一−二+四−八+…

佇咧數學中，一 − 二 + 四 − 八 +…是一个無窮的級數，伊的每一項攏是二的冪而加減號是交含地排列。作為何級數，伊以一為首項，鋪二為公比。

$ \ sum _ { k=零 } ^ { n } ( 鋪二 ) ^ { k } $

作為實數級數，伊發散甲無散，所以佇一般的意義下伊的佮無存在的。佇咧較廣泛的意義下跤，這級數有一个廣義的佮為 ⅓。

歷史上的爭論

戈特增加里德 ・ 萊布尼茨佇一六七三年已經想過一 − 二 + 四 − 八 +…這个交替的發散級數。伊認為經過對正爿抑是倒爿相減，分別會當得著限無限佮負無限，所以兩个答案攏是毋著的，規个級數必為有限：

" 若是兩个結論里無一个是會用得接受的，抑是講因為無法度判斷佗一个結論會當予人接受，自然一般會選擇處佇咧兩个結論中央的結論，所以這个級數佮是一个有限數。"

萊布尼茲並毋是非常肯定這个級數有 _ 和 _，毋過伊根據墨卡托方法推測伊和 ⅓ 有關係。佇彼个十八世紀，「 一个數項級數的佮可能等於一个並毋是其逐項疊的結果的有限數」是一个十分普通的觀點，雖然現代數學觀點仝彼當陣的觀點並無任何分別。

做克里斯提安 ・ 沃爾夫佇一七一二年閱讀了萊布尼茲對格蘭迪級數的解法了後，伊對此解法非常的滿意，並設法通過這種方法去走揣閣較濟解決發散級數問題的數學方法（如一 − 二 + 四 − 八 + 十六 −…）。 簡明講，若是某人以倒數第二項的函數來表示級數的部分佮，伊得著的結果會是 $ { \ tfrac { 四 m + 一 } { 三 } } $ 抑是講 $ { \ tfrac { 扳四 n + 一 } { 三 } } $。遮的值的平均值是 $ { \ tfrac { 二 m 鋪二 n + 一 } { 三 } } $，然後假使講 _ m _=_ n _，討論著無限了就得著級數佮是 ⅓。萊布尼茲的直覺佇這个時陣予伊避免了佇沃著夫的解法上著力頭。伊予沃爾夫回批，講伊的解法有一點仔意思呢，但是因為幾若个原因無效。相鄰的兩个部份佮並無收斂著任何一个特定值上，同時佇任何有限條件下跤攏有 _ n _=二 _ m _，毋是 _ n _=_ m _。橫直，可求佮級數的項終其尾攏攢好勢無；就算一 − 一 + 一 − 一 +…嘛會當予人表示做這號級數的極限。萊布尼茲勸沃爾夫閣好好仔考慮一下，認為伊無的確「會當舞出一寡佇伊於科學攏有價值的物件。」

現代方法

等比數列

任何有規律性、線性佮穩定性的求佮方法攏會當對等比數列（幾何級數）求和

$ \ sum _ { k=零 } ^ { n } ar ^ { k }={ \ frac { a } { 一-r } } $ .

佇這个情形下 _ a _=一而且 _ r _=− 二，所以的級數佮是 ⅓。

歐拉求和

佇伊一七五五年的《Institutiones》上，萊昂哈德 ・ 歐拉是採用這馬予人叫做歐拉轉換的方式處理理咧 − 二 + 四 − 八 +…，得著矣收斂的級數 ½ − ¼ + ⅛ − 十六分之一 +…。 因為後者的和為 ⅓，歐拉會出結論，認為講一 − 二 + 四 − 八 +…=⅓。伊對無窮級數的看法無啥遵循現代方法。現此時，咱稱一 − 二 + 四 − 八 +…是歐拉可求和，其歐拉佮就是 ⅓。

歐拉轉換以正項序列開始：

_ a _ 零=一 ,

_ a _ 一=二 ,

_ a _ 二=四 ,

_ a _ 三=八 ,….

佇頭前向差分序列是

Δ _ a _ 零=_ a _ 一 − _ a _ 零=二 − 一=一 ,

Δ _ a _ 一=_ a _ 二 − _ a _ 一=四 − 二=二 ,

Δ _ a _ 二=_ a _ 三 − _ a _ 二=八 − 四=四 ,

Δ _ a _ 三=_ a _ 四 − _ a _ 三=十六 − 八=八 ,…,

這序列佮頂一序列拄好仝款。所以對每一 _ n _，迵天代前向差分序列均 Δn _ a _ 零=一開始。級數的歐拉轉換如下：

$ { \ frac { a _ { 零 } } { 二 } }-{ \ frac { \ Delta a _ { 零 } } { 四 } } + { \ frac { \ Delta ^ { 二 } a _ { 零 } } { 八 } }-{ \ frac { \ Delta ^ { 三 } a _ { 零 } } { 十六 } } + \ cdots={ \ frac { 一 } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { 四 } } + { \ frac { 一 } { 八 } }-{ \ frac { 一 } { 十六 } } + \ cdots . $

頂頭級數是收斂的比級數，按呢規求和公式提出其和做 ⅓。

鮑萊耳佮

一 − 二 + 四 − 八 +…的鮑萊耳佮嘛是 ⅓；鮑萊耳於一八九六年介紹了鮑萊耳佮極限的公式，這是伊咧關於一 − 一 + 一 − 一 +…後的頭一个實例之一。