貝伊分布
Β 分布，亦稱貝伊分布、Beta 分布（Beta distribution）， 佇機率論中，是講一組定義佇咧 $ ( 零 , 一 ) $ 區間的連紲機率分布，有兩个母數 $ \ alpha , \ beta > 零 $。
定義
機率密度函數
Β 分布的機率密度函數是：
- $ { \ begin { aligned } f ( x ; \ alpha , \ beta ) &={ \ frac { x ^ { \ alpha 影一 } ( 一-x ) ^ { \ beta 影一 } } { \ int _ { 零 } ^ { 一 } u ^ { \ alpha 影一 } ( 一-u ) ^ { \ beta 影一 } \ , du } } \ \ [六 pt] &={ \ frac { \ Gamma ( \ alpha + \ beta ) } { \ Gamma ( \ alpha ) \ Gamma ( \ beta ) } } \ , x ^ { \ alpha 影一 } ( 一-x ) ^ { \ beta 影一 } \ \ [六 pt] &={ \ frac { 一 } { \ mathrm { B } ( \ alpha , \ beta ) } } \ , x ^ { \ alpha 影一 } ( 一-x ) ^ { \ beta 影一 } \ end { aligned } } $
其中 $ \ Gamma ( z ) $ 是 Γ 函數。若是 $ n $ 為正整數，則有：
- $ \ Gamma ( n )=( n 影一 ) ! $
隨機變數 X 服對母數為 $ \ alpha , \ beta $ 的 Β 分布通常寫作
- $ X \ sim { \ textrm { Be } } ( \ alpha , \ beta ) $
累積分布函數
Β 分布的累積分布函數是：
- $ F ( x ; \ alpha , \ beta )={ \ frac { \ mathrm { B } _ { x } ( \ alpha , \ beta ) } { \ mathrm { B } ( \ alpha , \ beta ) } }=I _ { x } ( \ alpha , \ beta ) \ ! $
其中 $ \ mathrm { B } _ { x } ( \ alpha , \ beta ) $ 是無完全 Β 函數，$ I _ { x } ( \ alpha , \ beta ) $ 是正則無完全貝塔函數。
性質
母數為 $ \ alpha , \ beta $ Β 分佈的眾數是：
- $ { \ begin { aligned } { \ frac { \ alpha 影一 } { \ alpha + \ beta 鋪二 } } \ \ \ end { aligned } } $
期望值和變化數分別是：
- $ \ mu=\ operatorname { E } ( X )={ \ frac { \ alpha } { \ alpha + \ beta } } $
- $ \ operatorname { Var } ( X )=\ operatorname { E } ( X-\ mu ) ^ { 二 }={ \ frac { \ alpha \ beta } { ( \ alpha + \ beta ) ^ { 二 } ( \ alpha + \ beta + 一 ) } } $
偏度是：
- $ { \ frac { \ operatorname { E } ( X-\ mu ) ^ { 三 } } { [\ operatorname { E } ( X-\ mu ) ^ { 二 }] ^ { 二分之三 } } }={ \ frac { 二 ( \ beta-\ alpha ) { \ sqrt { \ alpha + \ beta + 一 } } } { ( \ alpha + \ beta + 二 ) { \ sqrt { \ alpha \ beta } } } } $
峰度是：
- $ { \ frac { \ operatorname { E } ( X-\ mu ) ^ { 四 } } { [\ operatorname { E } ( X-\ mu ) ^ { 二 }] ^ { 二 } } } ma三={ \ frac { 六 [\ alpha ^ { 三 }-\ alpha ^ { 二 } ( 二 \ beta 影一 ) + \ beta ^ { 二 } ( \ beta + 一 ) 鋪二 \ alpha \ beta ( \ beta + 二 )] } { \ alpha \ beta ( \ alpha + \ beta + 二 ) ( \ alpha + \ beta + 三 ) } } $
抑是：
- $ { \ frac { 六 [( \ alpha-\ beta ) ^ { 二 } ( \ alpha + \ beta + 一 )-\ alpha \ beta ( \ alpha + \ beta + 二 )] } { \ alpha \ beta ( \ alpha + \ beta + 二 ) ( \ alpha + \ beta + 三 ) } } $
$ k $ 階動差是：
- $ \ operatorname { E } ( X ^ { k } )={ \ frac { \ operatorname { B } ( \ alpha + k , \ beta ) } { \ operatorname { B } ( \ alpha , \ beta ) } }={ \ frac { ( \ alpha ) _ { k } } { ( \ alpha + \ beta ) _ { k } } } $
其中 $ ( x ) _ { k } $ 表示遞入階乘冪。$ k $ 階動差閣會當遞迴地表示為：
- $ \ operatorname { E } ( X ^ { k } )={ \ frac { \ alpha + k 影一 } { \ alpha + \ beta + k 影一 } } \ operatorname { E } ( X ^ { k 影一 } ) $
另外咧，
- $ \ operatorname { E } ( \ log X )=\ psi ( \ alpha )-\ psi ( \ alpha + \ beta ) $
予定兩个 Β 分佈隨機變數，_ X _ ~ Beta ( α , β ) and _ Y _ ~ Beta ( α', β') , _ X _ 微分辨為：
- $ { \ begin { aligned } h ( X ) &=\ ln \ mathrm { B } ( \ alpha , \ beta )-( \ alpha 影一 ) \ psi ( \ alpha )-( \ beta 影一 ) \ psi ( \ beta ) + ( \ alpha + \ beta 鋪二 ) \ psi ( \ alpha + \ beta ) \ end { aligned } } $
其中 $ \ psi $ 表示雙伽瑪函數。
聯合孵為：
- $ H ( X , Y )=\ ln \ mathrm { B } ( \ alpha', \ beta')-( \ alpha'影一 ) \ psi ( \ alpha )-( \ beta'影一 ) \ psi ( \ beta ) + ( \ alpha'+ \ beta'鋪二 ) \ psi ( \ alpha + \ beta ) . \ , $
其實 KL 散度為：
- $ D _ { \ mathrm { KL } } ( X , Y )=\ ln { \ frac { \ mathrm { B } ( \ alpha', \ beta') } { \ mathrm { B } ( \ alpha , \ beta ) } }-( \ alpha'-\ alpha ) \ psi ( \ alpha )-( \ beta'-\ beta ) \ psi ( \ beta ) + ( \ alpha'-\ alpha + \ beta'-\ beta ) \ psi ( \ alpha + \ beta ) . $
參見
- 機率論
- 機率分布
- Β 函數
外部連結
- Beta 分布
- LDA-math-熟似 Beta / Dirichlet 分布