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穩定雙共車梯度法

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佇數值線性代數中，穩定雙共車梯度法（英語：Biconjugate gradient stabilized method，通常簡稱做BiCGSTAB）是一種由荷蘭數學家 H . A . van der Vorst 提出的用於數值求解非對稱線性方程組迵天方法。伊是雙共車梯度法（BiCG）的一个變種，比雙共車梯度法本身以及諸如共車梯度平方法（CGS）等其他變種閣較緊速佮閣較平滑的收斂性。伊是一種 Krylov 子空間方法。

算法步數

沒有預處理穩定雙共車梯度法

要求解線性方程組 $ { \ boldsymbol { Ax } }={ \ boldsymbol { b } } $，穩定雙共車梯度法自初初解 $ { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } $ 開始按呢迵天下跤：

一 . $ { \ boldsymbol { r } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { b } }-{ \ boldsymbol { Ax } } $ 二 . 任意選擇向量 $ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } \ ; $ 予得 $ ( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } ) \ neq 零 \ ; $，比如講，$ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { r } } _ { 零 } \ ; $ 三 . $ \ rho _ { 零 }=\ alpha=\ omega _ { 零 }=一 \ ; $ 四 . $ { \ boldsymbol { v } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { p } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { 零 } } $ 五 . 著 $ i=一 , 二 , 三 , \ ldots $ 一 . $ \ rho _ { i }=( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } ) \ ; $ 二 . $ \ beta=( \ rho _ { i } / \ rho _ { i 影一 } ) ( \ alpha / \ omega _ { i 影一 } ) \ ; $ 三 . $ { \ boldsymbol { p } } _ { i }={ \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } + \ beta ( { \ boldsymbol { p } } _ { i 影一 }-\ omega _ { i 影一 } { \ boldsymbol { v } } _ { i 影一 } ) $ 四 . $ { \ boldsymbol { v } } _ { i }={ \ boldsymbol { Ap } } _ { i } $ 五 . $ \ alpha=\ rho _ { i } / ( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { v } } _ { i } ) \ ; $ 六 . $ { \ boldsymbol { s } }={ \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 }-\ alpha { \ boldsymbol { v } } _ { i } $ 七 . $ { \ boldsymbol { t } }={ \ boldsymbol { As } } $ 八 . $ \ omega _ { i }=( { \ boldsymbol { t } } , { \ boldsymbol { s } } ) / ( { \ boldsymbol { t } } , { \ boldsymbol { t } } ) $ 九 . $ { \ boldsymbol { x } } _ { i }={ \ boldsymbol { x } } _ { i 影一 } + \ alpha { \ boldsymbol { p } } _ { i } + \ omega _ { i } { \ boldsymbol { s } } $ 十 . 若是 $ { \ boldsymbol { x } } _ { i } $ 會使精確則退出十一 . $ { \ boldsymbol { r } } _ { i }={ \ boldsymbol { s } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { t } } $

預處理穩定雙共車梯度法

預處理通常被用來加速迵天方法的收縮。愛使用預處理子 $ { \ boldsymbol { K } }={ \ boldsymbol { K } } _ { 一 } { \ boldsymbol { K } } _ { 二 } \ approx { \ boldsymbol { A } } $ 來求解線性方程組 $ { \ boldsymbol { Ax } }={ \ boldsymbol { b } } $，預處理穩定雙共車梯度法自初開始解 $ { \ boldsymbol { x } } _ { 零 } $ 開始按呢迵天下跤：

一 . $ { \ boldsymbol { r } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { b } }-{ \ boldsymbol { Ax } } $ 二 . 任意選擇向量 $ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } \ ; $ 予得 $ ( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } ) \ neq 零 \ ; $，比如講，$ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { r } } _ { 零 } \ ; $ 三 . $ \ rho _ { 零 }=\ alpha=\ omega _ { 零 }=一 \ ; $ 四 . $ { \ boldsymbol { v } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { p } } _ { 零 }={ \ boldsymbol { 零 } } $ 五 . 著 $ i=一 , 二 , 三 , \ ldots $ 一 . $ \ rho _ { i }=( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } ) \ ; $ 二 . $ \ beta=( \ rho _ { i } / \ rho _ { i 影一 } ) ( \ alpha / \ omega _ { i 影一 } ) \ ; $ 三 . $ { \ boldsymbol { p } } _ { i }={ \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } + \ beta ( { \ boldsymbol { p } } _ { i 影一 }-\ omega _ { i 影一 } { \ boldsymbol { v } } _ { i 影一 } ) $ 四 . $ { \ boldsymbol { y } }={ \ boldsymbol { K } } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { p } } _ { i } $ 五 . $ { \ boldsymbol { v } } _ { i }={ \ boldsymbol { Ay } } $ 六 . $ \ alpha=\ rho _ { i } / ( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { v } } _ { i } ) \ ; $ 七 . $ { \ boldsymbol { s } }={ \ boldsymbol { r } } _ { i }-\ alpha { \ boldsymbol { v } } _ { i } $ 八 . $ { \ boldsymbol { z } }={ \ boldsymbol { As } } $ 九 . $ { \ boldsymbol { t } }={ \ boldsymbol { K } } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { z } } $ 十 . $ \ omega _ { i }=( { \ boldsymbol { K } } _ { 一 } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { t } } , { \ boldsymbol { K } } _ { 一 } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { s } } ) / ( { \ boldsymbol { K } } _ { 一 } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { t } } , { \ boldsymbol { K } } _ { 一 } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { t } } ) $ 十一 . $ { \ boldsymbol { x } } _ { i }={ \ boldsymbol { x } } _ { i 影一 } + \ alpha { \ boldsymbol { y } } + \ omega _ { i } { \ boldsymbol { z } } $ 十二 . 若是 $ { \ boldsymbol { x } } _ { i } $ 會使精確則退出十三 . $ { \ boldsymbol { r } } _ { i }={ \ boldsymbol { s } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { t } } $

這个形式等於將無預處理的穩定雙共車梯度法應用佇顯式來處理後的方程組


$ { \ boldsymbol { { \ tilde { A } } { \ tilde { x } } } }={ \ boldsymbol { \ tilde { b } } } $，

其中 $ { \ boldsymbol { \ tilde { A } } }={ \ boldsymbol { K } } _ { 一 } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { AK } } _ { 二 } ^ { 影一 } $，$ { \ boldsymbol { \ tilde { x } } }={ \ boldsymbol { K } } _ { 二 } { \ boldsymbol { x } } $，$ { \ boldsymbol { \ tilde { b } } }={ \ boldsymbol { K } } _ { 一 } ^ { 影一 } { \ boldsymbol { b } } $。嘛會使講，倒預處理佮正預處理攏會當通過這个形式實施。

推導

雙共車梯度法的濟項式形式

佇雙共車梯度法內底，搜查方向 $ { \ boldsymbol { p } } _ { i } $ 和 $ { \ boldsymbol { \ hat { p } } } _ { i } $ 猶閣有殘量 $ { \ boldsymbol { r } } _ { i } $ 和 $ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i } $ 通過以下遞推關係更新：


$ { \ boldsymbol { p } } _ { i }={ \ boldsymbol { r } } _ { i } + \ beta _ { i } { \ boldsymbol { p } } _ { i 影一 } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { \ hat { p } } } _ { i }={ \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i } + \ beta _ { i } { \ boldsymbol { p } } _ { i 影一 } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { r } } _ { i }={ \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 }-\ alpha _ { i } { \ boldsymbol { Ap } } _ { i } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i }={ \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i 影一 }-\ alpha { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } { \ boldsymbol { \ hat { p } } } _ { i } { \ text { . } } $

常數 $ \ alpha _ { i } \ ; $ 和 $ \ beta _ { i } \ ; $ 取值為


$ \ alpha _ { i }=\ rho _ { i } / ( { \ boldsymbol { \ hat { p } } } _ { i } , { \ boldsymbol { Ap } } _ { i } ) { \ text { , } } $


$ \ beta _ { i }=\ rho _ { i } / \ rho _ { i 影一 } { \ text { , } } \ ; $

其中 $ \ rho _ { i }=( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i 影一 } , { \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } ) $，予殘量佮搜查方向分別滿足雙正交性佮雙共車性，嘛是對著 $ i \ neq j $，


$ ( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i } , { \ boldsymbol { r } } _ { j } )=零 { \ text { , } } $


$ ( { \ boldsymbol { \ hat { p } } } _ { i } , { \ boldsymbol { Ap } } _ { j } )=零 { \ text { . } } $

歹證明，


$ { \ boldsymbol { r } } _ { i }=P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i }=P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { p } } _ { i + 一 }=T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { \ hat { p } } } _ { i + 一 }=T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } { \ text { , } } $

其中 $ P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 和 $ T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 是關於 $ { \ boldsymbol { A } } $ 的 $ i \ ; $ 次多項式。遮的百百款以下交推關係：


$ P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } )=P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } )-\ alpha _ { i } { \ boldsymbol { A } } T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ text { , } } $


$ T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } )=P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } )-\ beta _ { i + 一 } T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ text { . } } $

對雙共車梯度法導出穩定雙共車梯度法

雙共車梯度法的殘量佮搜查方向毋是必須顯式佮蹤的。嘛會使講，雙共車梯度法的迵天代是會當隱式進行的。穩定雙共車梯度法內底希望會當到


$ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i }=Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } $

的遞推關係，其中 $ Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } )=( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { 一 } { \ boldsymbol { A } } ) ( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { 一 } { \ boldsymbol { A } } ) \ cdots ( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { A } } ) $，$ \ omega _ { j } \ ; $ 為適當選取的常數。以此代替 $ { \ boldsymbol { r } } _ { i }=P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 的目的是希望 $ Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 會使得 $ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i } $ 有比 $ { \ boldsymbol { r } } _ { i } $ 閣較緊速佮閣較平順的收斂性。

根據 $ P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 和 $ T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 的遞推關係以及 $ Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) $ 的定義，


$ Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 }=( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { A } } ) { \ bigl ( } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 }-\ alpha _ { i } { \ boldsymbol { A } } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } { \ text { . } } $

就是閣需要一條關於著 $ Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } $ 的遞推關係。按呢會當對雙共車梯度法的遞推關係中導出：


$ Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 }=Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) P _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 }-\ beta _ { i + 一 } ( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { A } } ) Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ text { . } } $

類似 $ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i } $，穩定雙共車梯度法定義


$ { \ boldsymbol { \ tilde { p } } } _ { i + 一 }=Q _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) T _ { i } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ text { . } } $

做向量形式，$ { \ boldsymbol { \ tilde { p } } } _ { i } $ 和 $ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i } $ 的遞推關係就是講


$ { \ boldsymbol { \ tilde { p } } } _ { i }={ \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i 影一 } + \ beta _ { i } ( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i 影一 } { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { \ tilde { p } } } _ { i 影一 } { \ text { , } } $


$ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i }=( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { A } } ) ( { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i 影一 }-\ alpha _ { i } { \ boldsymbol { A { \ tilde { p } } } } _ { i } ) { \ text { . } } $

為著欲導出 $ { \ boldsymbol { x } } _ { i } $ 的遞推關係，定義


$ { \ boldsymbol { s } } _ { i }={ \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i 影一 }-\ alpha _ { i } { \ boldsymbol { A { \ tilde { p } } } } _ { i } { \ text { . } } $

所以 $ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i } $ 的遞推關係就會當寫做


$ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i }={ \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i 影一 }-\ alpha _ { i } { \ boldsymbol { A { \ tilde { p } } } } _ { i }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { As } } _ { i } { \ text { , } } $

這對應於


$ { \ boldsymbol { x } } _ { i }={ \ boldsymbol { x } } _ { i 影一 } + \ alpha _ { i } { \ boldsymbol { \ tilde { p } } } _ { i } + \ omega _ { i } { \ boldsymbol { s } } _ { i } { \ text { . } } $

確定穩定雙共車梯度法的常數

這馬只需要確定雙共車梯度法的常數 $ \ alpha _ { i } \ ; $ 和 $ \ beta _ { i } \ ; $ 猶閣有選擇一个合適的 $ \ omega _ { i } \ ; $。

佇雙共車梯度法內底，$ \ beta _ { i }=\ rho _ { i } / \ rho _ { i 影一 } \ ; $，其中


$ \ rho _ { i }=( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i 影一 } , { \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } )={ \ bigl ( } P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } { \ text { . } } $

因為穩定雙共車梯度法無顯式佮蹤 $ { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { i } $ 抑是 $ { \ boldsymbol { r } } _ { i } $，$ \ rho _ { i } \ ; $ 袂當隨用這條公式計算出來。猶毋過，伊會當和純量


$ { \ tilde { \ rho } } _ { i }={ \ bigl ( } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) }={ \ bigl ( } { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) }=( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 } ) $

關聯起來。因為雙正交性，$ { \ boldsymbol { r } } _ { i 影一 }=P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } $ 正是交於 $ U _ { i 鋪二 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } $，其中 $ U _ { i 鋪二 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 是關於 $ { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } $ 的任意 $ i 鋪二 \ ; $ 次多項式。因此佇咧點積 $ { \ bigl ( } P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } $ 和 $ { \ bigl ( } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } $ 著啊只需要考慮著 $ P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 和 $ Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 的上懸次項。$ P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 和 $ Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 的最高次項項數分別是 $ ( 影一 ) ^ { i 影一 } \ alpha _ { 一 } \ alpha _ { 二 } \ cdots \ alpha _ { i 影一 } $ 和 $ ( 影一 ) ^ { i 影一 } \ omega _ { 一 } \ omega _ { 二 } \ cdots \ omega _ { i 影一 } $。所以


$ \ rho _ { i }=( \ alpha _ { 一 } / \ omega _ { 一 } ) ( \ alpha _ { 二 } / \ omega _ { 二 } ) \ cdots ( \ alpha _ { i 影一 } / \ omega _ { i 影一 } ) { \ tilde { \ rho } } _ { i } { \ text { , } } $

所以


$ \ beta _ { i }=\ rho _ { i } / \ rho _ { i 影一 }=( { \ tilde { \ rho } } _ { i } / { \ tilde { \ rho } } _ { i 影一 } ) ( \ alpha _ { i 影一 } / \ omega _ { i 影一 } ) { \ text { . } } $

關於著 $ \ alpha _ { i } \ ; $ 的簡單公式會當類似地導出。佇雙共車梯度法內底，


$ \ alpha _ { i }=\ rho _ { i } / ( { \ boldsymbol { \ hat { p } } } , { \ boldsymbol { Ap } } _ { i } )={ \ bigl ( } P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } { \ big / } { \ bigl ( } T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { A } } T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } { \ text { . } } $

類似頂懸的狀況，因為雙正交性佮雙共車性，佇點積內底干焦需要考慮 $ P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 和 $ T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 的上懸次項。$ P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 和 $ T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $ 的上懸次項項拄好是仝款的。所以，𪜶會當佇公式中被同時替換做 $ Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) $，所以


$ \ alpha _ { i }={ \ bigl ( } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , P _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) } { \ big / } { \ bigl ( } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ^ { \ mathrm { T } } ) { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { A } } T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) }={ \ tilde { \ rho } } _ { i } { \ big / } { \ bigl ( } { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { A } } Q _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) T _ { i 影一 } ( { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { r } } _ { 零 } { \ bigr ) }={ \ tilde { \ rho } } _ { i } / ( { \ boldsymbol { \ hat { r } } } _ { 零 } , { \ boldsymbol { A { \ tilde { p } } } } _ { i } ) { \ text { . } } $

最後咧，穩定雙共車梯度法選擇 $ \ omega _ { i } \ ; $ 予得 $ { \ boldsymbol { \ tilde { r } } } _ { i }=( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { s } } _ { i } $ 的二-範數作為 $ \ omega _ { i } \ ; $ 的函數予人上小化。這佇咧


$ { \ bigl ( } ( { \ boldsymbol { I } }-\ omega _ { i } { \ boldsymbol { A } } ) { \ boldsymbol { s } } _ { i } , { \ boldsymbol { As } } _ { i } { \ bigr ) }=零 $

的時陣達到，所以 $ \ omega _ { i } \ ; $ 的上優值的是


$ \ omega _ { i }=( { \ boldsymbol { As } } _ { i } , { \ boldsymbol { s } } _ { i } ) / ( { \ boldsymbol { As } } _ { i } , { \ boldsymbol { As } } _ { i } ) { \ text { . } } $

相關主題

  • 雙共車梯度法
  • 共車梯度法

參考文獻

  • Van der Vorst , H . A . Bi-CGSTAB : A Fast and Smoothly Converging Variant of Bi-CG for the Solution of Nonsymmetric Linear Systems . SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing . 一千九百九十二 ,十三: 六百三十一–六百四十四 . doi : 十 . 九十一孵三千空三十五分之一千一百三十七 .
  • Saad , Y . § 七鼗四 . 二 BICGSTAB . Iterative Methods for Sparse Linear Systems 二 nd . SIAM . 兩千空三 : 兩百三十一–兩百三十四 . ISBN  九百七十八追空九八十九石八千七百一十五五三十四刣七 . doi : 十 . 八八九千八百七十一石五千三百四十二分之兩千兩百七十七 .
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