A散赤的代數

A 散赤的代數（A-infinity algebra，抑是 $ \ ; A _ { \ infty } \ ; $-algebra）是吉姆 ・ 斯塔謝夫（Jim Stasheff）佇一九六空年代研究 H-空間的乘法的結合性的時陣發現的一種代數結構，閣叫做強同倫結合代數（strongly homotopy associative algebra）。 一九七空年代陳國才（K .-T . Chen）和 T . V . Kadeishvili 佇一个流形的同調群上用無仝的方法隨人發現一種 A 不窮的代數結構。一九九空年代深谷賢治佇咧研究辛流形的拉格朗日 Floer 同調（Lagrangian Floer Homology）的時陣推廣斯塔謝夫的概念，這號做 A 無窮範圍（A-infinity category，$ \ ; A _ { \ infty } \ ; $-category）。 一般數學家共深谷的發現叫做深谷範圍（Fukaya category）。

定義

設 $ \ ; V \ ; $ 是數域 $ \ ; k \ ; $ 上的一个分次線性空間。$ \ ; V \ ; $ 上的一个A 散赤的代數結構是一組映射

$ \ ; m _ { n } : V ^ { \ otimes n } \ to V , \ quad m _ { n } \ ; $ 的度數為 $ \ ; n 鋪二 , \ ; $ 滿足以下四組關係：

一 . $ \ ; m _ { 一 }=d \ ; $ 是一个微分，即 $ \ ; d ^ { 二 }=零 ; \ ; $ 二 . $ \ ; m=m _ { 二 } : V \ otimes V \ to V \ ; $ 是一个電影射，換言之 $ \ ; d \ circ m=m \ circ d ; \ ; $ 會當共 $ \ ; m _ { 二 } \ ; $ 來看成一个乘法，並且這个乘法會當降到仝調起去； 三 . $ \ ; m _ { 三 } : V ^ { \ otimes 三 } \ to V \ ; $ 是乘法 $ \ ; m \ ; $ 關於著結合律的同倫，即 $ \ ; a \ cdot ( b \ cdot c ) \ neq ( a \ cdot b ) \ cdot c , \ ; $ 是咧同倫的意義下是結合的：$ \ ; m _ { 三 } d + dm _ { 三 }=m ( m \ otimes Id )-m ( Id \ otimes m ) ; \ ; $ 四 . $ \ ; m _ { 四 } , \ cdots \ ; $ 是高階同倫，即 $ \ ; m _ { 四 } \ ; $ 是 $ \ ; m _ { 三 } \ ; $ 的同倫，$ \ ; m _ { 五 } \ ; $ 是 $ \ ; m _ { 四 } \ ; $ 的同倫等等，換言之 $ m _ { n } d-( 影一 ) ^ { n } dm _ { n }=\ sum _ { i + j=n + 一 , i , j \ geq 二 } ( 影一 ) ^ { j } m _ { i } \ circ m _ { j } . \ ; $

按頂懸的定義會當看出，對著一个 A 散赤的代數，伊的同調實際上形成一个結合代數。這也就是一個 A 散赤的代數叫做強同倫結合代數的原因。

等價定義

若讀者熟似余代數的概念，遐爾考慮著 $ \ ; V \ ; $ 的元素度數降低一然後生成的張量代數，記為 $ \ ; TV [一] \ ; $。$ \ ; TV [一] \ ; $ 上有一个自然的余積，為

$ \ ; \ Delta ( a _ { 一 } \ otimes a _ { 二 } \ otimes \ cdots \ otimes a _ { n } )=\ sum _ { i=零 } ^ { n } a _ { 一 } \ otimes \ cdots \ otimes a _ { i } \ bigotimes a _ { i + 一 } \ otimes \ cdots \ otimes a _ { n } . \ ; $ 從而使 $ \ ; TV [一] \ ; $ 成做一个上代數。$ \ ; V \ ; $ 上的一个A 不窮的代數結構就是講 $ \ ; TV [一] \ ; $ 上的一个余導子（coderivation）$ \ ; \ delta \ ; $ 並且滿足 $ \ ; \ delta ^ { 二 }=零 \ ; $。就關於這兩个定義的等價性證明會當參考下跤 Markl-Shnider-Stasheff 的冊。

詳解

Stasheff 是按怎得著 A 不窮代數的結構的？咱下跤以一个具體的例，仝時陣嘛是 Stasheff 所考慮的原型來說明。設 $ \ ; M \ ; $ 是一个拓撲空間，$ \ ; x \ ; $ 替其頂一點。記

$ \ Omega M :=\ { f : [零 , 一] \ to M | f ( 零 )=f ( 一 )=x \ } , \ ; $ 這號做 $ \ ; M \ ; $ 的環路空間（based loop space）。 佇咧 $ \ ; \ Omega M \ ; $ 上咱會使定義一種乘法，如下：任予 $ \ ; \ gamma _ { 一 } , \ gamma _ { 二 } \ in \ Omega M \ ; $，

$ \ ; \ gamma _ { 一 } \ circ \ gamma _ { 二 } :={ \ begin { cases } \ gamma _ { 一 } ( 二 x ) , & { \ mbox { if } } 零 \ leq x < { \ frac { 一 } { 二 } } \ \ \ gamma _ { 二 } ( 二 x 影一 ) , & { \ mbox { if } } { \ frac { 一 } { 二 } } \ leq x \ leq 一 . \ end { cases } } $ 回憶學習基本群的時陣，阮攏驗證過按呢的乘法並毋是結合的，但是同倫的意義之下是結合的：伊無難構造這種同倫，記為 $ { \ tilde { m } } _ { 三 } $，

$ { \ tilde { m } } _ { 三 } : [零 , 一] \ times [零 , 一] \ to M , $ 予得 $ { \ tilde { m } } _ { 三 } ( 零 , \ cdot )=( \ gamma _ { 一 } \ circ \ gamma _ { 二 } ) \ circ \ gamma _ { 三 } ( \ cdot ) , { \ tilde { m } } _ { 三 } ( 一 , \ cdot )=\ gamma _ { 一 } \ circ ( \ gamma _ { 二 } \ circ \ gamma _ { 三 } ) ( \ cdot ) \ ; $。對於 $ \ ; \ Omega M \ ; $ 內底的四个元素，阮有下跤五種乘法，𪜶是互相仝倫的，如下圖所示：

圖內底一表示恆同映射。按呢咱就得著一个以圓周 $ \ ; S ^ { 一 } \ ; $ 為參數的一捾對 $ \ ; [零 , 一] \ ; $ 到 $ \ ; M \ ; $ 的映射。事實上因為遮的影射的像攏是足重合的，因為阮實際上會當共這串影射延到以 $ \ ; S ^ { 一 } \ ; $ 為邊的圓盤 $ \ ; D ^ { 二 } \ ; $ 上，即為同倫之間的同倫，記為 $ \ ; { \ tilde { m } } _ { 四 } \ ; $。按呢一直振興落去，咱就得著 $ \ ; { \ tilde { m } } _ { 五 } , { \ tilde { m } } _ { 六 } , \ cdots \ ; $，等咧。佇鏈水平頂懸，阮共 $ \ ; { \ tilde { m } } _ { n } \ ; $ 對應的映射記做 $ \ ; m _ { n } \ ; $，是袂歹看出 $ \ ; m _ { n } \ ; $ 就是滿足頂懸 A 散赤代數定義的遐的算子。

例

一 . 一个平凡的例是，任何一个（微分分次）結合代數攏是一个 A 散赤的代數。遮只要予 $ \ ; m _ { 三 } , m _ { 四 } , \ cdots \ ; $ 攏等於零就著矣。 二 . 除了 Stasheff 的例佮頂頭這个平凡的例以外，陳國才佮 Kadeishvili 利用流形的微分形式也構造一寡 A 無散的例，其中陳國才的構造閣較是深，成做有理同倫論（rational homotopy theory）中一个重要的理論。予定一个流形，考慮伊頂懸的微分形式，這是一个微分次代數（differential graded algebra , DGA）， 同時咱閣會當考慮伊的上同調，以一个平凡的微分，則伊嘛形成一个微分分次代數。但是這兩个微分次代數毋是鏈等價的！譬論講，根據霍奇理論咱會當共上同調用調和形式作為代表，這款的不等價性表現佇兩个調和形式的外積無一定是調和的。根據霍奇分解，咱會當共這款的乘積閣投射著調和形式內底去，但是按呢來的定義出來的乘法煞不再是結合的，但是同倫的意義下結合。以此，實際上咱得著一種A 散赤的代數。這就是陳國才佮 Kadeishvili 以及後來研究者的基本思路，但是陳國才行的閣較遠，伊實際上表示這種 A 散赤代數佮流形的環路空間的楦闊之間的關係，猶閣有遮的 A 散赤代數的佇某一寡情形下跤的退化佮流形本身的一寡拓捕障礙有關係，佮 Sullivan 尾仔研究彼个流形的形式化（formality）欲相𫝛的所在。

科祖對偶和有理同倫論

Stasheff 的 A 無窮代數的概念自然出現佇咧關於一般代數結構的分解（resolution）的理論內底。予定一个代數結構，阮希望會當通過對伊的分解看清其中的結構（對比流形，按呢分解就是波斯尼科夫塔）。 這其中，咱所講的科祖分解是一種非常有效的分解方式，而且 A 足無窮的代數是足自然出現佇咧結合代數的 Koszul 分解過程當中：對一个結合代數，伊的科祖分解有一个 A 不窮的代數結構，啊若這个 A 散赤代數的科祖分解閣是一个 A 散赤的代數，如此不已。猶毋過，原來的結合代數佮兩改科祖分解了後得著的 A 不窮代數實際上是鏈等價的，第二个分解佮第四个分解嘛是按呢，按呢循環。這就是所謂的科祖嘿尪仔（Koszul duality）的概念。

對李代數佮交換代數，咱平平會當進行科祖分解。一个李代數的科祖分解有一个 C 散赤的代數（C 是交換 commutativity 的英文縮寫）結構，啊若一个交換代數的科祖分界有一个李無窮代數結構。所謂李無窮代數和 C 散赤的代數，正如 A 這个無窮的代數仝款，𪜶的同調分別是李代數和交換代數。李代數和交換代數分別是一種特殊的李無窮代數和 C 散赤的代數。由一个李代數經過科祖分解了後到 C 散赤的代數然後閣再過科祖分解到李無窮的代數，所得的這兩个李無窮代數實際上是同倫等價的，著這交換代數嘛是按呢。因此咱會當講，李代數和交換代數是互相科祖嘿偶的。這个結論實際上是奎倫佇咧有理同倫論中發現的，伊閣證明，有理係數下，這兩个代數組成的範圍攏佮拓撲中的有理同倫型（rational homotopy type）組成的範圍是一个價圍（有一寡單佇咧連通性的條件）。 後來 Sullivan 通過考察流形的微分形式，得著類似的結果，但是更幾何，閣較直觀。

A 無窮範圍

考慮一个範圍 $ \ ; { \ mathfrak { C } } \ ; $。對其中的四个對象佮其中之間態射

$ \ ; A { \ stackrel { f } { \ longrightarrow } } B { \ stackrel { g } { \ longrightarrow } } C { \ stackrel { h } { \ longrightarrow } } D , \ ; $ 阮有

$ \ ; ( f \ circ g ) \ circ h=f \ circ ( g \ circ h ) , \ ; $ 這顯示講遮的態射之間有一種結合性。一个 A 無窮範圍就是拍破遮的結合性，使之成為咧同倫的意義下是結合的，同時有高階同倫算子，成做同倫的同倫，同倫的同倫的同倫，等咧。因此一个 A 無窮範圍並毋是一个範圍，是同倫意義下的範圍：伊的「同調」形成一个範圍。

深谷咧研究辛拓撲的時陣發現著這 A 無窮範圍的結構。予一个辛流形，考慮其中的拉格朗日子流形（Lagrangian submanifold）。 著其中凊彩兩个搝格朗日子流形，考慮所謂的拉格朗日 Floer 鏈復形，形成所謂的態射。深谷發現遮的態射之間會當定義乘法，毋過這个乘法本身無結合毋過一个倫意義落結合，伊並且構造了高階同倫算子，使一个成做一个 A 無窮範圍，這馬叫做深谷範圍。

相關概念

• B 散赤的代數（$ \ ; B _ { \ infty } \ ; $-algebra）
• C 散赤的代數（$ \ ; C _ { \ infty } \ ; $-algebra）
• E 散赤的代數（$ \ ; E _ { \ infty } \ ; $-algebra）
• G 散赤的代數（$ \ ; G _ { \ infty } \ ; $-algebra）
• 李無窮代數（$ \ ; L _ { \ infty } \ ; $-algebra）

參考文獻

Stasheff 關於著 A 不窮代數的構造見：

• Stasheff , James Dillon , _ Homotopy associativity of $ H $-spaces . I , II . _ Trans . Amer . Math . Soc . 一百空八 ( 一千九百六十三 ) , 兩百七十五孵兩百九十二 ; ibid . 一百空八一千九百六十三兩百九十三孵三百十二 .
• Markl , Martin ; Shnider , Steve ; Stasheff , Jim , _ Operads in algebra , topology and physics . _ Mathematical Surveys and Monographs , 九十六 . American Mathematical Society , Providence , RI , 兩千空二 .

陳國才的 $ \ ; A _ { \ infty } \ ; $-代數的構造，並毋是佇咧文章內底明顯予出來的，但是袂歹推，見：

• Chen , Kuo Tsai , _ Iterated path integrals . _ Bull . Amer . Math . Soc . 八十三 ( 一千九百七十七 ) , no . 五 , 八百三十一孵八百七十九 .

Kadeishvili 的文章發表佇一九八空年，作者後來重新整理，題為 On the homology theory of fiber spaces。原文見：

• Kadeishivili , T . V . , _ On the theory of homology of fiber spaces . _ ( Russian ) International Topology Conference ( Moscow State Univ . , Moscow , 一千九百七十九 ) . Uspekhi Mat . Nauk 三十五 ( 一千九百八十 ) , no . 三 ( 兩百十三 ) , 一百八十三石一百八十八 .

關於著 Koszul 嘿尪仔，上經典的文章見：

• Ginzburg , Victor ; Kapranov , Mikhail , _ Koszul duality for operads . _ Duke Math . J . 七十六 ( 一千九百九十四 ) , no . 一 , 兩百空三石兩百七十二 .

Quillen 的有理同倫論，見：

• Quillen , Daniel , _ Rational homotopy theory . _ Ann . of Math . ( 二 ) 九十一千九百六十九兩百空五孵兩百九十五 .

Sullivan 的有理同倫論，見：

• Sullivan , Dennis , _ Infinitesimal computations in topology . _ Inst . Hautes Études Sci . Publ . Math . No . 四十七 ( 一千九百七十七 ) , 兩百六十九九九三百三十一 ( 一千九百七十八 ) .

關於著 Fukaya 範圍，見伊的主頁上的文章，以及

• Fukaya , Kenji , _ Morse homotopy , $ A \ sp \ infty $-category , and Floer homologies . _ Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology'九十三 ( Seoul , 一千九百九十三 ) , 一孵一百空二 , Lecture Notes Ser . , 十八 , Seoul Nat . Univ . , Seoul , 一千九百九十三 .