反正切
反正切（英語：arctangent，記為 $ \ arctan $、arctg抑是 $ \ tan ^ { 影一 } $）是一種反三角函數，是利用已知直角三角形的對邊佮鄰邊這兩條直角邊的比值求出其鋏角大細的函數，是高等數學中的一種基本特殊函數。佇三角學當中，橫直切被定義做一个角度，也就是正切值的反函數，因為正切函數佇實數頂懸遮無有一對應的關係，所以伊無存在反函數，但是咱會當限制其定義域，所以，反正切是單射佮滿射嘛是可逆的，猶毋過無仝款反正弦佮反餘弦，因為限制正切函數的定義域佇 $ [-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } ] $（[鋪九十 ° , 九十 °]）時，其值域是全體實數，就按呢會當到的反函數定義域嘛是全體實數，毋免閣進一步去限制定義域。
因為反正切函數的定義為球已經知影對邊佮厝邊的角度，拄好會當看做直角坐標系的 x 座標佮 y 座標，根據趨率的定義，反正切函數會當用來求出平面上已經知影趨率的直線佮座標軸的角色。
反正切函數定定記為 $ \ tan ^ { 影一 } $，佇外文獻當中攏定記做 $ \ arctan $，佇一寡舊的教科書中嘛有人記為 arctg，但是彼是舊的用法，毋過根據 ISO 三十一鋪十一標準應將反正切函數記為 $ \ arctan $，因為乎 $ \ tan ^ { 影一 } $ 可能會佮 $ { \ frac { 一 } { \ tan } } $ 透濫，$ { \ frac { 一 } { \ tan } } $ 是餘切函數。
定義
原始的定義是將正切函數限制佇 $ [-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } ] $（[鋪九十 ° , 九十 °]）的反函數佇咧複變分析中，橫直切是按呢上義的：
- $ \ arctan x={ \ frac { \ mathrm { i } } { 二 } } \ ln \ left ( { \ frac { { \ mathrm { i } } + x } { { \ mathrm { i } }-x } } \ right ) \ , $
這个動作反正切去予人推廣到複數。
直角坐標系中
佇咧直角坐標系當中，反正切函數會當看做已經知平面上直線趨率的趨角
級數定義
反正切函數會當利用泰勒展開式來求得級數的定義反正切函數的泰勒展開式為：
- $ \ forall x \ in [影一 , 一] \ quad \ mathrm { arctan } ( x )=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } { \ frac { x ^ { 二 k + 一 } } { 二 k + 一 } }=x-{ \ frac { 一 } { 三 } } x ^ { 三 } + { \ frac { 一 } { 五 } } x ^ { 五 }-{ \ frac { 一 } { 七 } } x ^ { 七 } + \ cdots $
當 $ \ left | x \ right | \ leq 一 $ 而且 $ x \ neq \ pm i $ 時，這是一个收斂的級數，這愛予正切函數予人定義佇規个實數集起來。這个級數嘛會當共算做圓周率的近似值，上簡單的公式是 $ x=一 $ 時的狀況，講號做萊布尼茨公式
- $ { \ frac { \ pi } { 四 } }=一-{ \ frac { 一 } { 三 } } + { \ frac { 一 } { 五 } }-{ \ frac { 一 } { 七 } } +-\ ldots $
閣較精確的寫法是梅欽類公式
- $ { \ frac { \ pi } { 四 } }=四 \ mathrm { arctan } { \ frac { 一 } { 五 } }-\ mathrm { arctan } { \ frac { 一 } { 兩百三十九 } } $
性質
因為反正切函數是一个奇函數，就按呢滿足下跤等式：
- $ \ arctan (-x )=-\ arctan x \ ! $
反正切函數的微分導數為：
- $ { \ rm { arctan } }'x={ \ frac { 一 } { 一 + x ^ { 二 } } } $
- $ { \ rm { arctan } }x={ \ frac { 鋪二 x } { \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 二 } \ , } } $
- $ { \ rm { arctan } }x={ \ frac { \ ; 六 x ^ { 二 } 鋪二 \ ; } { \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 三 } \ , } } $
- $ { \ rm { arctan } }'x={ \ frac { \ ; 鋪二十四 x ^ { 三 } + 二十四 x \ ; } { \ ; \ left ( 一 + x ^ { 二 } \ right ) ^ { 四 } \ , } } $
- $ \ cdots \ qquad . $
恆等式
佮差
- $ \ arctan \ , x \ pm \ arctan \ , y=\ arctan \ , { \ frac { x \ pm y } { 一 \ mp xy } } , xy < 一 $（+）、 $ xy > 影一 $（－）
- $ \ arctan \ , x \ pm \ arctan \ , y=\ pi \ pm \ arctan \ , { \ frac { x \ pm y } { 一 \ mp xy } } , x > 零 , xy > 一 $（+）、 $ x > 零 , xy < 影一 $（－）
- $ \ arctan \ , x \ pm \ arctan \ , y=-\ pi \ pm \ arctan \ , { \ frac { x \ pm y } { 一 \ mp xy } } , x < 零 , xy > 一 $（+）、 $ x < 零 , xy < 影一 $（－）
Atan 二
佇咧三角函數內底，atan 二是反正切函數的一个變種，有兩个變數，主要是提供予計算機編程語言一个簡便的角度計算方式，其定義來做：
- $ \ operatorname { atan 二 } ( y , x )={ \ begin { cases } \ arctan \ left ( { \ frac { y } { x } } \ right ) & \ qquad x > 零 \ \ \ arctan \ left ( { \ frac { y } { x } } \ right ) + \ pi & \ qquad y \ geq 零 , x < 零 \ \ \ arctan \ left ( { \ frac { y } { x } } \ right )-\ pi & \ qquad y < 零 , x < 零 \ \ + { \ frac { \ pi } { 二 } } & \ qquad y > 零 , x=零 \ \-{ \ frac { \ pi } { 二 } } & \ qquad y < 零 , x=零 \ \ { \ text { undefined } } & \ qquad y=零 , x=零 \ end { cases } } $
參考文獻
- 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Inverse Tangent . MathWorld .
- 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Machin-Like Formulas . MathWorld .
參見
- 正切
- 餘切