Β-二項式分布

Β-二項式分布，抑是稱貝塔-二項式分布，是機率論佮統計學中的有限空間取值的一類離散型機率分布函數。伊佮一般兩項式分布的無仝的所在，佇伊雖然嘛是表示一系列已經知影次數的伯仔拍拚實驗的成功機率，但其中的伯仔拍拚實驗的常數變做一个隨機變數。作為過度散布的兩項式分布，Β-二項式分布佇貝氏統計、經驗貝葉斯方法閣經典的統計學中攏定定用著。

做試驗次數 _ n _=一的時陣，Β-二項式分布退化為伯仔拍拚分布，啊若佇咧 _ α _  =  _ β _=  一的時陣，Β-二項式分布則退化為取值對無到 _ n _ 的離散型較齊勻分布。當 _ α _ 和 _ β _ 有夠大的時陣，伊會當任意逼倚兩項式分布。Β-二項式分布嘛是多變數波利亞分布佇一箍的時陣的狀況，就是正如二項式分布佮 Β 分布分別是濟項分布佮狄利克雷分布佇咧一元時的狀況仝款。

動差相關性質

Β-二項式分布的前三个動差分別是：

$ { \ begin { aligned } \ mu _ { 一 } &={ \ frac { n \ alpha } { \ alpha + \ beta } } \ \ [八 pt] \ mu _ { 二 } &={ \ frac { n \ alpha [n ( 一 + \ alpha ) + \ beta] } { ( \ alpha + \ beta ) ( 一 + \ alpha + \ beta ) } } \ \ [八 pt] \ mu _ { 三 } &={ \ frac { n \ alpha [n ^ { 二 } ( 一 + \ alpha ) ( 二 + \ alpha ) + 三 n ( 一 + \ alpha ) \ beta + \ beta ( \ beta-\ alpha )] } { ( \ alpha + \ beta ) ( 一 + \ alpha + \ beta ) ( 二 + \ alpha + \ beta ) } } \ end { aligned } } $

啊若峰度是：

$ \ gamma _ { 二 }={ \ frac { ( \ alpha + \ beta ) ^ { 二 } ( 一 + \ alpha + \ beta ) } { n \ alpha \ beta ( \ alpha + \ beta + 二 ) ( \ alpha + \ beta + 三 ) ( \ alpha + \ beta + n ) } } \ left [( \ alpha + \ beta ) ( \ alpha + \ beta 影一 + 六 n ) + 三 \ alpha \ beta ( n 鋪二 ) + 六 n ^ { 二 }-{ \ frac { 三 \ alpha \ beta n ( 六-n ) } { \ alpha + \ beta } }-{ \ frac { 十八 \ alpha \ beta n ^ { 二 } } { ( \ alpha + \ beta ) ^ { 二 } } } \ right] . $

設 $ \ pi={ \ frac { \ alpha } { \ alpha + \ beta } } \ ! $ 遐爾數學咧向望會當表示講

$ \ mu={ \ frac { n \ alpha } { \ alpha + \ beta } }=n \ pi \ ! $

變化數則是：

$ \ sigma ^ { 二 }={ \ frac { n \ alpha \ beta ( \ alpha + \ beta + n ) } { ( \ alpha + \ beta ) ^ { 二 } ( \ alpha + \ beta + 一 ) } }=n \ pi ( 一-\ pi ) { \ frac { \ alpha + \ beta + n } { \ alpha + \ beta + 一 } }=n \ pi ( 一-\ pi ) [一 + ( n 影一 ) \ rho] \ ! $

其中 $ \ rho={ \ tfrac { 一 } { \ alpha + \ beta + 一 } } \ ! $ 是 _ n _ 個伯仔拍拚利變數的關聯繫數，講號做散布係數。

參見

• 多變數波利亞分布

參考來源

• Minka , Thomas P . ( 兩千空三 ) . Estimating a Dirichlet distribution . Microsoft Technical Report .

外部連結

• 使用 Β-二項式分布來對生物識別設備的性能作出估計