克希荷夫電路定律

克希荷夫電路定律（Kirchhoff Circuit Laws）簡稱做克希荷夫定律，指甲兩條電路學定律，克希荷夫電流定律佮克希荷夫電壓定律。𪜶牽涉著電荷的守恆佮電位的保守性。一八四五年，古斯塔夫 ・ 克希荷夫首先提出克希荷夫電路定律。這馬乎，這定律被廣泛地應用佇電機工程學。

對馬克士威方程組會當推導出克希荷夫電路定律。猶毋過，克希荷夫並毋是遵照這條思路來發展，是對格奧爾格 ・ 歐姆的工課成果加以推廣甲。

克希荷夫電流定律

克希荷夫電流定律閣叫做克希荷夫頭一定律，顯明：

抑是講，閣較詳細來講，

用方程式去表達，對電路的任意節點，

$ \ sum _ { k=一 } ^ { n } i _ { k }=零 $；

其中，$ i _ { k } $ 是第 $ k $ 進入抑是離開這節點的電流，是流過佮這節點相連紲的第 $ k $ 個支路的電流，會當是實數抑是複數。

因為累積的電錢（單位做庫侖）是電流（單位為安培）佮時間（單位為秒）的乘積，對電荷守恆定律會當推導出這條定律。其實質是有穩恆電流的連續性方程式，即根據電荷守恆定律，流向節點的電流之佮等於流出節點的電流之佮。

導引

思考電路的某節點，佮這節點相連紲有 $ n $ 個支路。假使進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，經過這个所在的總電流 $ i $ 等於流過支路 $ k $ 的電流 $ i _ { k } $ 的代數佮：

$ i=\ sum _ { k=一 } ^ { n } i _ { k } $。

共這方程式積分於時間，會當得著累積佇這節點的電荷的方程式：

$ q=\ sum _ { k=一 } ^ { n } q _ { k } $；

其中，$ q=\ int _ { 零 } ^ { t } i ( t') \ mathrm { d } t'$ 是累積佇這節點的總電錢，$ q _ { k }=\ int _ { 零 } ^ { t } i _ { k } ( t') \ mathrm { d } t'$ 是流過支路 $ k $ 的電荷，$ t $ 是檢驗時間，$ t'$ 是積分時間變數。

準講 $ q > 零 $，是正電錢會累積佇節點；抑無，負電錢會累積佇節點。根據電荷守恆定律，$ q $ 是一个常數，袂當綴時間佇咧演進就變。因為這節點是一个導體，袂當儉任何電荷。所以乎，$ q=零 $、$ i=零 $，克希荷夫電流定律成立：

$ \ sum _ { k=一 } ^ { n } i _ { k }=零 $。

有時電荷密度

對頂頭推捒會當看著，干焦做電錢量做常算時，克希荷夫電流定律才會成立。通常，這毋是一个問題，因為靜電力相斥的作用，會阻止任何正電佮負電錢綴時間演進就累積佇節點，大部份的時陣，節點的淨電荷是零。

猶毋過，電容器的兩塊導板可能會允准正電錢抑是負電錢的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的縫，會阻止分別累積佇兩塊導板的異性電錢相拄，對互相抵消。對這个狀況，流向其中任何一塊導板的電流總佮等於電錢累積的速率，毋是零。猶毋過，若共位徙電流 $ \ mathbf { J } _ { D } $ 納入考慮，則克希荷夫電流定律猶原有效。詳細節，請參閱條目位移電流。干焦做應用克希荷夫電流定律佇電容器內部的導板的時，才有需要按呢來思考。若應用佇電路分析（circuit analysis）時，電容器會當看做是一个規體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律猶是適用。

由閣較技術性的層面來講，取散度佇馬克士威修正的安培定律，佮高斯定律相結合，即可得著克希荷夫電流定律：

$ \ nabla \ cdot \ mathbf { J }=-\ epsilon _ { 零 } \ nabla \ cdot { \ frac { \ partial \ mathbf { E } } { \ partial t } }=-{ \ frac { \ partial \ rho } { \ partial t } } $；

其中，$ \ mathbf { J } $ 是電流密度，$ \ epsilon _ { 零 } $ 是電常數，$ \ mathbf { E } $ 是電場，$ \ rho $ 是伊電荷密度。

這是這个電荷守恆的微分方程式。以積分的形式表述，對封閉表面流出的電流等於佇這封閉表面內部的電荷 $ Q $ 的流失率：

$ \ oint _ { \ mathbb { S } } \ mathbf { J } \ cdot \ mathrm { d } \ mathbf { a }=-{ \ frac { \ mathrm { d } Q } { \ mathrm { d } t } } $。

克希荷夫電流定律等等價於電流的散度是零的論述。這對袂當時電荷密度 $ \ rho $，這定律成立。著時電荷密度，必須愛共位徙電流納入考慮。

應用

以矩陣表達的克希荷夫電流定律是濟濟電路類比軟體（electronic circuit simulation）的這个理論基礎，比如講，SPICE 抑是 NI Multisim。

克希荷夫電壓定律

克希荷夫電壓定律閣叫做克希荷夫第二定律，顯明：

抑是講，嘛會使講，

用方程式去表達，對電路的任意合迴路，

$ \ sum _ { k=一 } ^ { m } v _ { k }=零 $；

其中，$ m $ 是這閉合迴路的元件數目，$ v _ { k } $ 是元件兩爿的電壓，會當是實數抑是複數。

克希荷夫電壓定律毋但應用佇咧閉合迴路，嘛會當共伊推廣應用於迴路的部份電路。

電場佮電位

佇咧靜電學內底，電位定義做電場的負線積分：

$ \ phi ( \ mathbf { r } ) { \ stackrel { def } {=} }-\ int _ { \ mathbb { L } } \ mathbf { E } \ cdot \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ , \ ! $；

其中，$ \ phi ( \ mathbf { r } ) $ 是電位，$ \ mathbf { E } $ 是電場，$ \ mathbb { L } $ 是對參考位置到位 $ \ mathbf { r } $ 的路徑，$ \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } $ 是這路徑的微小線元素。

遐爾，克希荷夫電壓定律會使等價表達為：

$ \ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { E } \ cdot d \ mathbf { l }=零 $；

其中，$ \ mathbb { C } $ 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是法拉第電磁感應定律對一个特殊狀況的簡化版本。準講會通過閉合迴路 $ \ mathbb { C } $ 的磁通量為常算，著這方程式成立。

這方程式指明講，電場沿著閉合迴路 $ \ mathbb { C } $ 的線積分做零。共這線切分割做幾逝路，就會當分別計算每一段支路的電壓。

理論限制

因為有時電流會產生含時磁場，通過閉合迴路 $ \ mathbb { C } $ 的磁通量是時間的函數，根據法拉第電磁感應定律，有電動勢 $ { \ mathcal { E } } $ 出現佇咧閉合迴路 $ \ mathbb { C } $。所以乎，電場沿著閉合迴路 $ \ mathbb { C } $ 的線積分袂等於零。這是因為電流會將能量傳遞予磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞予電流。

這對於有電感器的這个電路，必須將克希荷夫電壓定律加以修正。因為有時電流的作用，電路的每一个電感器攏會產生對應的電動勢 $ { \ mathcal { E } } _ { k } $。必須愛共這電動勢納入克希荷夫電壓定律，才會當求著正確的答案。

頻域

思考單頻率交流電路的任意節點，應用克希望荷夫電流定律

$ \ sum _ { k=一 } ^ { n } i _ { k }=\ sum _ { k=一 } ^ { n } I _ { k } \ cos ( \ omega t + \ theta _ { k } )=\ mathrm { Re } { \ Big \ { } \ sum _ { k=一 } ^ { n } I _ { k } e ^ { j ( \ omega t + \ theta _ { k } ) } { \ Big \ } }=\ mathrm { Re } { \ Big \ { } \ left ( \ sum _ { k=一 } ^ { n } I _ { k } e ^ { j \ theta _ { k } } \ right ) e ^ { j \ omega t } { \ Big \ } }=零 $；

其中，$ i _ { k } $ 是第 $ k $ 進入抑是離開這節點的電流，$ I _ { k } $ 是其振幅，$ \ theta _ { k } $ 是其相位，$ \ omega $ 是角頻率，$ t $ 是時間。

對任意時間，這个方程式成立。所以乎，設定相量 $ \ mathbb { I } _ { k }=I _ { k } e ^ { j \ theta _ { k } } $，則會當得著頻域的克希荷夫電流定律，用方程式去表達，

$ \ sum _ { k=一 } ^ { n } \ mathbb { I } _ { k }=零 $。

頻域的克希荷夫電流定律的表明：

這是節點分析的基礎定律。

類似地，對交流電路的任意來結合迴路，頻域的克希荷夫電壓定律的表明：

用方程式去表達，

$ \ sum _ { k=一 } ^ { m } \ mathbb { V } _ { k }=零 $；

其中，$ \ mathbb { V } _ { k } $ 是合迴路的元件兩爿的電壓相量。

這是網目分析（mesh analysis）的基礎定律。

參考

• Paul , Clayton R . Fundamentals of Electric Circuit Analysis . John Wiley & Sons . 兩千空一 . ISBN 九百七十八撨空抹四百七十一撨三刣七千一百九十五刣三 .
• Serway , Raymond A . ; Jewett , John W . Physics for Scientists and Engineers ( 六 th ed . ) . Brooks / Cole . 兩千空四 . ISBN 九百七十八追空七五百三十四抹四四配空八百四十二孵八 .
• Tipler , Paul . Physics for Scientists and Engineers : Electricity , Magnetism , Light , and Elementary Modern Physics ( 五 th ed . ) . W . H . Freeman . 兩千空四 . ISBN 九百七十八追空九七千一百六十七刣八百一十五空 .

外部連結

• 麻省理工學院電機工程系視聽教學：克希荷夫定律。
• 國立交通大學物理系視聽教學：電子學。
• Kirchhoff's circuit laws on Khan Academy