極限(數學)

極限（英語：Limit）是數學分析抑是微積分的重要基礎概念，連紲佮導數攏是通過極限來做定義。誠有限分做描述一个序列的下標愈來愈大時的趨勢（序列真有限）， 抑是描述函數的自變數接趨近某一值時的函數值的趨勢（函數極限）。

函數極限會當推廣到網當中，來數列的極限佮範圍論中的極限佮有向極限密切相關。

概念

數列極限

以數列（sequence）

做例，直觀上隨著 n 的增大，$ a _ { n } $ 愈來愈接近零，所以會當認為零是這个序列的 " 極限 "。以下的嚴格定義來自柯西（Cauchy）： 設若對任意 $ \ epsilon > 零 $，存在 $ m \ in \ mathbb { N } $，會當予啦 $ i > m $ 時，有以邏輯符號來表示即為則稱數列 $ \ { a _ { n } \ } _ { n \ in \ mathbb { N } } $收斂佇$ a $，記作 $ \ lim _ { n \ to \ infty } a _ { n }=a $ 抑是 $ a _ { n } \ rightarrow a $。這个時陣嘛講這个數列是收斂的，反叫做發散。會當證明極限是唯一的，也就是講這个嚴謹定義直觀上，講無論共 " 差距範圍 " $ \ epsilon $ 取得偌細啦，對某項 $ a _ { n } $ 會佮 $ a $ 的距離攏會比 $ \ epsilon $ 細。

函數極限

考慮定義域為 $ \ mathbb { R } $，對應規則為 $ f ( x )={ \ frac { x } { x ^ { 二 } + 一 } } $ 的函數佇咧 $ x $ 趨向 $ 二 $ 的時陣的性質。現此時 $ f $ 佇咧 $ 二 $ 是有定義的。

當 $ x $ 趨向 $ 二 $ 的時陣，函數值得若親像較趨向 $ 空七四 $，因此阮有 " 極限 " $ 空七四 $，拄仔好就是 $ f ( 二 ) $，這款的情形阮這號做佇咧 $ x=二 $ " 連紲 "。

毋過有當時仔誠爾 " 極限 " 袂是彼个函數值，考慮定義域為 $ \ mathbb { R } $，對應規則為

的函數，遐爾當 $ x $ 趨於 $ 二 $ 的時陣，$ g ( x ) $ 的盡磅敢若佮頭前彼 $ f ( x ) $ 仝款攏是 $ 空七四 $。猶毋過 $ g ( 二 ) \ neq 空七四 $，這就是講，$ g ( x ) $ 佇咧 $ x=二 $ 是無連紲。

有當時仔的點甚至是無佇咧定義域內底 ( 嘛就是無定義 )，考慮著算式( 本質上是一階邏輯中的項，所以下跤以冒號來代表符號辨識頂懸的定義，毋是 " 數字 " 意義上的相等 )

當 $ x=一 $ 時，算式 $ T $ 等於零除以無定義。但是以 $ T $ 有定義的上大定義域 $ \ mathbb { R }-\ { 一 \ } $ ( 去除 $ 一 $ 的實數系 )，佮對應規則 $ f ( x )=T $ 來定義的函數 $ f $，較近的 $ 一 $ 的 " 極限 " 敢若是呢 $ 二 $

實函數佇有限處的極限

若是 $ f $ 是一个實函數 ( 也就是定義域佮值域攏包含佇咧實數系 )，$ L \ in \ mathbb { R } $，遐爾

定義做：嘿所有的 $ \ varepsilon \ > 零 $，攏存在矣 $ \ delta \ > 零 $ 予得：對任意 $ x \ in D _ { f } $ 滿足 $ 零 < | x-c | < \ delta \ $ 時會有 $ | f ( x )-L | < \ varepsilon \ $。以邏輯符號來表示即為

實函數佇散赤的所在誠有限

和函數趨於某一个予定值時的極限概念相關的是函數佇咧無窮遠兜的概念。這个概念袂使對字面上直接理解為：$ x $ 距離無窮遠愈來愈細个狀態，因為無散毋是一个予定的數，嘛袂當較距離較無散食的遠。所以，阮用 $ x $ 愈來愈大（若討論當無散赤的時）來替代。

譬如講考慮 $ f ( x )={ \ frac { 二 x } { x + 一 } } $ .

$ f ( 一百 )=一爿九八空二 $

$ f ( 一千 )=一爿九九八空 $

$ f ( 一孵 )=一交九九八 $

當 $ x $ 非常大的時陣，$ f ( x ) $ 的值得看起來 $ 二 $。事實上，$ f ( x ) $ 佮 $ 二 $ 之間的距離會當變做任意小，只要阮選取一个足大的 $ x $ 就會使矣。現此時，阮稱 $ f ( x ) $ 較傾向（正）散赤的時陣足有限是 $ 二 $。通好寫

形式上，咱會當定義：

為類似地，咱嘛會當定義：

為

符號

有盡磅的符號做 lim，伊出自拉丁文 limit（界限）的前三个字母。

佇一七八六年出版的德國人瀏他連（S . L'Huilier）的冊當中，第一改咧做這个符號。猶毋過，「 _ x _ 趨於 _ a _」彼陣攏記起來「_ x _=_ a _」，一直到二十世紀人才漸漸用「→」替代「=」。

英國最近代數學家哈代是頭一个使用現代極限符號的人。

性質

• $ \ lim _ { n \ to c } S \ cdot f ( n )=S \ cdot \ lim _ { n \ to c } f ( n ) $，遮 S 是一个內積算法。
• $ \ lim _ { n \ to c } b { f ( n ) }=b \ , { \ lim _ { n \ to c } f ( n ) } $，遮 _ b _ 是常數。

以下規則干焦做等號正爿的極限存在並且不為無窮時才成立：

• $ \ lim _ { n \ to c } [f ( n ) + g ( n )]=\ lim _ { n \ to c } f ( n ) + \ lim _ { n \ to c } g ( n ) $
• $ \ lim _ { n \ to c } [f ( n )-g ( n )]=\ lim _ { n \ to c } f ( n )-\ lim _ { n \ to c } g ( n ) $
• $ \ lim _ { n \ to c } [f ( n ) \ cdot g ( n )]=\ lim _ { n \ to c } f ( n ) \ cdot \ lim _ { n \ to c } g ( n ) $
• $ \ lim _ { n \ to c } { \ frac { f ( n ) } { g ( n ) } }={ \ frac { \ displaystyle \ lim _ { n \ to c } f ( n ) } { \ displaystyle \ lim _ { n \ to c } g ( n ) } } $

推廣

鋪網

佇咧引入網仔的概念之下，記者綜合報導這个定義會當攏無障礙地推廣到任何拓捕空間。事實上，現代數學中的極限概念就是定義咧楦織空間上的，欲講的例攏是拓撲空間的具體化。

範圍論

範圍論中足濟泛性質嘛會當對極限來理解。範圍論盡磅分做極限佮餘極限（閣稱上極限）， 彼此的定義相對尪仔。

外部連結

• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Limit . MathWorld .
• Mathwords : Limit