凱澤窗
凱澤窗（Kaiser window）是由貝爾實驗室的 James Kaiser 所提出來的。凱澤窗是一个單參數的窗函數群，用佇咧數位訊號處理中，其定義如下：
- $ w [n]=\ left \ { { \ begin { matrix } { \ frac { I _ { 零 } \ left ( \ pi \ alpha { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { 二 n } { N 影一 } } 影一 \ right ) ^ { 二 } } } \ right ) } { I _ { 零 } ( \ pi \ alpha ) } } , & 零 \ leq n \ leq N 影一 \ \ \ \ 零 & { \ mbox { otherwise } } , \ \ \ end { matrix } } \ right . $
其中：
- _ N _ 為序列的長度
- _ I _ 空是空階的第一類修正貝索函數
- _ α _ 是任意非負實數，用來調整凱澤窗的外形。佇頻域頂懸會使佇伊主瓣（main-lobe）闊度佮邊瓣（side lobe）大細中取抾，這是窗函數設計的重要考量因素。
若是 _ N _ 為奇數，窗函數上大值會佇咧 $ \ scriptstyle w [( N 影一 ) / 二]=一 , $。若是 _ N _ 為偶數，窗函數上大值會佇咧 $ \ scriptstyle w [N / 二嬸一] \=\ w [N / 二] \ < \ 一 . $。
傅立葉變換
若將上述離散數列視做是連紲函數，閣進行傅立葉變換：
- $ \ underbrace { \ frac { I _ { 零 } \ left ( \ pi \ alpha { \ sqrt { 一-\ left ( { \ frac { 二 t } { ( N 影一 ) T } } \ right ) ^ { 二 } } } \ right ) } { I _ { 零 } ( \ pi \ alpha ) } } _ { w _ { 零 } ( t ) } \ quad { \ stackrel { \ mathcal { F } } { \ Longleftrightarrow } } \ quad \ underbrace { \ frac { ( N 影一 ) T \ cdot \ sinh \ left ( \ pi { \ sqrt { \ alpha ^ { 二 }-\ left ( ( N 影一 ) T \ cdot f \ right ) ^ { 二 } } } \ right ) } { I _ { 零 } ( \ pi \ alpha ) \ cdot \ pi { \ sqrt { \ alpha ^ { 二 }-\ left ( ( N 影一 ) T \ cdot f \ right ) ^ { 二 } } } } } _ { W _ { 零 } ( f ) } . $
_ w _ 零 ( _ t _ ) 的上大值為 _ w _ 零 ( 零 ) = 一 . 欲講的 _ w _ [n] 數列做以下函收的取締：
- $ w _ { 零 } \ left ( t-{ \ tfrac { ( N 影一 ) T } { 二 } } \ right ) \ cdot \ operatorname { rect } \ left ( { \ tfrac { t-( N 影一 ) T / 二 } { NT } } \ right ) , $，佇咧閬 T 的時間來進行取樣。
而且 rect ( ) 為矩形函數 . _ W _ 零 ( _ f _ ) 主瓣後的第一个零點佇咧：
- $ f={ \ frac { \ sqrt { 一 + \ alpha ^ { 二 } } } { NT } } , $
調整 _ α _ 會使佇主瓣的闊度佮邊瓣大細中進行取捨。若是 _ α _ 加添，_ W _ 零 ( _ f _ ) 主瓣的闊度增加，抑若邊瓣的大細減細，如右圖所示。_ α _= 空會對應長方形的窗函數。若是 _ α _ 加添，時域佮頻率下凱澤窗的形體攏會接近高斯曲線。凱澤窗佇頻率零附近的集中程度是差不多最佳化（Oppenheim _ et al . _ , 一千九百九十九）。
跤註
參考資料
- Oppenheim , A . V . ; Schafer , R . W . ; Buck J . R . Discrete-time signal processing . Upper Saddle River , N . J . : Prentice Hall . 一千九百九十九 . ISBN 空九十三五七十五五四千九百二十五二 .
- Kaiser , J . F . ( 一千九百六十六 ) . Digital Filters . In Kuo , F . F . and Kaiser , J . F . ( Eds . ) , _ System Analysis by Digital Computer _ , chap . 七 . New York , Wiley .
- Craig Sapp , Kaiser-Bessel Derived Window Examples and C-language Implementation , _ Music 四仔二 / EE 三百六十七 C : Perceptual Audio Coding _ ( Stanford University course page , 兩千空一 ) .