充分必要的條件是衝激響應 $ h ( t ) $ 是佇咧 L 一中（其實 L 一範有限）的：

$ \ \ | h ( t ) \ | _ { 一 }=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } | h ( t ) | \ , \ operatorname { d } t < \ infty $。

佇頻域內底，收縮域著愛包含虛華 $ s=j \ omega $。

做一个例，衝激響應等於 Sinc 函數的理想低通濾波器毋是 BIBO 穩定的，因為乎 Sinc 函數嘛不有限的 L 一範數。所以，對一寡有界輸入，理想低通濾波器的輸出是無界的。特別地，若對 $ t < 零 \ , $ 的輸入為零，並且佇咧 $ t > 零 \ , $ 等於是正弦信號的截止頻率，則佇非過零時刻輸出是無界的。

離散時間系統

差不多所有的連紲時間系統攏會當揣著佮之對應的離散時間系統。

連紲時間系統中的離散時間系統

佇真濟情形下，離散的時間（DT）系統實際上是比較大的連紲時間（CT）系統的一部份。比如講，數字錄音系統記錄模擬聲、數位化、凡勢對數位訊號進行處理、才閣重放模擬信號。

正式場合下所研究的離散時間信號差不多總是連紲時間信號的齊勻採樣。若是 $ x ( t ) $ 是一个連紲時間的信號，彼細漢模數轉換器共伊轉做離散時間信號 $ x [n] $，

$ x [n]=x ( nT ) $ ,

其中 _ T _ 是彼挽樣周期。為著保證離散的信號會當忠實地表示輸入去信號，一點非常重要一點就是需要限制輸入信號的頻率範圍。根據採樣定理，離散時間信號所包括的上大頻率的範圍是 $ 一 / ( 二 T ) $。其他的頻率攏成做這个範圍的混疊信號。

非時變和線性變換

阮對一个衝激響應是二維函數的時變系統開始來看覓非時變這个條件是按怎共系統降到一維的。比如講，假使輸入信號是 $ x [n] $，其中 n 是整數，即 $ n \ in \ mathbb { Z } $。線性算子 $ { \ mathcal { H } } $ 表示系統咧輸入信號頂懸的操作，對著這个 index set 來講合適的算子是一个二維函數

$ h [n _ { 一 } , n _ { 二 }] { \ mbox { where } } n _ { 一 } , n _ { 二 } \ in \ mathbb { Z } $。

因為 $ { \ mathcal { H } } $ 是一个線性算子，系統咧輸入信號 $ x [n] $ 最的作用就是下跤累加和所表示的線性變換

$ y [n _ { 一 }]=\ sum _ { n _ { 二 }=-\ infty } ^ { \ infty } h [n _ { 一 } , n _ { 二 }] \ , x [n _ { 二 }] , $

若線性算講 $ { \ mathcal { H } } $ 嘛是非時變的，彼細漢

$ h [n _ { 一 } , n _ { 二 }]=h [n _ { 一 } + m , n _ { 二 } + m] \ qquad \ forall \ , m \ in \ mathbb { Z } $。

若號

$ m=-n _ { 二 } , \ , $

彼細漢

$ h [n _ { 一 } , n _ { 二 }]=h [n _ { 一 }-n _ { 二 } , 零] . \ , $

為著簡單通常咱擲捒 $ h [n _ { 一 } , n _ { 二 }] $ 的第二个參數零，按呢疊起來分這馬變做過濾波中常看著的卷積佮

$ y [n _ { 一 }]=\ sum _ { n _ { 二 }=-\ infty } ^ { \ infty } h [n _ { 一 }-n _ { 二 }] \ , x [n _ { 二 }]=( h * x ) [n _ { 一 }] $。

按呢乎，卷積佮表示一个線性非時變系統在任意輸入函數上所起的作用，對類似有限維護參數，參見輪換矩陣

衝激響應

若是咱欲予系統輸入一个離散 δ 函數，因為 δ 函數是一个理想的網路衝，所以系統的線性非常時變換就是衝激響應。咱用下式的表示：

$ ( h * \ delta ) [n]=\ sum _ { m=-\ infty } ^ { \ infty } h [n-m] \ , \ delta [m]=h [n] , $

（ 通過 δ 函數的 sifting 特性）。

注意

$ h [n]=h [n _ { 一 }-n _ { 二 } , 零] \ , \ ! { \ mbox{ where } } n=n _ { 一 }-n _ { 二 } , $

按呢乎 $ h [n] $ 就是系統的衝激響應。

這个衝激響應會使按照下跤的方法用於得著 _ 任意 _ 輸入信號的響應。閣再應用 $ \ delta [n] $ 的過濾特性，咱將輸入信號共寫做 δ 的忝加佮：

$ x [n]=\ sum _ { m=-\ infty } ^ { \ infty } x [m] \ delta [n-m] $。

輸入經過系統變換，

$ { \ mathcal { H } } x [n]={ \ mathcal { H } } \ sum _ { m=-\ infty } ^ { \ infty } x [m] \ delta [n-m] $

$ \ quad=\ sum _ { m=-\ infty } ^ { \ infty } { \ mathcal { H } } x [m] \ delta [n-m] $（$ { \ mathcal { H } } $ 是線性的所以會當佇佮之間傳達）

$ \ quad=\ sum _ { m=-\ infty } ^ { \ infty } x [n] { \ mathcal { H } } \ delta [n-m] $（$ x [m] $ 佇咧 _ n _ 中是定咧量並且 $ { \ mathcal { H } } $ 是線性的）

$ \ quad=\ sum _ { m=-\ infty } ^ { \ infty } x [m] h [n-m] $（根據 $ h [n] $ 的定義）

系統的所有信息攏包含咧衝激響應 $ h [n] $ 中。

例

一个簡單的線性非時變算子的實例是延時算子 $ D \ { x \ } [n] :=x [n 影一] $。

$ D \ left ( c _ { 一 } x _ { 一 } [n] + c _ { 二 } x _ { 二 } [n] \ right )=c _ { 一 } x _ { 一 } [n 影一] + c _ { 二 } x _ { 二 } [n 影一]=c _ { 一 } Dx _ { 一 } [n] + c _ { 二 } Dx _ { 二 } [n] , $

$ D \ { x [n-m] \ }=x [n-m 影一]=x [( n 影一 )-m]=D \ { x \ } [n-m] . \ , $

導數取 Z 變換，就變成一个簡單的佮 Z 相乘：

$ { \ mathcal { Z } } \ left \ { Dx [n] \ right \ }=zX ( z ) $。

差分的 Z 變幻如此簡單嘛佇咧一定程度頂懸表明矣 Z 變換的用途。

另外一个簡單的線性非常時變算子是平均算子

$ { \ mathcal { A } } \ left \ { x [n] \ right \ }=\ sum _ { k=n-a } ^ { n + a } x [k] $ .

因為佮是線性的所以伊嘛是線性的：

$ { \ mathcal { A } } \ left \ { c _ { 一 } x _ { 一 } [n] + c _ { 二 } x _ { 二 } [n] \ right \ } $

$=\ sum _ { k=n-a } ^ { n + a } \ left ( c _ { 一 } x _ { 一 } [k] + c _ { 二 } x _ { 二 } [k] \ right ) $

$=c _ { 一 } \ sum _ { k=n-a } ^ { n + a } x _ { 一 } [k] + c _ { 二 } \ sum _ { k=n-a } ^ { n + a } x _ { 二 } [k] $

$=c _ { 一 } { \ mathcal { A } } \ left \ { x _ { 一 } [n] \ right \ } + c _ { 二 } { \ mathcal { A } } \ left \ { x _ { 二 } [n] \ right \ } $ .

伊嘛是非時變的：

$ { \ mathcal { A } } \ left \ { x [n-m] \ right \ } $

$=\ sum _ { k=n-a } ^ { n + a } x [k-m] $

$=\ sum _ { k'=( n-m )-a } ^ { ( n-m ) + a } x [ k'] $

$={ \ mathcal { A } } \ left \ { x \ right \ } [n-m] $ .

重要的系統特性

因果性佮穩定性是系統的重要特性。佮連紲時間系統無仝，咱會當實現非因果的離散時間系統。通過佇系統內底加入延時就真容易共非因果有限衝激響應系統變成因果系統。甚至會當構建非因果的無限衝激響應系統（參見 Vaidyanathan and Chen , 一千九百九十五）。 咱嘛會當構建無穩定的系統，這種系統佇足濟場合攏足有路用，甚至嘛會當構建佇足濟狀況之下足有路用的 non-real 系統。

因果性

若系統的輸出只佮當前以及過去的輸入有關，彼屘囝的系統就是因果的系統。因果性的必要而且充分條件是

$ h [n]=零 \ \ forall n < 零 , $

其中 $ h [n] $ 是衝激響應。因為逆變換毋是唯一的，所以通常是足歹對 Z 變換確定系統的因果性。若收縮域確定，系統的因果性就隨之確定。

穩定性

若是離散系統一个有界的輸入，輸出攏是有界的彼屘囝系統就是有界輸入輸出穩定（BIBO 穩定）。 用數學方法表示就是講

$ | | x [n] | | _ { \ infty } < \ infty $

並且

$ | | y [n] | | _ { \ infty } < \ infty $

（ 也就是講 $ x [n] $ 和 $ y [n] $ 的上大絕對值攏是有限的）， 彼細漢的系統就是穩定的。必要而且充分條件就是衝激響應 $ h [n] $ 滿足

$ | | h [n] | | _ { 一 }=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } | h [n] | < \ infty $。

佇頻域內底，收斂域著愛包括單位圓 $ | z |=一 $。

參見

• 輪換矩陣
• 頻率響應
• 衝激響應
• 系統分析
• 傳遞函數

參考資料

• Hespanha , J . P . Linear System Theory . Princeton university press . 二千空九 . ISBN  空九六百九十一抹一孵四千空二十一孵九 .