ARMA模型
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ARMA 模型（英語：Autoregressivemovingaverage model，全稱：自我回歸滑動平均模型）。 是研究時間序列的重要方法，由自我回歸模型（簡稱 AR 模型）佮徙動平均模型（簡稱 MA 模型）為基礎「透濫」構成。佇咧市場研究當中用佇咧長期追蹤資料的研究，如：Panel 研究中，用佇咧消費行為模式變遷研究；佇咧小賣研究中間，用佇具有季節變動特徵的銷售量、市場規模的預測等等。
自我回歸 AR ( _ p _ ) 模型
- $ X _ { t }=c + \ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } X _ { t-i } + \ varepsilon _ { t } . \ , $
自我回歸模型來講的是當前值佮歷史值之間的關係。
- 其中：$ c $ 是常數項；$ \ varepsilon _ { t } $ 予人假使講平均數等於零，標準差等於 $ \ sigma $ 的隨機誤差值；$ \ varepsilon _ { t } $ 予人假使講是對任何的 $ t $ 攏無愛變。
徙予平均 MA ( _ q _ ) 模型
- $ X _ { t }=\ mu + \ varepsilon _ { t } + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } \ varepsilon _ { t-i } \ , $
徙振動平均模型描述的是自我回歸部份的精差累計。
- 其中 μ 是平均值，_ θ _ 一 , . . . , _ θ _ q 是參數，_ ε _ t , _ ε _ t 影一 , . . . , _ ε _ t−q 攏是白噪聲。
ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型
ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型中包括著 _ p _ 個自我迴歸項佮 _ q _ 共徙振動平均項，ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型會當表示講：
- $ X _ { t }=c + \ varepsilon _ { t } + \ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } X _ { t-i } + \ sum _ { j=一 } ^ { q } \ theta _ { j } \ varepsilon _ { t-j } \ $
ARMA 無算子表示法
有時 ARMA 模型會當用滯後算子（Lag operator）$ L $ 來表示，$ L ^ { i } X _ { t }=X _ { t-i } $。按呢乎 AR ( _ p _ ) 模型會當寫做是：
- $ \ varepsilon _ { t }=\ left ( 一-\ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } L ^ { i } \ right ) X _ { t }=\ varphi ( L ) X _ { t } \ , $
其中 $ \ varphi $ 表示多項式
- $ \ varphi ( L )=一-\ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } L ^ { i } \ , $
MA ( _ q _ ) 模型會當寫做是：
- $ X _ { t }=\ left ( 一 + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } L ^ { i } \ right ) \ varepsilon _ { t }=\ theta ( L ) \ varepsilon _ { t } \ , $
其中 θ 表示多項式
- $ \ theta ( L )=一 + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } L ^ { i } \ , $
最後咧，ARMA ( _ p _ , _ q _ ) 模型會當表示講：
- $ \ left ( 一-\ sum _ { i=一 } ^ { p } \ varphi _ { i } L ^ { i } \ right ) X _ { t }=\ left ( 一 + \ sum _ { i=一 } ^ { q } \ theta _ { i } L ^ { i } \ right ) \ varepsilon _ { t } \ , $
抑是講
- $ \ varphi ( L ) X _ { t }=\ theta ( L ) \ varepsilon _ { t } . \ , $
若是 $ \ varphi ( L )=一 $ , 著 ARMA 過程退化為 MA ( q ) 過程若 $ \ theta ( L )=一 $ , 著 ARMA 過程退化為 AR ( p ) 過程。
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