一矩陣

佇咧數學中，一矩陣閣叫做全一矩陣，是講所有的元素攏為一的矩陣，通常用符號 $ J $ 來表示，而且以下標符號表示矩陣的維度，比如講：

$ J _ { 二 }={ \ begin { pmatrix } 一 & 一 \ \ 一 & 一 \ end { pmatrix } } ; \ quad J _ { 三 }={ \ begin { pmatrix } 一 & 一 & 一 \ \ 一 & 一 & 一 \ \ 一 & 一 & 一 \ end { pmatrix } } ; \ quad J _ { 二 , 五 }={ \ begin { pmatrix } 一 & 一 & 一 & 一 & 一 \ \ 一 & 一 & 一 & 一 & 一 \ end { pmatrix } } ; \ quad J _ { 一 , 二 }={ \ begin { pmatrix } 一 & 一 \ end { pmatrix } } . \ quad $

部份的文獻會叫做單元矩陣抑是單位矩陣（英語：unit matrix）。 猶毋過「單位矩陣」一詞閣較捷代表主對角線為一、賰做零的單位矩陣，兩个就是無仝的矩陣。

類似地，一向量抑是全一向量是講只所有的元素攏為一的向量，會當看做有一行抑是講干焦一列的全一矩陣，其實嘛無應該佮單位向量透濫。

特別地，$ 一 \ times 一 $ 的全一矩陣佮單位矩陣是等等的價數，即 $ I _ { 一 }=J _ { 一 }={ \ begin { bmatrix } 一 \ end { bmatrix } } $。對所有維度大於抑是等於二的全一矩陣，你若欲為這个方陣，則其行列式做零。

性質

所有的 $ n \ times n $ 全一方陣（為方陣的全一矩陣）$ J _ { n } $ 有以下性質：

• $ J _ { n } $ 的印為 $ n $
• 若是 $ n \ geq 二 $，$ J _ { n } $ 的行列式為 $ \ det J _ { n }=零 $。對小於二的狀況，行列式為一，即 $ \ det J _ { 一 }=\ det { \ begin { bmatrix } 一 \ end { bmatrix } }=一 $。（若共 $ n=零 $ 考慮入來，若共空矩陣也看做是全一矩陣，著其實行列式嘛共伊做一个）
• 全一矩陣 $ J _ { n } $ 的特徵多項式為著 $ ( x-n ) x ^ { n 影一 } $
• 全一矩陣 $ J _ { n } $ 足細支的項式為啥物 $ ( x-n ) x $
• 全一矩陣 $ J _ { n } $ 的秩為一、特徵值為著 $ n $（代數重數為一）佮零（代數重數為 $ n 影一 $）
• $ J ^ { k }=n ^ { k 影一 } J $，其中 $ k=一 , 二 , \ ldots . $
• 全一矩陣 $ J $ 是阿達瑪乘積的單位元素當全一矩陣 $ J $ 佇實矩陣運算時，以下附加性質成立：

• 全一矩陣 $ J $ 為半正定矩陣
• $ { \ frac { 一 } { n } } J _ { n } $ 為冪等等矩陣
• 全一矩陣 $ J $ 矩陣指數是 $ \ exp ( J _ { n } )=I + { \ frac { e ^ { n } 影一 } { n } } J _ { n } $

應用

全一矩陣會當應用佇數學領域內底的組合學，特別是咧牽涉代數方法的圖論中。比如講伊，若是 $ A $ 是 $ n $ 頂點無向圖 $ G $ 的鄰接矩陣，而且 $ J $ 是佮 $ A $ 仝款維度的全一矩陣，則若 $ AJ=JA $ 時，$ G $ 為正則圖，反之亦然。

參見

• 零矩陣
• 矩陣單元