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'''ARMA 模型'''（英語：'''A'''uto'''r'''egressive'''m'''oving'''a'''verage model，全稱：'''自我回歸滑動平均模型'''）。 是研究時間序列的重要方法，由自我回歸模型（簡稱 AR 模型）佮徙動平均模型（簡稱 MA 模型）為基礎「透濫」構成。佇咧市場研究當中用佇咧長期追蹤資料的研究，如：Panel 研究中，用佇咧消費行為模式變遷研究；佇咧小賣研究中間，用佇具有季節變動特徵的銷售量、市場規模的預測等等。

==自我回歸 AR ( _ p _ ) 模型==


: $ X _ { t }=c + \ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } X _ { t-i } + \ varepsilon _ { t } . \ , $

自我回歸模型來講的是當前值佮歷史值之間的關係。


: 其中：$ c $ 是常數項；$ \ varepsilon _ { t } $ 予人假使講平均數等於零，標準差等於 $ \ sigma $ 的隨機誤差值；$ \ varepsilon _ { t } $ 予人假使講是對任何的 $ t $ 攏無愛變。

==徙予平均 MA ( _ q _ ) 模型==


: $ X _ { t }=\ mu + \ varepsilon _ { t } + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } \ varepsilon _ { t-i } \ , $

徙振動平均模型描述的是自我回歸部份的精差累計。


: 其中 μ 是平均值，_ θ _ 一 , . . . , _ θ _ q 是參數，_ ε _ t , _ ε _ t 影一 , . . . , _ ε _ t−q 攏是白噪聲。

==ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型==

ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型中包括著 _ p _ 個自我迴歸項佮 _ q _ 共徙振動平均項，ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型會當表示講：


: $ X _ { t }=c + \ varepsilon _ { t } + \ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } X _ { t-i } + \ sum _ { j=一 } ^ { q } \ theta _ { j } \ varepsilon _ { t-j } \ $

===ARMA 無算子表示法===

有時 ARMA 模型會當用滯後算子（Lag operator）$ L $ 來表示，$ L ^ { i } X _ { t }=X _ { t-i } $。按呢乎 AR ( _ p _ ) 模型會當寫做是：


: $ \ varepsilon _ { t }=\ left ( 一-\ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } L ^ { i } \ right ) X _ { t }=\ varphi ( L ) X _ { t } \ , $

其中 $ \ varphi $ 表示多項式


: $ \ varphi ( L )=一-\ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } L ^ { i } \ , $

MA ( _ q _ ) 模型會當寫做是：


: $ X _ { t }=\ left ( 一 + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } L ^ { i } \ right ) \ varepsilon _ { t }=\ theta ( L ) \ varepsilon _ { t } \ , $

其中 θ 表示多項式


: $ \ theta ( L )=一 + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } L ^ { i } \ , $

最後咧，ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型會當表示講：


: $ \ left ( 一-\ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } L ^ { i } \ right ) X _ { t }=\ left ( 一 + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } L ^ { i } \ right ) \ varepsilon _ { t } \ , $

抑是講


: $ \ varphi ( L ) X _ { t }=\ theta ( L ) \ varepsilon _ { t } . \ , $

若是 $ \ varphi ( L )=一 $ , 著 ARMA 過程退化為 MA ( q ) 過程若 $ \ theta ( L )=一 $ , 著 ARMA 過程退化為 AR ( p ) 過程。

==相關條目==

* 自我回歸模型（AR 模型）
* 向量自我迴歸模型（VAR 模型）
* 差分自迴歸滑動平均模型（ARIMA 模型）
* 格蘭傑因果關係（Granger Causality）

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