基靈向量場

基靈矢量場，基靈矢量抑是基靈矢量場（Killing vector 抑是 Killing vector field）， 以德國數學家威爾海姆 ・ 基靈號名，是定義佇黎曼流形或者是偽黎曼流形頂的一組硬篤量場，流形的度規佇這組硬篤的方向頂懸會當保持袂變。基靈矢量是等距仝構的無窮小生成元，即由基靈矢量場生的流包含有一種對稱性，也就是講流形佇基靈上場的方向頂懸進行平移袂改變其上點佮點之間的距離。一个簡單的例是一个圓周上具有相仝長度並且指向順時針方向的硬躘場即是一个基靈矢量場，圓箍仔會順的點沿遮的方向平移等於順時針轉動這个圓箍仔咧無改變互相中間的距離。

若度量（度規）這个係數 $ g _ { \ mu \ nu } \ , $ 佇咧某一个坐標基 $ dx ^ { a } \ , $ 下佮 $ x ^ { K } $ 無關係，遐爾 $ x ^ { \ mu }=\ delta _ { K } ^ { \ mu } \ , $ 自動是一个基靈向量，遮 $ \ delta _ { K } ^ { \ mu } \ , $ 是克羅內克函數。比如講，若度量若度量攏毋是時間的函數，彼流形一定自動有一个類時基靈向量。

基靈矢量佇廣義相對論中描述了時空幾何的對稱性，每一種對稱性攏佮一个基靈矢量相關聯。

數學定義

具體地，向量場 _ X _ 是一个基靈的場，若度量關於著 _ X _ 李導數為零：

$ { \ mathcal { L } } _ { X } g=零 \ , . $

用列維-奇維塔聯絡表示，即

$ g ( \ nabla _ { Y } X , Z ) + g ( Y , \ nabla _ { Z } X )=零 \ , $

嘿所有的向量 _ Y _ 佮 _ Z _。佇局部坐標系當中，這就是基靈方程式：

$ \ nabla _ { \ mu } X _ { \ nu } + \ nabla _ { \ nu } X _ { \ mu }=零 \ , . $

這个條件表示成共變形式，對而且只要佇一个特定的坐標系中成立就佇咧所有坐標系下成立。

一个基靈場因為一个向量佮其梯（即這个場佇該點的所有變竅）決定。

兩个基靈場的李括號猶原是一个基靈場。對而且流形 _ M _ 上的基靈場組成矣 _ M _ 頂一个李代數。若是 _ M _ 絚或者完備這是流形的等距仝構群的李代數。

著絚流形：

• 負里奇曲率意味著無存在非凡基靈場。
• 非正里奇曲率，意味對任何基靈場攏是平行的，即沿著任何向量場的共變導數恆為零。
• 若截面曲率為正而且 _ M _ 維數做尪仔，一个基靈場一定有零點。

基靈向量場會當推廣到共形基靈向量場，定義做：

$ { \ mathcal { L } } _ { X } g=\ lambda g \ , $

著某一个純量 $ \ lambda \ , $，單參數共形影射族的導數是共形基靈場。另外一種推廣是共形基靈張量場，是一个對稱張量場 _ T _，予得 $ \ nabla T \ , $ 的對稱化中佮無關係的部份做零。

廣義的時空幾何中的對稱性佮守恆律

佇咧廣義相對論中，基靈矢量佮時空的對稱性趕緊聯絡。簡單講來，彼个時空流形佇咧特定改換下具有幾何不變性的時陣，阮講這款時空流形有一个對稱性；也就是講度規佇咧這種變換之下是保持的形式不變的。一个張量場可能會有足濟種無仝款的對稱性，譬如講閔考斯基時空平直度規佇平移變換（包含四種基本對稱操作）佮勞侖茲變換（包括六種基本對稱操作）下保持袂變，著對於閔考斯基度規

$ ds ^ { 二 }=\ eta _ { \ mu \ nu } dx ^ { \ mu } dx ^ { \ nu } \ , $

所具有的兩種對稱性表示講

$ x ^ { \ nu } \ to x ^ { \ nu } + a ^ { \ nu } \ , $（平移對稱性）

$ x ^ { \ nu } \ to \ Lambda _ { \ mu } ^ { \ nu } x ^ { \ nu } \ , $（勞侖茲對稱性）

對閔考斯基時空的平移對稱性表示中咱會當看著，度規的係數 $ \ eta _ { \ mu \ nu } \ , $（一抑是-一）和平移的坐標函數 $ x ^ { \ nu } \ , $ 無關係。這个性質會當推廣到一般度規 $ g _ { \ mu \ nu } \ , $ 下跤的平移對稱性，也對某一寡仔確定的坐標函數 $ x ^ { \ sigma } \ , $，若是 $ \ partial _ { \ sigma } g _ { \ mu \ nu }=零 \ , $ 嘿所有的 $ \ mu \ , $ 和 $ \ nu \ , $ 成立，則度規在 $ x ^ { \ sigma } \ , $ 方向上有平移對稱性：

$ \ partial _ { \ sigma } g _ { \ mu \ nu }=零 \ qquad \ Rightarrow \ qquad x ^ { \ sigma } \ to x ^ { \ sigma } + a ^ { \ sigma } \ , $

平移對稱性佮動量守恆

對類時陣的測地線來講，測地線方程式會當寫做動量的形式，也對著粒子的四維動量 $ p ^ { \ mu }=mU ^ { \ mu } \ , $，測地線方程式為著

$ p ^ { \ lambda } \ nabla _ { \ lambda } p ^ { \ mu }=零 $

其中 $ p ^ { \ lambda } \ , $ 的上標會當降做下標程式保持形式無變，根據協變導數的定義方程式等價於

$ p ^ { \ lambda } \ partial _ { \ lambda } p _ { \ mu }-\ Gamma _ { \ lambda \ mu } ^ { \ sigma } p ^ { \ lambda } p _ { \ sigma }=零 \ , $

倒爿第一項的含義是動量按怎沿測地線變化：

$ p ^ { \ lambda } \ partial _ { \ lambda } p _ { \ mu }=m { \ frac { dx ^ { \ lambda } } { d \ tau } } \ partial _ { \ lambda } p _ { \ mu }=m { \ frac { dp _ { \ mu } } { d \ tau } } \ , $

抑若第二項會當變做是下形式：

$ { \ begin { aligned } \ Gamma _ { \ lambda \ mu } ^ { \ sigma } p ^ { \ lambda } p _ { \ sigma } &={ \ frac { 一 } { 二 } } g ^ { \ sigma \ nu } \ left ( \ partial _ { \ lambda } g _ { \ mu \ nu } + \ partial _ { \ mu } g _ { \ nu \ lambda }-\ partial _ { \ nu } g _ { \ lambda \ mu } \ right ) p ^ { \ lambda } p _ { \ sigma } \ \ &={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( \ partial _ { \ lambda } g _ { \ mu \ nu } + \ partial _ { \ mu } g _ { \ nu \ lambda }-\ partial _ { \ nu } g _ { \ lambda \ mu } \ right ) p ^ { \ lambda } p ^ { \ nu } \ \ &={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( \ partial _ { \ mu } g _ { \ nu \ lambda } \ right ) p ^ { \ lambda } p ^ { \ nu } \ end { aligned } } $

其中第二步到第三步是用矣 $ p ^ { \ lambda } p ^ { \ nu } \ , $ 的對稱性，顛倒對稱的兩項會當消去。綜合頂懸的結果咱得著

$ m { \ frac { dp _ { \ mu } } { d \ tau } }={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( \ partial _ { \ mu } g _ { \ nu \ lambda } \ right ) p ^ { \ lambda } p ^ { \ nu } \ , $

對這个方程式咱會當知影講，對度規 $ g _ { \ nu \ lambda } \ , $ 若是坐標方向 $ \ mu \ , $ 上偏導數為零，是沿坐標方向 $ \ mu \ , $ 的動量 $ p ^ { \ mu } \ , $ 袂隨時間咧變化，就算動量分開 $ p ^ { \ mu } \ , $ 是一个守恆量，即

$ \ partial _ { \ sigma } g _ { \ mu \ nu }=零 \ qquad \ Rightarrow \ qquad { \ frac { dp _ { \ sigma } } { d \ tau } }=零 \ , $

這个守恆律雖然是對類時的測地線得著的，伊對所有的測地線攏成立。

基靈矢量

咱佇頂節中間看著，當度規佮坐標的某一个分量無關係，度規佇這个分量頂懸有平移對稱性。這馬對這个事實出發將其寫做協變的形式，即當一個一般的度規 $ g _ { \ mu \ nu } \ , $ 和某一坐標分量 $ x ^ { \ sigma } \ , $ 無關係的時間，定義硬躘 $ \ partial _ { \ sigma } \ , $ 共標記做是 $ { \ boldsymbol { K } } \ , $：

$ { \ boldsymbol { K } }=\ partial _ { \ sigma } \ , $

推導中一般寫做分量的形式：

$ { K } ^ { \ mu }=\ left ( \ partial _ { \ sigma } \ right ) ^ { \ mu }=\ delta _ { \ sigma } ^ { \ mu } \ , $

遮阮講 $ { K } ^ { \ mu } $ 是度規對稱性的生做矢量，即在這个硬死的方向頂懸的無窮小變換操作落坐標保持無變。佇這个硬篤的作用落去，守恆量會使寫做協變的形式，比如講

$ p _ { \ sigma }={ K } ^ { \ nu } p _ { \ nu } \ , $

對前文的推導咱已經知影，若是 $ p ^ { \ mu } \ , $ 是沿測地線的（純量）守恆量，則伊沿測地線的方向導數做零，用生做矢量的形式去寫出來是得著

$ { \ frac { dp _ { \ sigma } } { d \ tau } }=零 \ qquad \ Leftrightarrow \ qquad p ^ { \ mu } \ nabla _ { \ mu } \ left ( { K } _ { \ nu } p ^ { \ nu } \ right )=零 \ , $

共正面的式做展開會到

$ { \ begin { aligned } p ^ { \ mu } \ nabla _ { \ mu } \ left ( { K } _ { \ nu } p ^ { \ nu } \ right ) &=p ^ { \ mu } \ nabla _ { \ mu } { K } _ { \ nu } p ^ { \ nu } + p ^ { \ mu } p ^ { \ nu } \ nabla _ { \ mu } K _ { \ nu } \ \ &=p ^ { \ mu } p ^ { \ nu } \ nabla _ { \ mu } K _ { \ nu } \ \ &=p ^ { \ mu } p ^ { \ nu } \ nabla _ { ( \ mu } K _ { \ nu ) } \ end { aligned } } $

對第一步到第二步內底第一項消去的原因是測地線方程式，第二步到第三步是因為 $ \ mu \ , $ 和 $ \ nu \ , $ 的對稱性。

由此會當得著結論：對任何滿足方程式 $ \ nabla _ { ( \ mu } K _ { \ nu ) }=零 \ , $ 的硬絞 $ K _ { \ nu } \ , $，攏對應沿測地線的守恆量 $ K _ { \ nu } p ^ { \ nu } \ , $：

$ \ nabla _ { ( \ mu } K _ { \ nu ) }=零 \ qquad \ Rightarrow \ qquad p ^ { \ mu } \ nabla _ { \ mu } \ left ( { K } _ { \ nu } p ^ { \ nu } \ right )=零 \ , $

左面的方程式 $ \ nabla _ { ( \ mu } K _ { \ nu ) }=零 \ , $ 叫做基靈方程式，滿足這个方程式的硬篤量場 $ K _ { \ nu } \ , $ 叫做基靈硬量場抑是直接叫做基靈硬量。基靈矢量的形式佮度規的坐標選取有關，雖然上文的推導過程中基靈矢量的形式是 $ { \ boldsymbol { K } }=\ partial _ { \ sigma } \ , $，這是由選取坐標系的特殊性決定的，佇其他一般化的坐標系選取下伊會具有無仝款的形式；但是毋管按怎煞總會當揣著一个特定的坐標系使對應的基靈矢量滿足如 $ { \ boldsymbol { K } }=\ partial _ { \ sigma } \ , $ 彼个形體。

對基靈矢量的概念會當進一步推廣到基靈張量，就滿足方式

$ \ nabla _ { ( \ mu } K _ { \ nu _ { 一 } \ nu _ { 二 } . . . \ nu _ { l } ) }=零 \ , $

的 $ l \ , $ 階張量 $ K _ { \ nu _ { 一 } \ nu _ { 二 } . . . \ nu _ { l } } \ , $ 對應有守恆量 $ { K } _ { \ nu _ { 一 } \ nu _ { 二 } . . . \ nu _ { l } } p ^ { \ nu _ { 一 } \ nu _ { 二} . . . \ nu _ { l } } \ , $

$ p ^ { \ mu } \ nabla _ { \ mu } \ left ( { K } _ { \ nu _ { 一 } \ nu _ { 二 } . . . \ nu _ { l } } p ^ { \ nu _ { 一 } \ nu _ { 二 } . . . \ nu _ { l } } \ right )=零 \ , $

度本身就是一个基靈張量，佇咧膨脹宇宙模型當中，傅里德曼-勒梅特-羅伯遴-沃克度規嘛有類時的基靈張量。

性質

基靈矢量的協變導數佮黎曼張量直接聯絡，彼此關係為

$ \ nabla _ { \ mu } \ nabla _ { \ sigma } K ^ { \ rho }=R _ { \ sigma \ mu \ nu } ^ { \ rho } K ^ { \ nu } \ , $

佮里奇張量的關係為

$ \ nabla _ { \ mu } \ nabla _ { \ sigma } K ^ { \ mu }=R _ { \ sigma \ nu } K ^ { \ nu } \ , $

對這兩个關係、比安基佮恆等式佮基靈方程式會當推出里奇純量佇沿基靈矢量場的方向導數為零，這是其度規佇咧遮的方向頂懸有幾何不變性的體現：

$ K ^ { \ lambda } \ nabla _ { \ lambda } R=零 \ , $

類時的基靈矢量

動量守恆是空間平移不變性的體現，會當量守恆則是時間平移不變性的體現。借助於一个類時的基靈矢量咱會當定義一个全部時空的守恆能量：對基靈矢量 $ K _ { \ nu } \ , $ 佮能量-動量張量 $ T _ { \ mu \ nu } \ , $ 會當定義一个流

$ J ^ { \ mu }=K _ { \ nu } T ^ { \ mu \ nu } \ , $

這流是一个守恆量：

$ \ nabla _ { \ mu } J ^ { \ mu }=\ left ( \ nabla _ { \ mu } K _ { \ nu } \ right ) T ^ { \ mu \ nu } + K _ { \ nu } \ left ( \ nabla _ { \ mu } T ^ { \ mu \ nu } \ right )=零 \ , $

第一項為零是因為基靈方程式，啊若第二項做零是因為 $ T _ { \ mu \ nu } \ , $ 的守恆。

當 $ K _ { \ nu } \ , $ 是一个類時的基靈矢量的時陣，會當通過對這个守恆流佇規个類空的超平面 $ \ Sigma \ , $ 內底的積分對定義時空中的總能量：

$ E=\ int _ { \ Sigma } J ^ { \ mu } n _ { \ mu } { \ sqrt { \ gamma } } \ , d ^ { 三 } x \ , $

其中 $ \ gamma _ { ij } \ , $ 是超平面 $ \ Sigma \ , $ 的誘導度規，而且 $ n _ { \ mu } \ , $ 是其法向硬的。這實際是廣義相對論中柯瑪質量的定義，佇咧膨脹宇宙模型中間空中的總能量一般並毋是守恆的，這和膨脹宇宙的度規是時間的函數有關係。若存在一个類時的基靈矢量，度規佮時間無關係，對而存在一个守恆的能量定義。

參考資料

• Sean M . Carroll . Spacetime and Geometry : An Introduction to General Relativity ( Hardcover ) . Benjamin Cummings . 兩千空三 . ISBN  九百七十八追八鋪空五百三十八撨七千三百二十二（英抹）.
• Jost , Jurgen . Riemannian Geometry and Geometric Analysis . Berlin : Springer-Verlag . 兩千空二 . ISBN 三石五百四十五五鋪兩千六百二十七石二（英抹）.   .
• Adler , Ronald ; Bazin , Maurice & Schiffer , Menahem . Introduction to General Relativity ( Second Edition ) . New York : McGraw-Hill . 一千九百七十五 . ISBN 空九五四百二十三孵四（英抹）.   見第三章佮第九章
• Misner , Thorne , Wheeler . Gravitation . W H Freeman and Company . 一千九百七十三 . ISBN 空九七千一百六十七撨三百四十四分空（英抹）.