貝爾綱定理
貝爾綱定理是點集拓撲學佮泛函分析中的一个重要的工具。這个定理有兩種形式，每一个攏予出了拓撲空間是貝爾空間的充分條件。
該定理由勒內-路易 ・ 貝爾佇伊一八九九年的博士論文中證明。
定理的陳泗治
一个貝爾空間是一个拓撲空間，有這種以下性質：所以對任意會當數位開洘旱集 _ Un _，𪜶的交集 ∩ _ Un _ 攏是誠濟的。
- （BCT 一）每一个完備度量空間攏貝爾空間。閣較一般，每一粒同胚於某一个完備偽度量空間開子集的拓撲空間攏是貝爾空間。所以每一个完備可度量化的拓撲空間攏是貝爾空間。
- （BCT 二）每一个局部緊豪斯多夫空間攏是貝爾空間。其證明類似前一个欲來述；有限交集性質取得了完備性扮演的角色。
注意對以上任何一个命題攏袂當推出另外一个，因為存在一个毋是局部絚的完備度量空間（帶有定義如後的度量的不理數）， 嘛存在一个不可度量化的局部緊豪斯多夫空間（袂當數福特空間）。 參見以下文獻中的 Steen and Seebach。
- （BCT 三）非空的完備度量空間毋是呢會當數一个無四界𣻸密（也就是閉包具有誠濟補集的集合）的併集。
這个表述是 BCT 一个的一个結果，有當時仔閣較有效。另外咧，若是一个非空的完備度量空間是會當算个閉集的併集，按呢其中一个閉集具有非空的內部。
佮選擇公理的關係
BCT 一和BCT 二的證明需要選擇公理的某一種形式；實際上，BCT 一佮選擇公理的一个較弱的版本—— 依賴選擇公理等價。
定理的應用
BCT 一會當用來證明開映射定理、閉圖像定理佮一致有界原理。
BCT 一嘛表明每一个無孤立點的完備度量空間攏是不可數的。（若是 _ X _ 是一个會當數的完備度量空間而且無孤立點，啊佇咧 _ X _ 中每一个單元素集合攏是無所在誠濟的，所以 _ X _ 佇伊本身內是頭一綱）。 特別地，這證明矣所有實數所組成的集合是不可數的。
BCT 一表明以下每一个攏是貝爾空間：
- 實數空間R；
- 沒有理數，其度量定義做 _ d _ ( _ x _ , _ y _ )=一 / ( _ n _ + 一 )，其中 _ n _ 是使 _ x _ 和 _ y _ 的連分數展開式無仝的頭一个指標（這是一个完備度量空間）；
- 康托爾集。
根據BCT 二，每一个流形攏是貝爾空間，因為伊是局部緊空間，嘛是豪斯多夫空間。這甚至閣對幼齒根（所以不可度量化）的流形如長直線嘛是成立的。
證明
以下是完備度量空間的 $ X $ 是貝爾空間的一个標準的證明。
設 $ U _ { n } $ 為一个開洘密子集的集合。阮希望證明交集 $ \ bigcap U _ { n } $ 是誠濟的。一个囝集 $ A $ 是誠濟的若是空間內底任意一个非空的開集攏佮 $ A $ 相交。為此，阮干焦需證明爾 $ X $ 的任意非空開子集 $ W $ 有一个點 $ x $，$ x $ 包括講所有的 $ U _ { n } $ 中。為此，設 $ W \ subset X $ 替一个開子集。根據誠濟密性，存在 $ x _ { 一 } $ 和 $ r _ { 一 } > 零 $，予得：
- $ { \ overline { B } } ( x _ { 一 } , r _ { 一 } ) \ subset W \ cap U _ { 一 } $。
遞歸地，咱求出 $ x _ { n } $ 和 $ r _ { n } > 零 $，予得：
- $ { \ overline { B } } ( x _ { n } , r _ { n } ) \ subset B ( x _ { n 影一 } , r _ { n 影一 } ) \ cap U _ { n } $ 而且 $ r _ { n } < n ^ { 影一 } $。
因為做 $ n > m $ 時，$ x _ { n } \ in B ( x _ { m } , r _ { m } ) $，所以 $ x _ { n } $ 是柯西序列，而且 $ x _ { n } $ 收斂佇某一極限 $ x $。對任何 $ n $，根據封閉性，有：
- $ x \ in { \ overline { B } } ( x _ { n + 一 } , r _ { n + 一 } ) \ subset B ( x _ { n } , r _ { n } ) $。
所以，對所有 $ n $，攏有 $ x \ in W $ 而且 $ x \ in U _ { n } $。$ \ square $