反餘弦
反餘弦（arccosine , $ \ arccos $ , $ \ cos ^ { 影一 } $）是一種反三角函數，嘛是高等數學中的一種基本特殊函數。佇三角學當中，反餘弦予人定義做一个角度，也就是餘弦值的反函數，而且餘弦函數是雙射而且袂當逆的而毋是一个對射函數（即多個值可能只得到一个值，譬如講一佮所有仝界角）， 故無法度有反函數，但是咱會當限制其定義域，所以，反餘弦是單射佮滿射嘛是可逆的，另外咧，咱嘛需要限制值域，而且限制值域的時陣，袂當和反正弦定義仝款的區間，因為按呢會變做一對外，煞不構成函數，所以阮共反餘弦函數的值域定義佇咧 $ \ left [零 , \ pi \ right] $（[零 , 一百八十 °]）。 另外咧，佇原始的定義中，若輸入值無佇咧區間 $ [影一 , 一] $，是無意義的，但是三角函數擴充到複數了後，若輸入值無佇咧區間 $ [影一 , 一] $，將傳回複數。
號名
反餘弦的數學符號是 $ \ arccos $，上捷予人計為 $ \ cos ^ { 影一 } $。佇無仝的編程語言佮有一寡計算器是使用 acos 抑是 acs。
定義
原始的定義是將餘弦函數限制 $ [零 , \ pi] $（[零 , 一百八十 °]）的反函數佇咧複變分析中，反餘弦是按呢反義的 :
- $ \ arccos x=-{ \ mathrm { i } } \ ln \ left ( x + { \ sqrt { x ^ { 二 } 影一 } } \ right ) \ , $
這个動作使反餘弦去予人推廣到複數。
性質
反餘弦函數是一个定義佇區間 $ \ left [影一 , 一 \ right] $ 的嚴格遞減連紲函數。
- $ \ arccos : \ left [影一 , 一 \ right] \ rightarrow \ left [零 , \ pi \ right] $
- （$ \ arccos : \ left [影一 , 一 \ right] \ rightarrow \ left [零 , 一百八十 ^ { \ circ } \ right] $）
其圖形是一个對稱的，即對稱點 $ \ left ( 零 , { \ frac { \ pi } { 二 } } \ right ) $，抑是表示講 $ \ left ( 零 , 九十 ^ { \ circ } \ right ) $，所以滿足 $ \ arccos x=\ pi-\ arccos \ left (-x \ right )=一百八十 ^ { \ circ }-\ arccos \ left (-x \ right ) $ 反餘弦函數的導數就是講： $ { \ frac { d } { dx } } \ arccos x=-{ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一-x ^ { 二 } } } } $ . 反餘弦函數的泰勒級數是：
- $ { \ begin { aligned } \ arccos x & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ arcsin x \ \ & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-( x + \ left ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 二 \ cdot 四 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 五 } } { 五 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 二 \ cdot 四 \ cdot 六 } } \ right ) { \ frac { x ^ { 七 } } { 七 } } + \ cdots ) \ \ & { }={ \ frac { \ pi } { 二 } }-\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 二 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right ) { \ frac { x ^ { 二 n + 一 } } { ( 二 n + 一 ) } } ; \ qquad | x | \ leq 一 \ end { aligned } } $
是因為上述級數佇咧 $ | x | $ 接近一時收斂速度十分慢慢，佇咧 $ x=影一 $ 求的泰勒級數是：
- $ { \ begin { aligned } \ arccos x & { }=\ pi-{ \ sqrt { 二 ( x + 一 ) } } \ left ( 一 + \ left ( { \ frac { 一 } { 四 } } \ right ) { \ frac { x + 一 } { 三 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 } { 四 \ cdot 八 } } \ right ) { \ frac { ( x + 一 ) ^ { 二 } } { 五 } } + \ left ( { \ frac { 一 \ cdot 三 \ cdot 五 } { 四 \ cdot 八 \ cdot 十二 } } \ right ) { \ frac { ( x + 一 ) ^ { 三 } } { 七 } } + \ cdots \ right ) \ \ & { }=\ pi-{ \ sqrt { 二 ( x + 一 ) } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { ( 二 n ) ! } { 二 ^ { 三 n } ( n ! ) ^ { 二 } } } \ right ) { \ frac { ( x + 一 ) ^ { n } } { ( 二 n + 一 ) } } \ end { aligned } } $
因為進前先所講的對稱關係 $ \ arccos x=\ pi-\ arccos \ left (-x \ right ) $，會當上式來計算 $ | x | $ 接近一時的反餘弦值。
嘛會當用反餘弦和差公式將兩个餘弦合做伙敆做一个餘弦值 :
- $ \ arccos x _ { 一 } + \ arccos x _ { 二 }={ \ begin { cases } \ arccos \ left ( x _ { 一 } x _ { 二 }-{ \ sqrt { 一-x _ { 一 } ^ { 二 } } } { \ sqrt { 一-x _ { 二 } ^ { 二 } } } \ right ) & x _ { 一 } + x _ { 二 } \ geq 零 \ \ 二 \ pi-\ arccos \ left ( x _ { 一 } x _ { 二 }-{ \ sqrt { 一-x _ { 一 } ^ { 二 } } } { \ sqrt { 一-x _ { 二 } ^ { 二 } } } \ right ) & x _ { 一 } + x _ { 二 } < 零 \ end { cases } } $
- $ \ arccos x _ { 一 }-\ arccos x _ { 二 }={ \ begin { cases }-\ arccos \ left ( x _ { 一 } x _ { 二 } + { \ sqrt { 一-x _ { 一 } ^ { 二 } } } { \ sqrt { 一-x _ { 二 } ^ { 二 } } } \ right ) & x _ { 一 } \ geq x _ { 二 } \ \ \ arccos \ left ( x _ { 一 } x _ { 二 } + { \ sqrt { 一-x _ { 一 } ^ { 二 } } } { \ sqrt { 一-x _ { 二 } ^ { 二 } } } \ right ) & x _ { 一 } < x _ { 二 } \ end { cases } } $ .
應用
直角三角形的輻角為其隔壁佮斜邊之間的比率的反餘弦值。
參見
- 餘弦
- 反正絃