Ε-δ語言

ε-δ 語言，抑是極限的 ( ε , δ ) 定義（( ε , δ )-definition of limit）是一種佇數學分析中間干焦使用（有限濟的）實數值來定義極限的方法。

歷史背景

由牛頓佮萊布尼茨創立的微積分，使用矣無窮細（因為任何正實數的正實數）佮散赤大（因為任何實數的數）等無法度佇咧實數的範圍內定義的概念。按呢的狀態一直繼續到十八世紀，佇咧歐拉共伊積分大發展的時陣猶無解決。彼時的數學家咧發展𪜶的理論時攏無考慮過發散佮收斂的嚴密的定義，致使𪜶定定攏出錯誤的結論。

進入十九世紀，柯西、波爾查諾等人試圖根據嚴密的定義來重構微積分學。對這个時陣開始，人開始將收縮性佮連續性的定義變甲閣較嚴格。ε-δ 語言是由魏爾施特拉斯佇一八六空年代發明的，根據伊就會當佇無咧使用無限小和無限大的概念的狀況下定義收斂性和連續性。佇咧數學史上，柯西的《分析教程》予人呵咾做微積分的奠基之作。佇咧其中，伊使用 ε-δ 論證定義矣函數的連續性。毋過，佇伊家己的著作中嘛因為無區別連續性佮相連紲性致使出現了錯誤。

ε-δ 語言的上場了後，利用無窮大佮無窮小的分析嘛予人棄用去。但是了後這種解析嘛予人使用超實數規範化，予人研究佮非標準分析的領域。

數學教育內底的使用

微積分定理中，特別是關於函數極限定理，就是根據這種 ε-δ 語言來證明的。嘛會使講，無咧使用 ε-δ 語言的微積分欠缺嚴格的定義。毋過另外一方面，除了數學以外，佇自然科學、工程學、經濟學、醫學、這个社會學的這个領域，有觀點認為無必要使用 ε-δ 語言，敢有必要教 ε-δ 語言是數學教育中一个自古以來一直繼續的爭論。

函數值的收斂

如下所示，真有限的觀念會當根據定義域佇一定的範圍內底（有限）的變量來定義。

對著實函數 $ f : \ mathbb { R } \ to \ mathbb { R } $，有

$ \ lim _ { x \ to a } f ( x )=b $

這个式也就是講：

_只要 x 無限接近於是 a，f ( x ) 必須愛無限接近於是 b。_

利用 ε-δ 語言來表示的話，就是講

$ { } ^ { \ forall } \ varepsilon > 零 , \ ; { } ^ { \ exists } \ delta > 零 \ ; ; \ ; { } ^ { \ forall } x \ in \ mathbb { R } \ ; [零 < | x-a | < \ delta \ Rightarrow | f ( x )-b | < \ varepsilon] $

這个表達式的意思就是講對著任何正數 ε，攏會當揣著一个正數 δ，當 x 滿足

$ $ 零 < \ mid x-a \ mid < \ delta $ $

時，對滿足上式的 x 攏有

$ $ 零 < \ mid f ( x )-b \ mid < \ epsilon $ $

f ( x ) 無論距離 b 有偌近，伊始終毋是 b，佇咧 f ( x ) 佮 b 之間總是會當揣著一个數字（毋是散赤的細）， 使這个數字佮 f ( x ) 佮 b 的差為 ε。對著每一个 ε 攏存在一个較大於零的 δ，予滿足上式的 x 屬於 a±δ。

ε 和 δ 攏是實實在在的實數，利用𪜶攏會當得著任意一个真細真細的實數這一概念來明確定義矣極限的概念。

條件滿足的時陣，正數 δ 是依賴佇咧 ε 的變量。一般來講，對於 ε，δ 總是儉佇咧無數的所在，咱只要揣著其中一个就會當說明伊存在的。比如講

$ \ lim _ { x \ to 三 } x ^ { 二 }=九 $

紲落來阮用 ε-δ 語言考慮一下。所以我若對任何 ε 號 $ \ delta={ \ sqrt { \ epsilon + 九 } } ma三 $

$ 零 < | x ma三 | < \ delta={ \ sqrt { \ varepsilon + 九 } } ma三 $

則有

$ | x ^ { 二 } ma九 |=| x + 三 | | x ma三 | < ( \ delta + 六 ) \ delta=( { \ sqrt { \ varepsilon + 九 } } + 三 ) ( { \ sqrt { \ varepsilon + 九 } } ma三 )=\ varepsilon $

所以

$ { } ^ { \ forall } \ varepsilon > 零 , \ ; { } ^ { \ exists } \ delta > 零 \ ; ; \ ; x \ in \ mathbb { R } \ ; [零 < | x ma三 | < \ delta \ Rightarrow | x ^ { 二 } ma九 | < \ varepsilon] $

成立，利用 Epsilon-Delta 語言咱知影講 $ x \ to 三 $ 時 $ x ^ { 二 } \ to 九 $