阿貝爾群

阿貝爾群（Abelian group）嘛叫做是交換群（commutative group）抑是會當交換群，伊是滿足其元素的運算無依賴佇𪜶的次序（交換律公理）的群。阿貝爾群推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾群以徙威數學家尼爾斯 ・ 阿貝爾號名。

阿貝爾群的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾群的理論比其他非阿貝爾群簡單。有限阿貝爾群已經予人較徹底的研究矣。無限阿貝爾群理論是目前當咧研究的領域。

定義

群 $ ( A , \ circ ) $ 對所有的 $ a , \ , b \ in A $，攏滿足 $ a \ circ b=b \ circ a $（交換律）的話，稱 $ ( A , \ circ ) $ 為阿貝爾群抑是交換群，反之被稱做「非阿貝爾群」抑是「非交換群」。

符號

群有兩種主要表示運算的符號—加法佮乘法。

乘法符號是群的常用符號，加法符號是模常用符號。彼當陣考慮著阿貝爾群佮非貝爾群的時陣，參法符號猶閣會當用來強調阿貝爾群是特定群。

乘法表

驗證有限群是阿貝爾群，會當構造類似乘法表的一種表格（抑是講矩陣）， 叫做凱萊表。若群 $ G=\ { g _ { 一 }=e , g _ { 二 } , \ dots , g _ { n } \ } $ 算在運算 $ \ cdot $ 落，著這表的 $ ( i , j ) $ 元素即是 $ g _ { i } \ cdot g _ { j } $。群是阿貝爾群若而且唯若這个表是關於主對角線是對稱的（抑是講這个矩陣是對稱矩陣）。 這是因為對阿貝爾群，$ g _ { i } \ cdot g _ { j }=g _ { j } \ cdot g _ { i } $，即表格中的 $ ( i , j ) $ 元素等於 $ ( j , i ) $ 元素。如下表所示講：

例

• 整數集佮加法運算構成阿貝爾群，記為 $ ( \ mathbb { Z } , + ) $。兩个整數相加猶原是整數，而且加法有結合律。$ 零 $ 是加法單位的元素，所有整數 $ n $ 攏有加法反元素 $-n $。加法運算有交換律，因為對任意兩个整數 $ m , n $ 攏有 $ m + n=n + m $。
• 所有循環群 $ G=\ langle g \ rangle $ 攏阿貝爾群。若是 $ x , y \ in G $，著 $ xy=g ^ { m } g ^ { n }=g ^ { m + n }=g ^ { n } g ^ { m }=yx $。所以整數集 $ \ mathbb { Z } $ 形成佇加法下的阿貝爾群，整數模 $ n $ $ \ mathbb { Z } / n \ mathbb { Z } $ 嘛是啦。
• 所有環攏是關於伊的加法運算的阿貝爾群。佇交換環中的洘旱元素形成做阿貝爾乘法群。特別是實數集是佇加法下的阿貝爾群，非零實數集咧乘法下是阿貝爾群。
• 所有阿貝爾陣的子群攏是正規子群，所以每一个子群攏引發商群。阿貝爾群的子群、商群和直和嘛是阿貝爾群。

矩陣就算是可逆矩陣，一般無形成咧乘法下的阿貝爾群，因為矩陣乘法一般是不可交換的。但是某一个矩陣的群是佇矩陣乘法下的阿貝爾群-一个例是講 $ 二 \ times 二 $ 旋轉矩陣的群。

歷史注記

阿貝爾群是 Camille Jordan 以徙威數學家尼爾斯 ・ 阿貝爾號名的，伊首先的察覺著矣阿貝爾首先發表的這款群和根式會當解性的聯絡的重要性。

性質

若是 $ n $ 是自然數爾 $ x $ 是阿貝爾群 $ ( G , + ) $ 的一个元素，著 $ nx $ 會當定義做 $ x + x + \ cdots + x $（$ n $ 個數相加）並且 $ (-n ) x=-( nx ) $。以這種方式，$ G $ 變做佇整數的環呢 $ \ mathbb { Z } $ 上的模仔。事實上，佇咧 $ \ mathbb { Z } $ 上的模仔攏會當被識別為阿貝爾群。

關於阿貝爾群（譬如講佇主理想整環 $ \ mathbb { Z } $ 上的模仔）的定理不時會當推廣到在任意主理想整環上的模樣。典型的例是有限生做阿貝爾群的分類是咧主理想欲整體環內的有限生成模的結構定理的特殊情形。佇有限生成阿貝爾群的情況下，這个定理保證阿貝爾群會當分解為止群和自由阿貝爾群的直和。前者會當予人寫做形如講 $ \ mathbb { Z } / p ^ { k } \ mathbb { Z } $ 對質數 $ p $ 的有限濟濟群的直和，啊若後者是有限幾个仔 $ \ mathbb { Z } $ 伊的復本的直和。

若是 $ f , g : G \ to H $ 是佇阿貝爾群之間的兩个群同態，著𪜶的佮 $ f + g $，定義做 $ ( f + g ) ( x )=f ( x ) + g ( x ) $，嘛是阿貝爾同態。（若是 $ H $ 是非阿貝爾群這就無成立。）對這个 $ G $ 到 $ H $ 的群同態的集合 $ { \ text { Hom } } ( G , H ) $ 因此是家己本身方式下的阿貝爾群。

某一種程度上類似向量空間的維度，所有阿貝爾群攏有秩。伊定義做群的線性獨立元素的上大集合的勢。整數集佮有理數集佮所有的有理數集的子群攏有秩一。

有限阿貝爾群

整數模以 $ n $ 的循環群 $ \ mathbb { Z } / n \ mathbb { Z } $ 是上捷看著的群的例。已經證實矣任意有限阿貝爾群攏仝構佇質數階的有限循環群的直和，並且遮的階數是唯一確定的，形成一个無變數（invariant）的完備系統。有限阿貝爾群的自同構群會當做依據遮的無變數來直接描述。有關理論頭仔發展自費迪南德 ・ 格奧爾格 ・ 比尼斯佮 Ludwig Stickelberger 佇一八七九年的論文，落尾手予簡化佮推廣甲佇咧主理想欲整環上的有限生成模，形成線的代數的一个重要組成部份。

分類

有限阿貝爾群的基本定理聲稱所有有限阿貝爾群 $ G $ 攏會當表達做質數冪階的循環子群的直和。這是有限生做阿貝爾群的基本定理佇 $ G $ 有零秩的時陣的特殊情況。

$ mn $ 階的循環群 $ \ mathbb { Z } _ { mn } $ 仝款構於 $ \ mathbb { Z } _ { m } $ 佮 $ \ mathbb { Z } _ { n } $ 的直和，若是唯一 $ m $ 佮 $ n $ 是互質的。會當推出任何有限阿貝爾群 $ G $ 仝款構於下形式的直和

$ \ mathbb { Z } _ { k _ { 一 } } \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb { Z } _ { k _ { u } } $

閣任何之下列規范方式：

• 數 $ k _ { 一 } , k _ { 二 } , \ dots , k _ { u } $ 是質數的冪
• $ k _ { 一 } $ 整除 $ k _ { 二 } $，伊閣整除 $ k _ { 三 } $，按呢一直到 $ k _ { u } $。

比如講，$ \ mathbb { Z } _ { 十五 } $ 會當被表達做三階佮五階的兩个循環群的直和：$ \ mathbb { Z } _ { 十五 } \ cong \ { 零 , 五 , 十 \ } \ oplus \ { 零 , 三 , 六 , 九 , 十二 \ } $。對任何十五階的阿貝爾群這嘛成立，致使著所有十五坎阿貝爾群攏是仝構的顯明結論。

另外一个例，所有八階段阿貝爾群攏仝款構於欲按怎 $ \ mathbb { Z } _ { 八 } $ ( 整數零到七在模八加法下 )，$ \ mathbb { Z } _ { 四 } \ oplus \ mathbb { Z } _ { 二 } $（奇數一到十五佇咧模十六乘法下）， 欲按怎 $ \ mathbb { Z } _ { 二 } \ oplus \ mathbb { Z } _ { 二 } \ oplus \ mathbb { Z } _ { 二 } $。

小於等於十六階的有限阿貝爾群會當參見小群列表。

自同構

會當應用基本來定理去計數（有當時仔確定）予定有限阿貝爾群 $ G $ 的自同構。欲按呢做，共利用若是 $ G $ 分解做互質階的子群的直和 $ H \ oplus K $，著 $ \ operatorname { Aut } ( H \ oplus K ) \ cong \ operatorname { Aut } ( H ) \ oplus \ operatorname { Aut } ( K ) $ 的事實。

基本定理證明矣愛計算 $ G $ 的自同構群，分別計算西羅 $ p $-子群的自同構群就夠額矣（也就是所有的循環子群的直和，逐个攏有 $ p $ 的冪的階）。 固定一个質數 $ p $ 並假設西羅 $ p $-子群的循環因子的指數 $ e _ { i } $ 是照品照安排的：

$ e _ { 一 } \ leq e _ { 二 } \ leq \ cdots \ leq e _ { n } $

對某一个 $ n > 零 $。需要揣著

$ \ mathbf { Z } _ { p ^ { e _ { 一 } } } \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf { Z } _ { p ^ { e _ { n } } } $

的自同構。一个特殊情況是佇咧 $ n=一 $ 的時陣，這个時陣佇西羅 $ p $-子群 $ P $ 中干焦有唯一一个循環質數冪因子。佇這个情況下會當使用有限循環群的自同構的理論。另外一个特殊情況是佇咧 $ n $ 為任意的但 $ e _ { i }=一 $ 對於 $ 一 \ leq i \ leq n $ 的時陣。這里考慮 $ P $ 為有著形式

$ \ mathbf { Z } _ { p } \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf { Z } _ { p } $

所以這个子群的這个元素會當予人看做構成佇咧 $ p $ 元素的有限體 $ \ mathbb { F } _ { p } $ 上的 $ n $ 維向量空間。這个子群的自同構就按呢予出為著會當逆線性變換，所以

$ \ mathrm { Aut } ( P ) \ cong \ mathrm { GL } ( n , \ mathbb { F } _ { p } ) $

伊早前證明矣有階

$ \ left | \ operatorname { Aut } ( P ) \ right |=( p ^ { n } 影一 ) \ cdots ( p ^ { n }-p ^ { n 影一 } ) $

佇上一般的情形下，這里的 $ e _ { i } $ 和 $ n $ 是任意的，自同構群閣較僫佇確定。但是已經知影矣若定義

$ d _ { k }=\ max \ { r \ mid e _ { r }=e _ { k } ^ { \ , } \ } $

並且

$ c _ { k }=\ min \ { r \ mid e _ { r }=e _ { k } \ } $

有特別的 $ k \ leq d _ { k } $，$ c _ { k } \ leq k $，並且

$ \ left | \ operatorname { Aut } ( P ) \ right |=\ prod _ { k=一 } ^ { n } ( p ^ { d _ { k } }-p ^ { k 影一 } ) \ prod _ { j=一 } ^ { n } ( p ^ { e _ { j } } ) ^ { n-d _ { j } } \ prod _ { i=一 } ^ { n } ( p ^ { e _ { i } 影一 } ) ^ { n-c _ { i } + 一 } . $。

會使檢查這會生成做特殊情況的頭前例的階（參見 [Hillar , Rhea]）。

參見

• 類體論
• 交換子群
• 初等阿貝爾群
• 有限生成阿貝爾群
• 自由阿貝爾群
• 龐特里亞金嘿偶性
• 秩一無撬阿貝爾群

引用

• Fuchs , László（一千九百七十）_ Infinite abelian groups , Vol . I _ . Pure and Applied Mathematics , Vol . 三十六 . New York-London : Academic Press . xi + 兩百九十 pp . MR 二十五孵五千六百七十三
• ------（ 一千九百七十三）_ Infinite abelian groups , Vol . II _ . Pure and Applied Mathematics . Vol . 三十六-II . New York-London : Academic Press . ix + 三百六十三 pp . MR 三十四孵九千八百六十九
• Griffith , Phillip A . Infinite Abelian group theory . Chicago Lectures in Mathematics . University of Chicago Press . 一千九百七十 . ISBN  空白二百二十六硬三鋪空八百七十五七 .
• Hillar , Christopher and Rhea , Darren ( 兩千空七 ) , Automorphisms of finite abelian groups . Amer . Math . Monthly一百十四, no . 十 , 九百十七撨九百二十三 . [一] .
• Szmielew , Wanda ( 一千九百五十五 )" Elementary properties of abelian groups , " _ Fundamenta Mathematica _四十一: 二百空三孵七十一 .