一+二+四+八+…

佇數學領域，一 + 二 + 四 + 八 +…是一个無窮的級數，伊的每一項攏是二的冪。作為何級數，伊以一為首項，二為公比。

$ \ sum _ { k=零 } ^ { n } 二 ^ { k } . $

作為實數級數，伊是發散甲無散，所以佇一般的意義下伊的佮無存在的。

若是以代數運算的方式來計算這个數列的佮，雖然講會當得著這个 ∞ 以及-一个這兩个值，但是這著愛佇咧較廣泛的意義內底才會當成立。

佇歷史佮數學教育，一 + 二 + 四 + 八 +…是正項發散幾何級數的一个基本例。誠濟結果佮爭論引出誠濟類似級數，其他的比如講二 + 六 + 十八 + 五十四 +…。

求和

一 + 二 + 四 + 八 +…的部份佮數列是一 , 三 , 七 , 十五 ,…，因為彼數列發散甲無散，所以部份和數列嘛是發散甲無散。因此任何通常求和方法得著的和將是不窮，包括切薩羅求和法佮阿貝爾求和法。

另外一方面，有一種廣義的方法予得著 + 二 + 四 + 八 +…的和為有限值影一。相應的冪級數

$ f ( x )=一 + 二 x + 四 x ^ { 二 } + 八 x ^ { 三 } + \ cdots + 二 ^ { n } { } x ^ { n } + \ cdots={ \ frac { 一 } { 一孵二 x } } $

捻半徑為而且二分之一，因此伊佇咧 _ x _=一時陣毋收斂。毋過，按呢定義的函數 _ f _ 落佇塗跤 _ x _=二分之一後，有到複數平面唯一的解析開拓，並且有仝款的形式 _ f _ ( x )=一 / ( 一 − 二 _ x _ )。因為 _ f _ ( 一 )=− 一，原級數一 + 二 + 四 + 八 +…是可求和的 ( _ E _ )，其和為 − 一，並且抹一是級數的 ( _ E _ ) 和。（這个標識方式是由戈雷公 ・ 哈羅德 ・ 哈代參考萊昂哈德 ・ 歐拉佇咧散赤的級數頂懸的研究）

用差不多完全仝款的方法會當考慮係數為一的冪級數咧，比如講：

$ 一 + y + y ^ { 二 } + y ^ { 三 } + \ cdots={ \ frac { 一 } { 一-y } } $

並用 _ y _=二代入去。當然這兩个級數有關係式 _ y _=二 _ x _ 等價轉換。

事實上 ( _ E _ ) 和為一 + 二 + 四 + 八 +…分配一个有限值，這表明廣義方法毋是完全符合慣例的。另外一方面，伊有某一寡求和法可取的性質，包括穩定性和線性的性質。遮後壁的兩个公理實際上強制級數的佮為影一，自按呢伊令下跤有效：

$ { \ begin { array } { rcl } s &=& \ displaystyle 一 + 二 + 四 + 八 + \ cdots \ \ [一 em] &=& \ displaystyle 一 + 二 ( 一 + 二 + 四 + 八 + \ cdots ) \ \ [一 em] &=& \ displaystyle 一 + 二 s \ end { array } } $

佇咧某一種意義下，_ s _=∞ 是方程式 _ s _=一 + 二 _ s _ 的一个解（比如講 ∞ 是黎曼球最別比黑斯轉換 _ z _ → 一 + 二 _ z _ 的兩个無動點之一）。 若某種已知的求和方法倒轉來一个常數 _ s _，_ 比如講 _ 毋是呢 ∞，若按呢這是容易確定的。佇咧這个情形下 _ s _ 可能是兩爿消去，得著無=一 + _ s _，所以乎 _ s _=− 一。

閣較濟資料

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