算術研究

《算術研究》（_Disquisitiones Arithmeticae_）是德國數學家卡爾 ・ 被里德里希望 ・ 高斯佇一七九八年寫成的一本數論教材，佇一八Ｏ一年伊二十四歲的時頭一改出版。全書用拉丁文寫做。佇這本冊中高斯整理匯集了費馬、歐拉、搝格朗日佮勒讓德等等數學家佇數論方面的研究結果，並加入真濟伊家己的重要成果。

寫作歷史

高斯一七九六年就準備欲寫一本數論的著作。一年後，伊完成矣初稿。一七九七年十一月，高斯開始對初稿進行重寫佮修訂，使成做會當印刷出來的成熟版本。製本所以印刷一七九八年四月開始，毋過因為機器的原因，速度沓沓仔。毋過這嘛使得高斯有時間補充一寡新的內容，特別是第五章的二次互反律的部份：一八空一年夏季終出版的時陣的長度已經是初稿的兩倍。

主題

《 算術研究》包括了初等數論佮這馬講做代數論領域的一部份。毋過，高斯佇咧書中並無熟似著抽象代數的核心：群的概念，所以伊無摻以應用。高斯將這本冊的主題定位為伊所講的「高等算術」。 佇這本冊的序一開頭，高斯明確地講著：

內容

全冊有六百五十五頁，分做七个部份共三百三十五篇文章，由淺入深，對同餘理論起步，探討仝款齊餘、仝款在程佮二改賰的理論。佇兩改賰的理論當中，辜振甫佇咧前人的基礎頂頭回予出兩回互反律的證明。其後高斯閣提出雙二次互反律佮三次互反律，並對所謂的高斯整數進行矣研究，得著代數論的一寡基本成果。

第一部份：仝款的概論。建立了到今仔日猶閣佇咧使用的仝款的概念佮紀號。

第二个部份：按呢主要咧研究線性仝款，予出矣算基本定理、絞起來除法、中國賰的定理等初等數論的基本結果。

第三部份：「 冪賰餘論」。 討論了費馬小定理、原根的存在性佮威爾遴定理。

前三部份的內容大攏是其他數學家的成果，但是高斯是首個將這寡成果系統地匯集佇咧一本冊內底的人。伊嘛是首個意識著唯一分解定理之重要性的人。

進入彼第四部份了後，大部份內容便是高斯的原創矣。

第四部份：「 二改同餘論」。 重點討論兩改賰的理論。高斯提出伊看做「對中會當捒甲強欲所有佮二改賰的物件有關係的」的「基礎定理」的二次互反律：

若是 _ p _ 是形式為四 _ n _ + 一，遐爾 _ p _（若是 _ p _ 是形式為四 _ n _ + 三哪會-_ p _）是模仔逐个為模仔 _ p _ 的兩改賰落來（有賰無）的質數的二改賰落來（有賰無）。

高斯將這个命題分做偌攏獨獨情形，然後用歸納法予出頭一个證明，並且運用這个定理會著一寡基本結果。

第五部份：「 二次型佮二次無定方程」。 這一部份占全書的一半有偌，高斯研究了模 _ p _ 仝款餘中的整係數二次型以及二次型本徵等價的性質，得著整數表示為二次的形式一般規律。了後高斯閣研究兩回型的分類以及約簡。並且佮雙二次互反律佮三次互反律的研究。

第六部份：前五章結論的應用。前五章，特別是第四、五章得著的豐富成果予得佇這章用來解決真濟問題。高斯討論了分數分解，十進展開佮二改仝款的問題，並且提出兩个素性檢驗的方法。

第七部份：分圓外項式佮尺規作圖。高斯探求尺規作圓內接正多邊形的辦法，並且出圓內接正十九邊形和正十七邊形的做法。並且得著所謂的「高斯和」的概念佮一寡相關成果。

高斯捌寫過《算術研究》的第八部份，探討閣較懸遍的同餘方程，猶毋過並無完成。草稿佇伊過身了後分批出版。

影響

佇咧《算術研究》發表較早，數論研究只是一寡孤立定理佮猜想。高斯頭一改共遮的零星的結果加以系統的處理，修補佮改進了往過的證明，並且佇這以上發展出著家己的系列理論佮成果。《算術研究》是現代數論研究的開端。

《 算術研究》一冊的邏輯結構—— 聲明定理、共出證明，才閣共出系理抑是推論—— 為以後的教科書咧編寫提供一个模樣，成做後世教材的標準結構。為著使讀者會當理解證明的邏輯思路，高斯咧證明了後會共出相應的例，這點嘛為後來的教材所採用。

《 算術研究》亦是十九世紀歐洲數學家如庫默爾、狄利克雷佮戴德金等人著冊的出發點。𪜶繼續承高斯的研究。真濟《算術研究》中的評註佮無證明的命題成做新的研究熱點。就算到二十世紀，《 算術研究》猶閣佇產生影響。比如講第五部份中高斯簡要的講伊關於虛二次域類數的計算，並且猜想伊已經揣著矣所有的類數為一、二和三的虛二次域。這个後來講是類數問題的猜想一直到一九八六年才得著肯定的答案。仝款佇第五部份，高斯證明會當予人解說做黎曼猜想的第一類非平凡的情形：哈斯-韋他定理。

譯本佮相關的作為

《 算術研究》雖然是一部十分重要的數論作穡，但是全書以拉丁文寫就，內容深奧難捌，所以共翻譯做各國的語言佮進行注釋闡述的工課一直不斷。一八空七年，《 算術研究》的法文譯本出版。一八六三年，狄利克雷寫矣《數論講義》（Vorlesungen über Zahlentheorie）一冊，著《算術研究》作了明度的闡釋。一八八九年德文翻譯本出版。一九五九年出版矣俄文譯本；一九六五年出版矣英文版。

引用

《 算術研究》定定予人引用，出現佇各種數學論文、著作佮教材的注釋中。引用的時陣一般簡寫為「DA」。

評價

• 「高斯捌講：『 數學是科學的女皇，數論講是數學的女皇。』若這是真理，咱閣會當補充一點仔：《 算術研究》是數論的憲章。」——莫里茨 ・ 康托
• 「此書（《 算術研究》）是一粒袂漚的豐碑，表示人類思想所會達到的光景的廣度佮予人驚嘆的深度。」——愛德華 ・ 盧卡斯
• 「眾書之王」——利奧波德 ・ 克羅內克
• 「高斯第一遍將數學的這个部份（數論）變做一門獨立的科學，而且《算術研究》是頭一部詳盡系統的著作。…… 因為雅可比佮狄利克雷…… 這本二十年來一直予七道漆封的著作變做為著當代的數學。…… 封漆猶未完全解開。」——約翰 ・ 西奧多 ・ 梅茲
• 「數論捌一度止步無前，……這就是為啥物深奧而新穎的《算術研究》預示高斯欲成做歐洲上偉大的頭腦之一。」——路易 ・ 潘索

參見

• 數論
• 卡爾 ・ 被里德里希望 ・ 高斯
• 二次互反律