伯仔拍拚微分方程

伯仔拍拚微分方程是形式如 $ y'+ P ( x ) y=Q ( x ) y ^ { n } \ , $ 定定微分方程。

解法

$ y'+ P ( x ) y=Q ( x ) y ^ { n } \ , $

代入 $ w={ y ^ { 一-n } } \ , $（注意 $ w'={ \ frac { ( 一-n ) } { y ^ { n } } } y'$）：

$ { \ frac { w'} { 一-n } } + P ( x ) w=Q ( x ) $

現此時微微分方程會當減分因為求解。

解以下微分方面。

$ y'-{ \ frac { 二 y } { x } }=-x ^ { 二 } y ^ { 二 } $

兩爿除以 $ y ^ { 二 } $，得：

$ y'y ^ { 鋪二 }-{ \ frac { 二 } { x } } y ^ { 影一 }=-x ^ { 二 } $

利用分離變數法，可得：

$ w={ \ frac { 一 } { y } } $

$ w'={ \ frac {-y'} { y ^ { 二 } } } . $

$ w'+ { \ frac { 二 } { x } } w=x ^ { 二 } $

伊會當用積分因為的方法來解出。

$ M ( x )=e ^ { 二 \ int { \ frac { 一 } { x } } dx }=x ^ { 二 } . $

兩爿乘以 $ M ( x ) $，得：

$ w'x ^ { 二 } + 二 xw=x ^ { 四 } , \ , $

等式的倒爿是 $ wx ^ { 二 } $ 的導數。兩爿積分，得：

$ \ int ( wx ^ { 二 } )'dx=\ int x ^ { 四 } dx $

$ wx ^ { 二 }={ \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 } + C $

$ { \ frac { 一 } { y } } x ^ { 二 }={ \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 } + C $

所以：

$ y={ \ frac { x ^ { 二 } } { { \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 } + C } } $