一−一+二−六+二十四−百二+⋯
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數學上，發散級數：
- $ \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } k ! $
是予歐拉頭擺研究，伊應用重求和方法予伊級數予一个有限的值。現級數是予人交替加減的階乘之總和。欲予發散級數量，其中一个方法是用博雷爾佮，其型式寫講：
- $ \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } k !=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } x ^ { k } \ exp (-x ) \ , dx $
咱對總佮積分進行轉乘（忽略兩个其實攏是無咧收斂的）， 將得著：
- $ \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } k !=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ left [\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } (-x ) ^ { k } \ right] \ exp (-x ) \ , dx $
佇咧中括號中的總和收斂，並等於一 / ( 一 + _ x _ )，若是 _ x _ < 一。若咱繼續對所有的實數 _ x _ 分析一 / ( 一 + _ x _ )，會當得著濟收縮分的總和：
- $ \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } k !=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ frac { \ exp (-x ) } { 一 + x } } \ , dx=eE _ { 一 } ( 一 ) \ approx 空空五九六三四七三六二三二三一九四空 \ ldots $
此處的 $ E _ { 一 } ( z ) $ 是講指數積分。這是根據博雷爾佮對級數的定義。
結果
若是 _ k _ 為前十个值，其結果下：
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註解
參考資料
- Euler , L . , De seriebus divergentibus ( PDF ) , Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae , 一千七百六十 , ( 五 ) : 兩百空五–兩百三十七 [二千空一十四抹三鋪十三] ,（原始內容存檔佇兩千空一十三抹九九分二十六）