一+二+三+四+…

散赤的級數內底一 + 二 + 三 + 四 +…為所有自然數的佮，是一个發散級數，其數學式嘛寫作 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } n $

現級數進前 _ n _ 項的部分佮就是三角形數：

$ \ sum _ { n=一 } ^ { n } n={ \ frac { n ( n + 一 ) } { 二 } } $

就算講這个級數的佮第一眼看起來袂有任何有意義的值，透過黎曼 ζ 函數正規化佮拉馬拍拚金求佮等方法可產生一有限值 $-{ \ frac { 一 } { 十二 } } $，表示講：

$ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots=-{ \ frac { 一 } { 十二 } } $

這結果咧複分析、量仔力學和弦理論等領域內底也有應用。

部份佮公式的證明

自然數對 _ 一 _ 加甲 _ n _ 的佮是 $ { \ frac { n ( n + 一 ) } { 二 } } $ 會當用真濟方法證明。首先令

$ S _ { n }=一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots + ( n 鋪二 ) + ( n 影一 ) + n . \ , $

阮就共遮的項重排反落去寫：

$ S _ { n }=n + ( n 影一 ) + ( n 鋪二 ) + \ cdots + 四 + 三 + 二 + 一 . \ , $

將這兩个相加，對應項相加，咱得著

$ 二 S _ { n }=\ underbrace { ( n + 一 ) + [( n 影一 ) + 二] + [( n 鋪二 ) + 三] + \ cdots + [三 + ( n 鋪二 )] + [二 + ( n 影一 )] + ( 一 + n ) } _ { n } , $

$ 二 S _ { n }=\ underbrace { ( n + 一 ) + ( n + 一 ) + ( n + 一 ) + \ cdots + ( n + 一 ) + ( n + 一 ) + ( n + 一 ) } _ { n } , $

$ 二 S _ { n }=n \ cdot ( n + 一 ) , $

$ S _ { n }={ \ frac { n ( n + 一 ) } { 二 } } . $

ζ 函數的求和和解析連續性

當 _ s _ 的實部比起來較大於一，_ s _ 次方的黎曼 ζ 函數等於求和 $ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { n ^ {-s } } $。當 _ s _ 的實部小於或者是等於一時和式發散，但是 _ s _=− 一時由 ζ ( s ) 的解析延予出 ζ ( − 一 ) 為 $-{ \ frac { 一 } { 十二 } } $。

一 + 二 + 三 + 四 +…的和不存在的，毋過拉馬拍拚另外予伊其定義，其拉馬努金佮為 $-{ \ frac { 一 } { 十二 } } $。

物理

佇玻色弦理論內底，阮想欲算出一个絃的可能量級，特別是上低能量級。無正式的講，每一个弦的諧波會當看做是一組 $ D $ 無關係量仔倚振子，遮 $ D $ 是時空的維數。你若講基本振子頻率是 $ \ omega $ 則一个振子嘿 $ n $ 級諧波的貢獻是 $ { \ frac { n \ hbar \ omega } { 二 } } $。所以利用發散的級數阮就發現講所有的倚波上求和是 $-{ \ frac { \ hbar \ omega ( D 鋪二 ) } { 二十四 } } $。尾仔這確實有影，佮 Goddard–Thorn theorem 做伙的，致使波色弦理論佇維數不為二十六時是無一致的。

一个類似的計算是計算卡西米爾力。

歷史

佇咧拉馬拍金寫予戈雷公 ・ 哈羅德 ・ 哈代的第二張批當中（為一九一三年二月二七）：

「親愛的翁婿，我真感激地讀著你一九一三年二月初八的批。我等待你的答覆，類似一个倫敦的數學教授寫批愛我斟酌研究布羅米奇的「無窮級數」毋通陷入發散級數的陷阱。…… 我共講，佇我的理論內底一个散赤數列 $ 一 + 二 + 三 + 四 + \ cdots=-{ \ frac { 一 } { 十二 } } $。若我這个共你講，你肯定會勸我進精神病收容院。我共你小說此事只是使你相信，我若暗示我干焦佇一封批內底所寫的行數，你無可能揣出我證明的方法。」

延伸閱讀

• Lepowsky , James . Vertex operator algebras and the zeta function . Contemporary Mathematics . 一千九百九十九 ,兩百四十八: 三百二十七–三百四十 [二千空八孵十二孵十三] .（原始內容存檔佇兩千空一十八學十二分一）.
• Zee , A . Quantum field theory in a nutshell . Princeton UP . 兩千空三 . ISBN 空九六百九十一撨一千空一十九九陽六 .   See pp . 六十五–六 on the Casimir effect .
• Zwiebach , Barton . A First Course in String Theory . Cambridge UP . 兩千空四 . ISBN 空抹五百二十一鋪八三千一百四十三鋪一 .   See p . 兩百九十三 .

外部連結

• 數學物理逐禮拜發現（一百二十四邊），（一百二十六禮拜），（一百四十七周）
• 歐拉著一 + 二 + 三 + ・ ・ ・=− 一 ⁄ 十二的證明
• 所有自然數的等於負十二分之一視頻