Β函數

Β 函數，閣叫做貝塔函數抑是第一類歐拉積分，是一个特殊函數，由下式定義：

$ \ mathrm { \ mathrm { B } } ( x , y )=\ int _ { 零 } ^ { 一 } t ^ { x 影一 } ( 一-t ) ^ { y 影一 } \ , \ mathrm { d } t \ ! $

其中 $ { \ textrm { Re } } ( x ) , { \ textrm { Re } } ( y ) > 零 \ , $。

性質

Β 函數具有以下對稱性質：

$ \ mathrm { B } ( x , y )=\ mathrm { B } ( y , x ) . \ ! $

當 x , y 是當整數的時陣，阮會當對伽馬函數定義得著這就是下式的：

$ \ mathrm { B } ( x , y )={ \ dfrac { ( x 影一 ) ! \ , ( y 影一 ) ! } { ( x + y 影一 ) ! } } \ ! $

伊有真濟其他的形式，包括講：

$ \ mathrm { B } ( x , y )={ \ dfrac { \ Gamma ( x ) \ , \ Gamma ( y ) } { \ Gamma ( x + y ) } } \ ! $

$ \ mathrm { B } ( x , y )=二 \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 二 } } ( \ sin \ theta ) ^ { 二 x 影一 } ( \ cos \ theta ) ^ { 二 y 影一 } \ , \ mathrm { d } \ theta , \ qquad { \ textrm { Re } } ( x ) > 零 , \ { \ textrm { Re } } ( y ) > 零 \ ! $

$ \ mathrm { B } ( x , y )=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ dfrac { t ^ { x 影一 } } { ( 一 + t ) ^ { x + y } } } \ , \ mathrm { d } t , \ qquad { \ textrm { Re } } ( x ) > 零 , \ { \ textrm { Re } } ( y ) > 零 \ ! $

$ \ mathrm { B } ( x , y )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ dfrac { n-y \ choose n } { x + n } } , \ ! $

$ \ mathrm { B } ( x , y )=\ prod _ { n=零 } ^ { \ infty } \ left ( 一 + { \ dfrac { xy } { n ( x + y + n ) } } \ right ) ^ { 影一 } , \ ! $

$ \ mathrm { B } ( x , y ) \ cdot \ mathrm { B } ( x + y , 一-y )={ \ dfrac { \ pi } { x \ sin ( \ pi y ) } } , \ ! $

$ \ mathrm { B } ( x , y )={ \ dfrac { 一 } { y } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } { \ dfrac { y ^ { n + 一 } } { n ! ( x + n ) } } \ ! $

其中 $ \ Gamma \ , $ 是伽瑪函數。

就敢若伽瑪數描述了階乘仝款，阮嘛會當用貝塔函數來定義二項式係數：

$ { n \ choose k }={ \ frac { 一 } { ( n + 一 ) \ mathrm { B } ( n-k + 一 , k + 一 ) } } $

伽瑪函數佮貝塔函數之間的關係

為著推出兩種函數之間的關係，咱共兩个階乘的乘積寫為：

$ \ Gamma ( x ) \ Gamma ( y )=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-u } u ^ { x 影一 } \ , \ mathrm { d } u \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-v } v ^ { y 影一 } \ , \ mathrm { d } v . \ ! $

這馬乎，設 $ u=a ^ { 二 } $ , $ v=b ^ { 二 } $，所以：

$ { \ begin { aligned } \ Gamma ( x ) \ Gamma ( y ) & { }=四 \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-a ^ { 二 } } a ^ { 二 x 影一 } \ mathrm { d } a \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-b ^ { 二 } } b ^ { 二 y 影一 } \ , \ mathrm { d } b \ \ & { }=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } \ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } \ e ^ {-( a ^ { 二 } + b ^ { 二 } ) } | a | ^ { 二 x 影一 } | b | ^ { 二 y 影一 } \ , \ mathrm { d } a \ , \ mathrm { d } b . \ end { aligned } } \ ! $

利用變量代換 $ a=r \ cos \ theta $ 和 $ b=r \ sin \ theta $，可得：

$ { \ begin { aligned } \ Gamma ( x ) \ Gamma ( y ) & { }=\ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } \ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-r ^ { 二 } } | r \ cos \ theta | ^ { 二 x 影一 } | r \ sin \ theta | ^ { 二 y 影一 } r \ , \ mathrm { d } r \ , \ mathrm { d } \ theta \ \ & { }=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-r ^ { 二 } } r ^ { 二 x + 二 y 鋪二 } r \ , \ mathrm { d } r \ int _ { 零 } ^ { 二 \ pi } \ | ( \ cos \ theta ) ^ { 二 x 影一 } ( \ sin \ theta ) ^ { 二 y 影一 } | \ , \ mathrm { d } \ theta \ \ & { }={ \ frac { 一 } { 二 } } { \ color { red } { \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ {-r ^ { 二 } } r ^ { 二 ( x + y 影一 ) } \ , \ mathrm { d } ( r ^ { 二 } ) } } \ , 四 \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 二 } } \ ( \ cos \ theta ) ^ { 二 x 影一 } ( \ sin \ theta ) ^ { 二 y 影一 } \ , \ mathrm { d } \ theta \ \ & { }={ \ color { red } { \ Gamma ( x + y ) } } \ , 二 \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 二 } } \ ( \ cos \ theta ) ^ { 二 x 影一 } ( \ sin \ theta ) ^ { 二 y 影一 } \ , \ mathrm { d } \ theta \ \ & { }=\ Gamma ( x + y ) \ mathrm { B } ( x , y ) . \ end { aligned } } $

所以，有：

$ \ mathrm { B } ( x , y )={ \ frac { \ Gamma ( x ) \ , \ Gamma ( y ) } { \ Gamma ( x + y ) } } . $

導數

貝塔函數的導數是：

$ { \ partial \ over \ partial x } \ mathrm { B } ( x , y )=\ mathrm { B } ( x , y ) \ left ( { \ Gamma'( x ) \ over \ Gamma ( x ) }-{ \ Gamma'( x + y ) \ over \ Gamma ( x + y ) } \ right )=\ mathrm { B } ( x , y ) ( \ psi ( x )-\ psi ( x + y ) ) $

其中 $ \ psi ( x ) $ 是雙伽瑪函數。

估計

斯特靈公式會出一个用來近若像計算貝塔函數的公式：

$ \ mathrm { B } ( x , y ) \ approx { \ sqrt { 二 \ pi } } { \ frac { x ^ { x-{ \ frac { 一 } { 二 } } } y ^ { y-{ \ frac { 一 } { 二 } } } } { \ left ( { x + y } \ right ) ^ { x + y-{ \ frac { 一 } { 二 } } } } } . $

無完全貝塔函數

無完全貝塔函數是貝塔函數的一个推廣，共貝塔函數中的定積分用無定積分來代替，敢若無完全伽瑪數是伽瑪函數的推廣仝款。

無完全貝塔函數定義做：

$ \ mathrm { B } ( x ; \ , a , b )=\ int _ { 零 } ^ { x } t ^ { a 影一 } \ , ( 一-t ) ^ { b 影一 } \ , dt . \ ! $

當 _ x _=一，上式就化做貝塔函數。

正則無完全貝塔函數（抑是簡稱正則貝塔函數）由貝塔函數佮無完全貝塔函數來定義：

$ I _ { x } ( a , b )={ \ dfrac { \ mathrm { B } ( x ; \ , a , b ) } { \ mathrm { B } ( a , b ) } } . \ ! $

當 _ a _ 和 _ b _ 是整數時陣，計算以上的積分（會當用分部積分法）， 可得：

$ I _ { x } ( a , b )=\ sum _ { j=a } ^ { a + b 影一 } { ( a + b 影一 ) ! \ over j ! ( a + b 影一-j ) ! } x ^ { j } ( 一-x ) ^ { a + b 影一-j } . $

正則無完全貝塔函數是 Β 分布的累積分布函數，會當由二項式分佈來描述一个實隨機變量 X 的機率分布：

$ $ F ( k ; n , p )=\ Pr ( X \ leq k )=I _ { 一-p } ( n-k , k + 一 )=一-I _ { p } ( k + 一 , n-k ) $ $

其中 p 為著試驗成功機率，n 為樣本數。

性質

$ I _ { 零 } ( a , b )=零 \ , $

$ I _ { 一 } ( a , b )=一 \ , $

$ I _ { x } ( a , b )=一-I _ { 一-x } ( b , a ) \ , $

參見

• Β 分布
• 二項分布
• 伽瑪函數

參考文獻

• M . Zelen and N . C . Severo . in Milton Abramowitz and Irene A . Stegun , eds . _ Handbook of Mathematical Functions with Formulas , Graphs , and Mathematical Tables . _ New York : Dover , 一千九百七十二 . _（See § 六桱二 , 六陵六 , and 二十六孵五）_
• W . H . Press , B . P . Flannery , S . A . Teukolsky , W . T . Vetterling . _ Numerical Recipes in C _ . Cambridge , UK : Cambridge University Press , 一千九百九十二 . Second edition . _ ( See section 六桱四 ) _
• 用拉普拉斯鋪鋪排鋪算鋪塔函函 . PlanetMath .

外部連結

• 貝塔函數計算器
• 無完全貝塔函數計算器
• 正則無完全貝塔函數計算器