反雙曲函數

反雙曲函數是雙曲函數的反函數。佮反圓函數無仝的所在是伊的前綴是ar意即 area（面積）， 毋是 arc（弧）。 因為雙曲角是以雙曲線、通過原點直線以及其著 x 軸的映射三者之間所挾面積定義的，若圓角是以弧長佮半徑的比值定義。

數學符號

符號 $ \ mathrm { sinh } ^ { 影一 } , \ mathrm { cosh } ^ { 影一 } $ 等定用著 $ \ mathrm { arsinh } , \ mathrm { arcosh } $ 等。但是這種符號有時陣佇咧 $ \ mathrm { sinh } ^ { 影一 } x $ 和 $ { \ frac { 一 } { \ mathrm { sinh } x } } $ 之間易造成混淆。

主值

下表列出基本的反雙曲函數。

反雙曲函數的導數

$ { \ begin { aligned } { \ frac { d } { dx } } \ operatorname { arsinh } \ , x & { }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一 + x ^ { 二 } } } } \ \ { \ frac { d } { dx } } \ operatorname { arcosh } \ , x & { }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { x ^ { 二 } 影一 } } } , \ qquad x > 一 \ \ { \ frac { d } { dx } } \ operatorname { artanh } \ , x & { }={ \ frac { 一 } { 一-x ^ { 二 } } } , \ qquad | x | < 一 \ \ { \ frac { d } { dx } } \ operatorname { arcoth } \ , x & { }={ \ frac { 一 } { 一-x ^ { 二 } } } , \ qquad | x | > 一 \ \ { \ frac { d } { dx } } \ operatorname { arsech } \ , x & { }={ \ frac { 影一 } { x { \ sqrt { 一-x ^ { 二 } } } } } , \ qquad x \ in ( 零 , 一 ) \ \ { \ frac { d } { dx } } \ operatorname { arcsch } \ , x & { }={ \ frac { 影一 } { | x | { \ sqrt { 一 + x ^ { 二 } } } } } , \ qquad x { \ text { ≠ } } 零 \ \ \ end { aligned } } $

求導範例： 設 _ θ _=arsinh _ x _，著：

$ { \ frac { d \ , \ operatorname { arsinh } \ , x } { dx } }={ \ frac { d \ theta } { d \ sinh \ theta } }={ \ frac { 一 } { \ cosh \ theta } }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一 + \ sinh ^ { 二 } \ theta } } }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一 + x ^ { 二 } } } } $

冪級數展開式

$ \ operatorname { arsinh } \ , x $

$=x-\ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 二 \ cdot 四 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 五 } } { 五 } }-\ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 七 } } { 七 } } + \ cdots $

$=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 二 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right ) { \ frac { x ^ { 二 n + 一 } } { ( 二 n + 一 ) } } , \ qquad \ left | x \ right | < 一 $

$ \ operatorname { arcosh } \ , x $

$=\ ln 二 x-\ left ( \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 鋪二 } } { 二 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 二 \ cdot 四 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 扳四 } } { 四 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } } \ right ) { \ frac { x ^ { ma六 } } { 六 } } + \ cdots \ right ) $

$=\ ln 二 x-\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 二 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right ) { \ frac { x ^ { 鋪二 n } } { ( 二 n ) } } , \ qquad x > 一 $

$ \ operatorname { artanh } \ , x=x + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } } + { \ frac { x ^ { 五 } } { 五 } } + { \ frac { x ^ { 七 } } { 七 } } + \ cdots=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { 二 n + 一 } } { ( 二 n + 一 ) } } , \ qquad \ left | x \ right | < 一 $

$ \ operatorname { arcsch } \ , x=\ operatorname { arsinh } \ , x ^ { 影一 } $

$=x ^ { 影一 }-\ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) { \ frac { x ^ { ma三 } } { 三 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 二 \ cdot 四 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 鋪五 } } { 五 } }-\ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 鋪七 } } { 七 } } + \ cdots $

$=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 二 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right ) { \ frac { x ^ {-( 二 n + 一 ) } } { ( 二 n + 一 ) } } , \ qquad \ left | x \ right | < 一 $

$ \ operatorname { arsech } \ , x=\ operatorname { arcosh } \ , x ^ { 影一 } $

$=\ ln { \ frac { 二 } { x } }-\ left ( \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 二 } } { 二 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 二 \ cdot 四 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 四 } } { 四 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 六 } } { 六 } } + \ cdots \ right ) $

$=\ ln { \ frac { 二 } { x } }-\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 二 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right ) { \ frac { x ^ { 二 n } } { 二 n } } , \ qquad 零 < x \ leq 一 $

$ \ operatorname { arcoth } \ , x=\ operatorname { artanh } \ , x ^ { 影一 } $

$=x ^ { 影一 } + { \ frac { x ^ { ma三 } } { 三 } } + { \ frac { x ^ { 鋪五 } } { 五 } } + { \ frac { x ^ { 鋪七 } } { 七 } } + \ cdots $

$=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ {-( 二 n + 一 ) } } { ( 二 n + 一 ) } } , \ qquad \ left | x \ right | > 一 $

$ \ operatorname { arcosh } ( 二 x ^ { 二 } 影一 )=二 \ operatorname { arcosh } x $

$ \ operatorname { arcosh } ( 二 x ^ { 二 } + 一 )=二 \ operatorname { arsinh } x $

反雙曲函數無定積分

$ { \ begin { aligned } \ int \ operatorname { arsinh } \ , x \ , dx & { }=x \ , \ operatorname { arsinh } \ , x-{ \ sqrt { x ^ { 二 } + 一 } } + C \ \ \ int \ operatorname { arcosh } \ , x \ , dx & { }=x \ , \ operatorname { arcosh } \ , x-{ \ sqrt { x ^ { 二 } 影一 } } + C , \ qquad x > 一 \ \ \ int \ operatorname { artanh } \ , x \ , dx & { }=x \ , \ operatorname { artanh } \ , x + { \ frac { 一 } { 二 } } \ ln \ left ( 一-x ^ { 二 } \ right ) + C , \ qquad | x | < 一 \ \ \ int \ operatorname { arcoth } \ , x \ , dx & { }=x \ , \ operatorname { arcoth } \ , x + { \ frac { 一 } { 二 } } \ ln \ left ( x ^ { 二 } 影一 \ right ) + C , \ qquad | x | > 一 \ \ \ int \ operatorname { arsech } \ , x \ , dx & { }=x \ , \ operatorname { arsech } \ , x + \ arcsin \ , x + C , \ qquad x \ in ( 零 , 一 ) \ \ \ int \ operatorname { arcsch } \ , x \ , dx & { }=x \ , \ operatorname { arcsch } \ , x + \ left | \ operatorname { arsinh } \ , x \ right | + C , \ qquad x \ neq 零 \ end { aligned } } $

使用分部積分法佮頂頭的簡單導數真容易會出𪜶。

外部連結

• Inverse trigonometric functions at MathWorld

參見

• 雙曲函數