伴隨矩陣

佇線性代數內底，一个方形矩陣的伴隨矩陣（英語：adjugate matrix）是一个類似逆矩陣的概念。如果矩陣會當倒反，遐爾仔伊的逆矩陣佮伊的伴隨矩陣之間干焦差一个係數。毋過，伴隨矩陣對袂使顛倒的矩陣嘛有定義，並且無需要用到除法。

$ \ mathbf { A } $的伴隨矩陣記作 $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) $，抑是 $ \ mathbf { A } ^ { * } $。

定義

設 _ R _ 是一个交換環，A是一个以 _ R _ 中元素為係數的 _ n _ × _ n _ 矩陣。_ A _ 的伴隨矩陣會當如此下步驟定義：

• 定義：A關於著第 _ i _ 行第 _ j _ 列的餘子式（記作Mij）是去掉A的第 _ i _ 行第 _ j _ 列了後得著的 ( _ n _ − 一 ) × ( _ n _ − 一 ) 矩陣的行列式。
• 定義：A關於著第 _ i _ 行第 _ j _ 列的代數餘子式是：

: $ \ mathbf { C } _ { ij }=( 影一 ) ^ { i + j } \ mathbf { M } _ { ij } $。

• 定義：A的余子矩陣是一个 _ n _ × _ n _ 矩陣C，其實會使第 _ i _ 行第 _ j _ 列的元素是A關於著第 _ i _ 行第 _ j _ 列的代數餘子式。

引入以上的概念了後，會當定義：矩陣A的伴隨矩陣是A的余子矩陣的轉置矩陣：

$ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } )=\ mathbf { C } ^ { T } $，

也就是講，A的伴隨矩陣是一个 _ n _ × _ n _ 矩陣（記作 adj (A)）， 其實會使第 _ i _ 行第 _ j _ 列的元素是A關於著第 _ j _ 行第 _ i _ 列的代數餘子式。 我簡單講，伴隨矩陣就是共原來余子矩陣 C每一列的代數餘子式橫的寫：

$ \ left [\ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) \ right] _ { ij }=\ mathbf { C } _ { ji } $。

例

二 x 二矩陣

一个 $ 二 \ times 二 $ 矩陣 $ \ mathbf { A }={ \ begin { bmatrix } { a } & { b } \ \ { c } & { d } \ end { bmatrix } } $ 伊的伴隨矩陣是

$ \ operatorname { adj } ( \ mathbf { A } )={ \ begin { bmatrix } \ , \ , \ , { d } & \ ! \ ! {-b } \ \ {-c } & { a } \ end { bmatrix } } $

三 x 三矩陣

對於 $ 三 \ times 三 $ 矩陣，情形小可仔有複雜一寡：

$ \ mathbf { A }={ \ begin { bmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & a _ { 十三 } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } & a _ { 二十三 } \ \ a _ { 三十一 } & a _ { 三十二 } & a _ { 三十三 } \ end { bmatrix } } $

其實凊彩陣是：

$ \ operatorname { adj } ( \ mathbf { A } )={ \ begin { bmatrix } + { \ begin { vmatrix } a _ { 二十二 } & a _ { 二十三 } \ \ a _ { 三十二 } & a _ { 三十三 } \ end { vmatrix } } &-{ \ begin { vmatrix } a _ { 十二 } & a _ { 十三 } \ \ a _ { 三十二 } & a _ { 三十三 } \ end { vmatrix } } & + { \ begin { vmatrix } a _ { 十二 } & a _ { 十三 } \ \ a _ { 二十二 } & a _ { 二十三 } \ end { vmatrix } } \ \ & & \ \-{ \ begin { vmatrix } a _ { 二十一 } & a _ { 二十三 } \ \ a _ { 三十一 } & a _ { 三十三 } \ end { vmatrix } } & + { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十三 } \ \ a _ { 三十一 } & a _ { 三十三 } \ end { vmatrix } } &-{ \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十三 } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十三 } \ end { vmatrix } } \ \ & & \ \ + { \ begin { vmatrix } a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } \ \ a _ { 三十一 } & a _ { 三十二 } \ end { vmatrix } } &-{ \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } \ \ a _ { 三十一 } & a _ { 三十二 } \ end { vmatrix } } & + { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } \ end { vmatrix } } \ end { bmatrix } } . $

其中

$ \ left | { \ begin { matrix } a _ { im } & a _ { in } \ \ \ , \ , a _ { jm } & a _ { jn } \ end { matrix } } \ right |=\ det \ left [{ \ begin { matrix } a _ { im } & a _ { in } \ \ \ , \ , a _ { jm } & a _ { jn } \ end { matrix } } \ right]=\ det \ left | { \ begin { matrix } a _ { im } & a _ { in } \ \ \ , \ , a _ { jm } & a _ { jn } \ end { matrix } } \ right | $

愛注意伴隨矩陣是餘因子矩陣的轉置，就按呢第 _ 三 _ 行第 _ 二 _ 列的係數是A關於著第 _ 二 _ 行第 _ 三 _ 列的代數餘子式。

具體的情形

對數值的數陣， 比如講求矩陣 $ A={ \ begin { bmatrix } \ ! ma三 & \ , 二 & \ ! 鋪五 \ \ \ ! 影一 & \ , 零 & \ ! 鋪二 \ \ \ , 三 & \ ! 扳四 & \ , 一 \ end { bmatrix } } $ 伊的伴隨矩陣 $ \ operatorname { adj } ( A ) $，

只需要共數值代入上節得著的表達式中。

即：$ \ operatorname { adj } ( A ) _ { ji }=C _ { ij }=( 影一 ) ^ { i + j } ( M _ { ij } ) $。

其中，$ M _ { ij } $ 共刪掉矩陣 $ A $ 的第 i 橫列佮第 j 縱然後得著的行列式，$ C _ { ji } $ 為矩陣 $ A $ 的餘因子。

比如講：$ \ operatorname { adj } ( A ) $ 中第三行第二列的的元素為

$ \ operatorname { adj } ( A ) _ { 三十二 }=C _ { 二十三 }=( 影一 ) ^ { 二 + 三 } \ ; \ operatorname { det } { \ begin { bmatrix } \ ! ma三 & \ , 二 \ \ \ , 三 & \ ! 扳四 \ end { bmatrix } }=-( ( ma三 ) \ cdot ( 扳四 ) 鋪二 \ cdot 三 )=ma六 $

依照其順序一直算，便可得著計算了的結果是：

$ \ operatorname { adj } ( A )=\ operatorname { adj } { \ begin { bmatrix } \ ! ma三 & \ , 二 & \ ! 鋪五 \ \ \ ! 影一 & \ , 零 & \ ! 鋪二 \ \ \ , 三 & \ ! 扳四 & \ , 一 \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } \ ! ma八 & 十八 & \ , 扳四 \ \ \ , 鋪五 & 十二 & \ , 影一 \ \ \ ! 四 & \ ! ma六 & \ , 二 \ end { bmatrix } } $

應用

做這个拉普拉斯公式的推論，關於著 _ n _ × _ n _ 矩陣A的行列式，有：

$ \ mathbf { A } \ , \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } )=\ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) \ , \ mathbf { A }=\ det ( \ mathbf { A } ) \ , \ mathbf { I } \ qquad ( * ) $

其中I是 _ n _ 階的單位矩陣。事實上，Aadj (A) 的第 _ i _ 行第 _ i _ 列的係數是

$ \ sum _ { j=一 } ^ { n } a _ { i ; j } C _ { i , j } $。根據拉普拉斯公式，等於A的行列式。

若是 _ i _ ≠ _ j _，遐爾Aadj (A) 的第 _ i _ 行第 _ j _ 列的係數是

$ \ sum _ { k=一 } ^ { n } a _ { i ; k } C _ { j , k } $。拉普拉斯公式說明這个佮等於零（實際上相當共A的第 _ j _ 行元素換做第 _ i _ 行元素了求行列式。因為有兩行仝款，行列式做零）。

由這个公式會當推出一个重要結論：交換環 _ R _ 上的矩陣A會當逆若其他的方式佇環 _ R _ 中可逆。

這是因為若講A可逆，遐爾

$ 一=\ det ( \ mathbf { I } )=\ det ( \ mathbf { A } \ mathbf { A } ^ { 影一 } )=\ det ( \ mathbf { A } ) \ det ( \ mathbf { A } ^ { 影一 } ) $，

若是 det (A) 是環中的敢若元素遐爾仔公式（\ *）顯明

$ \ mathbf { A } ^ { 影一 }=\ det ( \ mathbf { A } ) ^ { 影一 } \ , \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) $

性質

著 $ n \ times n $ 矩陣A和B，有：

一 . $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { I } )=\ mathbf { I } $， 二 . $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { AB } )=\ mathrm { adj } ( \ mathbf { B } ) \ , \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) $， 三 . $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ^ { T } )=\ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) ^ { T } $， 四 . $ \ det { \ big ( } \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) { \ big ) }=\ det ( \ mathbf { A } ) ^ { n 影一 } $， 五 . $ \ mathrm { adj } ( k \ mathbf { A } )=k ^ { n 影一 } \ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) $ 六 . 當 n >=兩時，$ \ mathrm { adj } ( \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) )=( \ det \ mathbf { A } ) ^ { n 鋪二 } \ mathbf { A } $ 七 . 若是A可逆，遐爾 $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ^ { 影一 } )=\ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) ^ { 影一 }={ \ frac { A } { \ det A } } $ 八 . 若是A是對稱矩陣，按呢其實凊彩陣嘛是對稱矩陣；若是A是反對稱矩陣，遐爾當 _ n _ 做偶數的時，A伊的伴隨矩陣嘛是反對稱矩陣，_ n _ 為奇數的時陣是對稱矩陣。 九 . 若是A是（半）正定矩陣，其實凊彩陣嘛是（半）正定矩陣。 十 . 如果矩陣A和B相仝，遐爾 $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } ) $ 和 $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { B } ) $ 嘛相𫝛。 十一 . 若是 n > 二，遐無空矩陣A是正交矩陣若而且唯若 $ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } )=\ pm A ^ { T } $

伴隨矩陣的秩

當矩陣A著愛倒轉來，伊的伴隨矩陣嘛會當倒反，因此兩个人的秩仝款，攏是 _ n _。當矩陣A袂使倒轉來，A的伴隨矩陣的秩通常並無佮A相仝。當A的秩為 _ n _ 學一時仔，其實綴著日本時的秩為一，當A的秩小於 _ n _ 學一時仔，其實凊彩陣為零矩陣。

伴隨矩陣的特徵值

設矩陣A佇咧複域中間的特徵值做 $ \ lambda _ { 一 } , \ lambda _ { 二 } \ cdots \ lambda _ {n } $ ( 就算特徵多項式的 _ n _ 個根）， 著A的伴隨矩陣的特徵值為

$ \ lambda _ { 二 } \ lambda _ { 三 } \ cdots \ lambda _ { n } , \ \ lambda _ { 一 } \ lambda _ { 三 } \ cdots \ lambda _ { n } , \ cdots , \ lambda _ { 一 } \ lambda _ { 二 } \ cdots \ lambda _ { n 影一 } $。

伴隨矩陣佮特徵多項式

設 $ p ( t )=\ mathrm { det } ( \ mathbf { A }-t \ mathbf { I } ) $ 為 $ \ mathbf { A } $ 的特徵多項式，定義 $ q ( t )={ \ frac { p ( 零 )-p ( t ) } { t } } $，遐爾：

$ \ mathrm { adj } ( \ mathbf { A } )=q ( \ mathbf { A } )=-( p _ { 一 } \ mathbf { I } + p _ { 二 } \ mathbf { A } + p _ { 三 } \ mathbf { A } ^ { 二 } + \ cdots + p _ { n } \ mathbf { A } ^ { n 影一 } ) $ ,

其中 $ p _ { i } $ 是 $ p ( t ) $ 的各項係數：

$ p ( t )=p _ { 零 } + p _ { 一 } t + p _ { 二 } t ^ { 二 } + \ cdots p _ { n } t ^ { n } $。

伴隨矩陣也出現佇行列式的導數形式當中。

參見

• 逆矩陣
• 會使逆元素
• 余子矩陣
• 行列式

參考來源

• Strang , Gilbert . Section 四四 : Applications of determinants . _ Linear Algebra and its Applications _ 三 . Harcourt Brace Jovanovich . 一千九百八十八 : 兩百三十一–兩百三十二 . ISBN  空知十五五五十五五一千空五五鋪三（英語）.
• 余馬。鋪先的代表二 . 清華大學出版社 . 兩千空二（中文（中國大陸）） .

外部連結

• 矩陣論參考手冊 ( 英文 )