Kansa方法

二十世紀九空年代，E . J . Kansa 欲用佇咧散亂數據來處理佮函數近親像的徑向基函數用佇咧處理偏微分方程，閣提出一種強格式的配點方法。Kansa 所提出的徑向基函數配點方法是真正的無網格方法，誠有容易編程、數學形式簡單、方便掌握等優點。該方法提出無偌久，予學術界講是Kansa 方法( Kansa method )。

因為徑向基函數是採用無需要考慮維數的一維歐幾里德距離作為變量，Kansa 方法適用高維的佮形複雜的問題。Kansa 方法是一種區域型方法，毋但會當佇邊界離散其滿足邊界條件，同時內部配點需要滿足來控制方。

此外，猶閣有一類以徑向基函數做核函數的邊界型徑向基函數配點方法（Boundary-type RBF collocation method）， 如基本解法、邊界節點法、奇異邊界法、邊界粒子法、佮正則化無網格法（Regularized meshless method）等。這類方法選取的基函數（嘛予人叫做核函數）， 通常選取控制方程的基本解抑是通解，因為按呢滿足控制方式。毋但需要佇邊界離散滿足邊界條件即可。

Kansa 方法選取的徑向基函數毋免滿足控制方程，因此選取基函數有閣較大的自由空間。多元二次曲面 ( Multiquadric , MQ ) 函數是 Kansa 方法上捷用的徑向基函數，若選擇恰當的形參數會當得著譜收斂的精度。

概況

Kansa 方法，也叫做改進 MQ 方法抑是 MQ 配點法，源於出名的 MQ 插值。該方法的有效性佮高效性已經得著濟濟問題的驗證。此外，因為部份問題的基本解佮通解不存在，如變成數問題佮非線性問題，Kansa 方法比邊界型徑向基函數配點方法擁有閣較廣闊的應用範圍。

算法介紹

佇咧 d 維物理區域內面考慮以下邊值問題，

$ Lu ( X ) $=$ f ( X ) $ , $ X \ in \ Omega , $ ( 一 )

$ u ( X ) $=$ g ( X ) $ , $ X \ in \ partial \ Omega _ { D } , $ ( 二 )

$ { \ frac { \ partial u ( X ) } { \ partial n } } $=$ h ( X ) $ , $ X \ in \ partial \ Omega _ { N } , $ ( 三 )

其中 _ L _ 代表微分算子，_ d _ 為問題的維數，$ \ partial \ Omega _ { D } $ , $ \ partial \ Omega _ { N } $ 分別代表狄利克雷邊界佮諾伊曼邊界而且 $ \ partial \ Omega _ { D } \ cup \ partial \ Omega _ { N }=\ partial \ Omega $。 Kansa 方法通過徑向基函數的線性組合來逼近待求的函數，即：

$ { { u ( X ) } ^ { * } } $=$ \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { N } \ alpha _ { i } \ phi \ left ( r _ { i } \ right ) $ , ( 四 )

其中 $ { { \ alpha } _ { i } } $ 為待求參數，$ \ phi \ left ( r _ { i } \ right ) $ 代表徑向基函數，如 MQ 函數。 共確保所求函數的唯一性，佇上式正爿添加一組幾若項式：

$ { { u ( X ) } ^ { * } } $=$ \ sum \ limits _ { i=一 } ^ { N } \ alpha _ { i } \ phi \ left ( r _ { i } \ right ) $ + $ \ sum \ limits _ { k=一 } ^ { M } \ alpha _ { k + N } \ gamma _ { k } \ left ( X \ right ) $ , ( 五 )

其中 $ { { \ gamma } _ { k } } ( X ) $ 為多項式。徑向基插值形式 ( 四 ) 和 ( 五 ) 攏定定應用佇計算中間。( 四 ) 式的形式簡單較會掌握而且佇大多數的情形之下攏會當得著較好的計算結果，因此在工程領域使用廣泛；( 五 ) 式的形式嚴謹而且理論基礎堅實，所以數學工作者偏於採用後者。 將 ( 四 ) 抑是 ( 五 ) 代入方程組 ( 一 )-( 三 ) 會當下線性方程組：

$ A \ alpha=b $ , ( 六 )

其中，

$ \ mathbf { A }=\ left ( { \ begin { matrix } L ( { \ phi } ) & L ( { \ gamma } ) \ \ { \ phi } & { \ gamma } \ \ { \ frac { \ partial { \ phi } } { \ partial n } } & { \ frac { \ partial { \ gamma } } { \ partial n } } \ \ { \ gamma } & 零 \ \ \ end { matrix } } \ right ) $ , $ \ mathbf { b }=\ left ( { \ begin { matrix } f \ \ g \ \ h \ \ 零 \ \ \ end { matrix } } \ right ) $ , $ { \ phi } $=$ \ phi \ left ( x _ { i } , x _ { j } \ right ) $ , $ { \ gamma } $=$ \ gamma _ { k } \ left ( X _ { i } \ right ) $ . ( 七 )

通過求解以上線性方程組，會當求解待定參數 $ { { \ alpha } _ { i } } $，根據 ( 四 ) 抑是 ( 五 ) 式即可得著待求函數。

歷史佮最近發展

偏微分方程的數值求解通常採用有限差分法，有限單元法抑是這个邊界單元法。有限差分法通常需要規則的網格系統，真歹處理無規則區域的問題。比之有限的分法，有限單元法會當適合處理閣較複雜的形狀，毋過網格的劃分佮其再劃分佇計算時猶原袂當避免。邊界單元法咧處理一寡工程的問題效果顯示，比如講反問題、沒有限域問題佮薄壁結構問題。毋過，邊界單元法受著控制方程的基本解歹確定，使其應用的範圍受著約束。

近來幾十冬，因為標準有限單元法佮邊界單元法咧處理高維、移動邊界和複雜邊界等等的問題需要了遮爾大的計算成本，無網格抑是無單元方法受著極濟關注。Kansa 方法是一種真正的無網格的方法，無需要劃分網格佮單元是通過徑向基函數（如 MQ 函數）佇配置的所在滿足相關的條件就會當。

雖然經過濟濟學者的研究，毋過猶原欠缺著 Kansa 方法嚴謹的數學證明。另外咧，混合邊界會破壞插值陣的對稱性。文獻講著的對稱埃爾米特徑向基函數插值方案 ( Hermite RBF collocation scheme ) 其實會當解性有可靠的數值分析。其中，Kansa 方法佮對講埃爾米特方法攏存在一个共同的問題，隔壁邊界節點的數值解精度比內部節點較低一分二个數量級。邊界較微分方程配點 ( The PDE collocation on the boundary , PDECB ) ) 方案會當消除這一缺陷。毋過，這一方案欠缺數學上的理論支持而且需要佇邊界附近的區域內抑是區域外設置一系列節點，所以佇處理複雜的區域抑是加連通的問題足複雜。隨後提出的一種相𫝛處理方式，佇仝款的邊界節點仝時滿足控制方程佮邊界條件，而且欠缺佇產生的插值方式是毋著稱的而且方法本身仝款欠缺明確的理論基礎。通過使用第二格林公式，改進的 Kansa 方法會當彌補以上欠陷。

對於 MQ 函數，其插值毋著差決定家己所形參數，按怎選就是拄好的形參數佮關於 MQ 徑向基函數的一寡數學理論會當參見以下文獻。

Kansa 方法廣泛應用於計算科學。中 Kansa 方法用於求解雞卵行、雙曲型佮拋物型三類偏微分方程。Kansa 近來嘛應用佇咧求解各類常微分佮偏微分方程，包括兩相佮三相透模型的組織工程問題，衝擊波下的一維非線性 Burger 四角勢，潮汐佮海流模擬中的淺水方程，熱傳導方程，自由邊界問題，分數階擴散方程。

其他

• 徑向基函數
• 基本解法
• 邊界節點法
• 邊界粒子法
• 奇異邊界法

相關網站

• Modified Kansa method